Bernardi Nieuwentiit Analysis infinitorum seu Curvilineorum proprietates ex polygonorum natura deductæ

81쪽

vana ex iis formatam. Quaeritin ipsi ii tangen S. Haec autem juxta praecedentem regulam quae sita dabit aequationem et, et et fae hist et et x in nix sita j I ra H t. quae , pro varia ipsarum f&c ad varias curvas determinatione , Variarum , imo :r initarum curvarum tangentibus inveniendis sola inservire potest. Quod praecedet paragraphi corolla- ria satis faciunt manifestum. 30. Quo Ver modo generalis haec aequatio rursum ad hyperbolam vulgarem limitetur, ostendisse operae fuerit pretium cum hic non suae cautela a generali ad particulare regretrias

detur. Fiat ergo zm aut si naVis ,

utraque, cum ad Omnes lineas possit, ad parallelogrammi rectanguli applicatam determine tura erunt eo ipso h&n infinitae cum rectanguli subtangens sit infinita, quod tacili negotio demonstrabile inanibus notum est dividatuc jam tota aequatio per infinitam h erit si uini et I xt qa et Nini et x Atta af yn Jam vero, ex SchOh Gener aenam. N. In ,

82쪽

cati, ac rursum per infinitam h divisi se in hoc ipso determinabiles ; unde , per ejusdem Sciri

N. XII, cum Omnibus caeteris terminis deter minabilibus et I xt et xx , rejecti aequationem hanc reliquam faciunt et in et mira

za et Dyn, aut repositis pro f&et, aioribu , q&r , ac reducta aequatione , riri arx t Qq3 . quae aequa, ea ad tangentem hypei holae Apollonianae, cuius aequati, qr x irx Posset: haec regressio alio modo fieri, dividendo omnes terminos per utramque insemitam , unde ex ejusdem Scholii Generat prae ccptis idem pro 'eniret. Coroll. Hinc maximi ac jam plurimis usitata methodus demonstrationem suam haurit tum altiorum quoque graduum curVλ- rum in plano descriptiones facillim forsan modo deducuntur; qu e cum hujus non sint loci, uti plurima alia hinc originem ducentia, a tius hoc tractata non proscquemur. p. oe addam methodum huic consequi, qua sit determinatae cujusdam curvae , Verb Gr: Citroidis tangens expetatur, possit hac ratione aequati cxhiberi, non modo Cisso idis ex circulo aliisve curvis infinitis oriundae, verum aliarum in simul curvarum, ac satis prima fronte a Cissoide dissentiri apparentium tangentes

83쪽

tangentes habebuntur.

Potuisset d ipsa Cil idi; aequatio per aliam indeterminatam dividi, aut multiplicari, Verbror per ac foret arxj xxj ubi factis aris Ii, feret x x J ac , ipsam Y ad applicatam creferendo dx π D, fit d af unde idem conseque

retur.

Haec autem mille modis variari posse jam suae-ficienter probatum autumo.

Scholium. Cunctis fere Mathematicis hactentiai in re

si iij situm curvarum proprietates sequationibus comprehendere in iisque quantitates, quae par ne rum no 'imine venire vulgo solent, in omnibus curvae punctis eius Cia lavamatae maga situdinis consulerar uti Pro iiiiiii 'abilibus habere quarumlibet quantitatu naequationem ingredientium, potestatum exponente S cxteris, quae inde terminat . audiunt , quantitatem mutaui, residuam solummodo termin rum aequationisque partem Coustituentibus ue has ausem curvas i ujus capitis initio di cussimuS.

84쪽

Alia vero curvarum genera praecedentibus proxime paragraphis expendimus, ubi nimirum .ipsae parame-etri determinatae , ac in singulis curvarum puncti cxloci , ad quem pertinare supponuntur , lege variae fucrunt: manentibus interim potestatum indicibus determinatis ac constantibus. rare, curvarum ordo ad eas impraesentiarum nos deduxisse videtur, in quibus potestatum indices in sing Ilis larva punctis immutantur. aliarum considerati, si plane nova non sit, trita saltemi multis obvia censeri non debet. Ac cum hac in parte Geometria ac imprimis problematum, alias satis dii ficilium, constructio maximopere possit promo Verici ear-que curvae in Mathesi potissimum ad res Physicas applicata frequentissime occurrere, quinimo nasci sua sponte Videantur; nec earum in plano delineationes usque adeosnt cognita popera forsitan fuerit pretium hisce curvarum quandam speciem praemittere , quas ipsa natura quandoque formare deprehen citur, quarumque proprieta eX- pressa aequatione, ad instar aliarum , prima instantia ef-Drri minime solet quae tamen curvarum modo recensi1-tarum Originem , ac descriptioncs in plano , plurimum illustrant.

1. Sit, Fig. XVIII. Q. , recta AF determinati cui in dato quolibet angulo FG applicetur recta I itidem determinata et g ea

conditione, ut assumtis ipsisus A F parte aut partibus quibusvis aliquotis V AB , c. quinimo , si visum fuerit, in ipsa in producta, ipsitus A in data quavis ratione multiplicibus AD, Κ, dcc. sit ad stagulas assum-

respective applicentur, ipsi FG aequidistantes,

85쪽

legem hiandam observent ac relationem constantem immutabilem, tum respectu p- suis FG, tum respectu assumtae, quam abscii

dunt.

Hoc autem toties fieri supponatur, donec ipsae applicatae proxime Hy, Γ C, c. non nisi instillesima parte H a se mutuo distens unde ipsa ANC GAE seu rectularum , quae applicatarum extrema connectunt, summa incurvam regularem abibit Q laeritur jam , ex cognita applicatarum speciali relatione ipsius curvae aequatio Geom trica, seu talis, quae inter hujus curvae applicatam interceptamque constituta est, ipsiusque

curva tangenS.

Sit ergo curva σα ratione modo exposita generata ac sumtis AH π lf, B te φίAD: AK af, ct sic pro arbitrio pergendo. specialis applicatarum inter se relatiost ea quae sequitur, nimirum, g, BC

g, Afri g, ac sic in teris. Unde partium ipsius A aliquotarum, ipsiusque multiplicium exponentes numeros O- cando generali applicatione et, haec emerget curvae ea praemissa hypothesi proprietas scilicet,

86쪽

fo a ab is In sinitorum. Cap. L

si AB aut AD aia unita fuerit crit ipsam respiciens applicata BQ aut in et g. ex quibus hoc pacto curva aequati Geometrica introlescit sit Amra et, erit,

uis unde patet curvam σα esse

parabolam, cujus latu3 rectum Subtangens alitem hujus seu i est ex g s. di loco valore reponcna

Ne autem, ut in ' proxime praegressu , applicatarum abscissaruinque relationes numeri contimio exprimere necesse habeamus , iri sequensibus numerorum loco solam adhibebimus, ipsaque quoslibet iam partium aliquotarum, tum mul; iplicium ipsius AF exponentes numeros significabimus , tum curvae, quae prae manibus est, subtangentem Hii saepius, dicemus.

la, ac subtangen im x.

87쪽

J C p. I. Anab is Insultorum. 61

stibiangens ex praecedentibus nota est. 3. Sis,possitis potestatum determinatis ii, dicibus, ac caeteris ut supra, et, ita I , ac acci g T DEG 3, est et unde posti reductam aequationem locus ad paraboliformem quamlibet. Quod si signo ne ,

, g x ras ad lineam rectam. 6. Sit c 'r' fm AI merget, ipsa et per aequationum Omparationem elisa, aequatio adi cujus ut d praecedentium Omnium subtangentes ex s. 3ue cognitae sunt. Osten d hic praecedentium conversae demonstrari. Sed, cum Operae vix futurum sit pretium , his supersedebimus. 7. Sit post haec praemisia, jam in Fig. XVIII. I p. a AF di FG, g, tela AN α ,Vocetiarq;

88쪽

quod potestatum designationem ex Lemna. O. L . intelligent , satis patet. Quaeritur jam ex data hac proprietate hujusc Vae AD aequatio, quapropter fiat ut supra erit m α; tum facto T

ac ipso i in locum ipsius potestatis et reposito siet f p quae debite reducta dabit

Iam autem, ut ex hac aequatiori subtangens inveniatur, sit Tm : I, GD H. e , HE: a tum ponaturque Cco ipsa 'r ac loco γ ipsa, a, in aequatitare in

venta.

quae divisa per aequationem datam g I,

89쪽

frin, quae subtangentem ipsius curvae

determinat.

Coroll. I. Observetur hujus curvae si tangentem t esse in omnibus curvae punctis ejusdem magnitudinis, sequatio enim ipsius valorem manifestans, sola quae quaeritur, excepta ex quantitatibus, ,r,f, immutabilibus, ac sibi per totam curvae loligitudinem constantibus

componitur.

Coroll. II. Tum io notari meremr, in-Ventam modo aequationem esse curvae Logarithmicae propriam ac hujus ope ex facili inveniri, ex dato quidem numero togarithmum, i converso. Si enim fiat A seu ra uacitari A seu, Io oooo, item Fi et gra O , emerget

io I IEt, cum unitatis ad quamlibet evectae pote- l, statem non mutetur valor, sed maneat eadem ac sibi perpetuo constans unitas, adeoque

90쪽

eadem erit cum hac ara ad specialem illam pertinens Logarithmicam qiuae jam ob egregium, quem in Geometria practica praestat rusum inclaruit, quomodo Vero X dato numero itaVeniatur ipsius logarithmusci contrarium, hinc satis apparet, ac uberior ejus dilucidatio hujusci ci est loci, cum hanc sequationcm ex more in algebra usitato tractanti ultro sese offerant. g. Sit , retentis superioribus , in adcria Tig. XVIII. No i, aequatio cur 'ae ra g oportet i tangentem dcsignare, unde ipsi, si Lfccto tum pli9 substituto ina, ut paragr. 1 aeced. merget aequali ad infinitesimas redacto r. cu muhiplica ij et instituta, in I ς 3 in Ἀακλες deletisque ex . 7 , delendis

ducta , γ' f ir'. quaesita aequatio ad tangentem Possit autem, ex Scholio . . , posita

infinita, loco e ipsa P surrogari, habebitur