장음표시 사용
51쪽
extam A E H quate ipsi P E qtiadrato . transibit iam byperbole per puncta MD,F. S militer eadem O in ipsa ea si construemus.
THEOREM A XXII. PROPOSITIO XXII.
SI parabolen , vel hyperbolen recta linea in duobus puntas
secet, non conUeniens cum diametro sectionis intra sectonem: producta cum eadem diametro extra sectionem conVeniet.
SIT parabole, Vel hyperbole, cuius diameter A B : & secet quaepiam recta Iinea scictionem in duobus punctis C, D. Dico lineam C D productam convenire cum ipsa ΑΒ extra sectionem. Applicentur enim a puctis C, D ordinati lineae CE, DB;& sit primhm sectio parabole. Quoniam . Igitur in parabola ut quadratu CL ad quadratum DB, ita est EA au A B. maior auteE A, quam A B . erit quadratum C E quadrato DB maius. qua A re & linea C E maior ipsa DB. di sunt inister sese aequidistantes. ergo C D producta cudiametro AB extra sectionem conveniet.sed sit sectio hyeerbole . itaque quonia in hyperbola ut quadratu C E ad quadratum DB, ita rectangulum FE A ad rectangulum FBA: quadratum C E maius erit quadrato D B. & sunt aequiei ilantes. linea igitur CD producta cum diametro sectionis extra sectionem
F E D. C O M M A N D I N V s. Α ET sunt inter sese aequid istantes. ergo C D producta cum diametro A B extra
bus rectis sum mi nores . linea igitur C D eum ipsa E A ex parte e conveniet . qu.d cum non conveniat intra sectιonem , extra convenire necessariam est.
52쪽
CONI CORVM LIBERI. 6sTHEOREM A XXIII. PROPOSITIO XXIII.
SI ellipsim recta linea secet inter duas diametros: producta cum
utraque earum extra sectionem conveniet. SIT ellipsis, cuius diametri A B, C D: & secet quaedam recta linea sectionem, videlicet ipsa E F, inter duas diametros A B, C D interiecta . Dico E F productam
convenire cum utraque earum extra lectionem . Applicentur
enim a punctis E, F, ordinatim ad diametrum quidem Α Β, lineae E G, F H: ad C D vero E Κ, F L. est igitur ut quadratum E G ad quadratum F H, ita rectangulurn B G A ad rectangulum B H A: ut autem quadratum P L ad quadratum ΕΚ, ita rectangulum D L C ad rectangulum D L C. atque est rectangulum B G A maius rectanpulo B EI A : etenim Gpropius accedit ad punctum, quod diametrum Α Β bifariam secat,& rectangulum DLC maius est rectangulo D Κ C. quadratum igitur E G maius est quadrato PH; S quadratum F L maius quadrato E K : iccircoque linea E G maior, quamior , quam ΕΚ . aequid istat autem E G ipsi FH , iteque Fproducta cum utraque diametro AB, CD extra sectionem conveniet.
AATTENDENDUM est in propositione Apollonium duas dia inerror dicere , non simplieiter quascunque , sed qua coniugata diametri appellanta , qaiarum atν oe ardin tim applicata valdistans ducitur , mediῆrue proportioπem habes inteν latera figura Meerius diametra e σ iccirco alteri a uidis anter ιineax bifariam dividia; ut in theor mare ect demonstratam . nisi enim ita sit, continget tineam inter daas diametros interis diam alteri i aram a uidistare: quod non ponitur. Quoriam autem G propius accedit ad 'nictam M, quod e B bifariam secat, quam ipsum M'rectangaeum PM- EG . una eum qώadrato cy M aqMale est quadrato A M; rectangulum veνο B M A and eam quadrato MM eidem est aquale, ct quadratum H ac maius quadrato b M , erit rectangulam E 9 eis rectangalo B H - maius .
Hoc idem etiam in ipso circati evenit, sumptis d abus diametris coniugatis o qώοd eodem prorsus modo demonstrabitur .
53쪽
cum diametro extra sectionem conveniet.
SI ellipsi recta linea occurrens inter duas diametros, & pr duita ex utraque parte cadat extra sectionem: cum utrisque di
metriS conveniet. 0 . SIT ellipsis, cuius diametri A B, C D: & ipsi occurrat Cae r recta linea E F inter duas diametros in puncto G & produ- η cta ex utraque parte extra sectionem cadat. Dico E F cum et i l utrisque diametris A B, C D convenire. Applicentur enim a C Κ ' in puncto G ad diametros A B, CD lineae GH, G Κ . Itaque , , quoniam GK aequidistat ipsi AB: convenit autem quaedam , flinea G F cum G Κ , &cum ipsa Α B conveniet. Eodem modo & F E cum diametro C D convenire demonstrabitur. H
SI in parabola , vel hyperbola recta linea ducatur diametro si ctionis aequidistans: in uno tantum puncto cum sectione conveniet.
SI Τ primum parabole, cuius diameter ΑΒ C; rectum autem latus Α D: &ipsi AB aequi distans ducatur EF. Dico E F productam cum sectione convenire. Sumatur enim in ipsa E F aliquod punctum E; a quo ducatur EG ordinatim applicatae aequi distans: & quadrato E G maius sit rectangulum D A C; a puncto autem RRi ' Cominatim applicetur CH ergo quadratum H C aequale est rectangulo D A C. atque est rectangulum D AC maius quadrato E G. quadratum igitur H C quadrato E G maius erit: & iccirco linea Η C maior linea E G. & sunt aequidistantes
inter sese. ergo E F producta secabit II C: proptereaque conveniet cum sectione. conveniat in K . Dico in uno tantum puncto L convenire. si enim fieri potest, con- . veniat etiam in L. Quoniam igitur parabolen recta linea secat in duobus punctis, .nviu si producatur conveniet eum cliametro sectionis; quod est absurdum. postum enim est ipsi aequid istare. ergo E F in uno tantum puncto cum sectione conveniet. Sit dein
54쪽
deinde sectio hyperbole; transeersum vero figurae latus Α Β, & Α D rectum: iuris gaturque B D, & producatur. iisdem igitur, quae supra , dispositis, ducatur a puncto C ipsi A D aequi distans C M. & quoniam rectangulum M C A maius est re elangulo DAC; ipsique MCA aequale eit quadratum C H ; & D A C rectanguluinatus quadrato G E : erit & quadratum C H quadrato G E maius; & ideo linea CH maior linea G E. ex quibus eadem, quae supra diximus, necessario sequuntur.
THEOREM A XXVII. PROPOSITIO XX Uu.
SI parabolae diametrum secet recta linea: producta in utranque
partem cum sectione conveniet . SIT parabole, cuius diameter Α B: & ipsem AB secet quaepiam recta linea C Dintra sectionem. Dico C D proclii tam in utranque partem cum sectione convenire. Ducatur enim a puncto A ordinatim applicatae id istans A L. ergo A E e. tra sectionem eadet. itaque vel C D ipsi A E aequid istat , Ve non . siquidem . aequidistat, ordinatim applicata est . quare proaucta in utranquo Partem conveniet cum sectione . quod sit non aequid istat, producatur, & conveniat cum A Eiu E puneto . constat igitur ipsam cum sectione convenire ad partes E . si enun conveΗit cum A E, multo prius sectioni occurrit. Dico rudisus eandem, & ad alteras partes productam, convenire cu sectione. Sit enim M A linea tu,
ta quam posIunt; & G F ordinatim applicetur: quadratum autem A D aequale sit sectangulo Η Α F ; & ordinatim applicata 3 conveniat eum D E in C puncto. Quoniam igitur rectangulum F AB aequale est quadrato A D: erit ut B A ad AD, ita D A ad A F. quare & reliqua B D ad reliquam DF, ut B A ad AD:& propterea ut quadratum B Dad quadratum D F, ita quadratum B A ad quadratum A D . Rursus quoniam quacitatum A D aequale est rectangulo B A F: ut B A ad A F, sc erit quadratum B A ad quadratum AD, hoc est quadratum B Dad quadratum DP. ut autem quadratum B D ad quadratum D P, sic quadratum B C ad quadratum F G: & ut B Α ad A F, sie rectangulum B A M ad rectangulum F Α Μ . ut igitur quadratum B Cad quadratum P G , ita rectangulum B Α Μ ad ipsum F Α M : & permutando ut quadratum BC ad rectangulum BAM , ita quadratum FG ad rectangulum FAM . at quadratum P G aequale est F A M rectangulo, propter sectionem . ergo & quadratum B C rectangulo BAM aequale erit . est autem AM rectum figurae latus ,&B C ordinatim applicata. sectio igitur transit per C punctum: & linea CD in C eum
LV aliquibus exemplaribus vigesimi septimi theorematir talis legitur demonstratio. S IT parabole, cuius diameter A B: & hanc secet recta linea quaedam G D intra sectionem. Dico G D productam ad utrasque partes cum sectione convenire. Ducatur enim per A punctum, ordinatim apylleatae aequid istans, quae sit A E. ergo A E cadet extra sectionem. vel igitur G D ipsi A E aequidistat, vel non . & siquidem aequidisset, ordinatim applicata est, ideoque si producatur ad utrasque par
55쪽
tes, bifariam secta a diametro conveniet eum sectione si vero non aequid istet, sed producta conveniat cum A E in E puncto; perspicuum est ipsam cum sectione convenire ad partes E; nam si cum A E convenit, multo prius sectioni occurrat necesse est. Dico etiam ad alteras partes productam cum sectione eonvenire. Sit enim Μ Alinea , iuxta quam possunt: & in rectum ipsi producatur Α F. ergo M A ad A BA est perpendicularis. Fiat ut quadratum A E ad triangulum A E D, sic linea M A ad A F: & per punista M , F ipsi A B aequi distan-B tes ducantur E G Κ, M N . Cum igitur quadrilaterum sit L A D G , & positione data L A : duca. tur C Κ B ipsi L A aequi distans, quae abscindat CK G triangulum quadri latero L A D G aequale,&per B ipsi F A M aequidistans ducatur X B N. Itaque quoniam ut quadratum A E ad triangulum . A E D, ita est linea Μ Α ad A P; & ut quadratum A E ad AED triangulum, ita quadratum C Bad triangulum DC B, etenim A B, C B inter sese aequidistant; & ipsas coniungunt CE, A B; ut autem M A ad Y F, ita Α Μ N B parallelograminum ad parallelogrammum A FX B: erit ut quadratum CB ad triangulum CDB, ita AMN B par illelograna numi ad parallelogrammum A F X B, & permutando ut quadratum C B ad parallelograininum AMN B, ita C D B triangulum ad parallelograminum A F X B. parallelogrammum autem A EX B triangulo C D Beti aequale a quoniam enim C H Κ triangulum aequale est quadrilatero A L D G; & quadrilaterum G D B Κutrique commune : erit L AB E. parallelogrammum aequale triangulo C D B. sed L A B Κ parallelogrammum aequale est parallelogrammo F Α Β x : quod sit in ea. dem basi A B, & in eisdem parallelis AB, L X. ergo C D B triangulum paralle. logrammo X F A B aequale erit . quare & quadratum C B aequale parallelograminmo AMNB. parallelogrammum autem M A B N rectangulo M A B aequale: qubdMA ad A B sit perpendicularis. ergo rectansulum Μ AB est aequale quadrato CB. atque est M A rectum figurae latus, Λ B diameter, &C B ordinatura applicata, cum ipsi A E aequid istet. ex quibus sequitur punctum C esse in sectione. ergo D GC in C cum sectione convenit. quod demoni trandum proponebatur.
EIvsDEM COMMENTARIUS IN PROPOSITUM THEOREMA.
Α FI AT ut quadratum A E ad triangulum A E D, sie linea M A ad A F. Demonstratum eis hoc in commentariis in uudeclinum theorema . si enim describentes 'va.dratuis tinea ε Ε, ipsiuι lateri apposuerimur spartam triangula A E D a1uale e faetam . o iam eris, quod querebam L.
V Cum igitur quadrilaterum sit L ADG, & politione data L A: ducatur C Κ B ipsi L Α aequidistans, quae abscindat G Κ G triangulum quadrilatero L A D G aequale. J me ita faciemus. si enim,
s. sexti ut in elementis didieimus, dato restilineo , videlicet quadrilatero L-DG aquale, ct triangati dato: E D simiae eons ituerimus triangulum ST T , ita ut latas S T lateri A D responde te; st De eri-mvis G Κ ipsi S r arualem , σ TT ερ Iem Y C . sum ma linea C Κ, falsum erit, quod quaritur. Quoniam enim aetgulas ad T arualis est an alo ad D, hoe est ei, qui ad G: erit triangulum C G x araate, ae si . miste triauulo STT , CT an Alas C angulo fi qualis . qai quidem al. αν. primi terni sunt. tinea igitur C Κ aquidistat iU A E . constar autem lineam z M A tangere fessionem, qaando eis a sit avis: alio ruin ipsam secat, ct omuino ad uiametrum perpendiculinis ducitur.
56쪽
Si recta linea unam oppositarum sectionum contingat , sumatur autem punctum intra alteram sectionem; &per ipsum linea comtingenti aequidistans ducatur: producta ad utrasque partes cum s
ctione conveniet. SINT Oppositae sectiones, quarum diameter Α B: & sectionem, in qua est A,
eontingat quaedam recta linea GD: sumatur autem aliquod punctum E intra alte ram sectionem; & per E ducatur E F ipsi C D aequi distans. Dico lineam E F prinductam ad utrasque partes cum sectione convenire . Quoniam enim ostensum est lineam C Dproductam convenire cum diametro A B. atque est E F ipsi aequid istans. linea E F producta cumo iametro conveniet. conveniat autem in Ga &ipsi G B aequalis ponatur A H: deinde per H ducatur H Κ aequidistans E F; & ipsa Κ. L ordina. tim applicata, ponatur G M aequalis L Η ducaturque M N ordinatim applicatae aequi distans a& G N in directum producatur. Itaque quoniam
LM una eademque recta linea : triangulum K H L simile est triangulo GMN. est autem L Haequalis G M.quare & Κ L ipsi M N aequalis erit: ideoque quadratum Κ L aequale quadrato M N. Rursus quoniam L H aequalis est GM, &AH ipsi B G ; communis autem Α Β : erit B L aequa- Iis A M; & propterea rectangulum B L A rectangulo ΑM B aequale. ut igitur rectangulun B L A ad quadratum L L, ita rectangulum AM B ad quadratum M N .sed ut rectangulum B L A ad K L quadratum, ita transversuin figurae Iatus ad latus rectum. quare ut rectangulum A M B ad quadratum M N, ita erit latus transversum ad rectum. ex quibus collisitur , punctum N in sectione esse . ergo linea E F producta in pun-Eho N eum sectione conveniet. Similiter ostendemus, si ex altera parte producatur, cum sectione convenire .
cmDsi CP perbolen secet, eadem nihilominus sequentur, quemadmodum inci
ΤΗΕΟ REM A XXIX. PROPOSΙΤΙΟ XXIX. Si in oppositis sectionibus recta linea per centrum ducta occurrat uni sectioni: ulterius producta alteram quoque secabit .
Sint sectiones oppositae, suarum diameter A B, centrum autem C: & linea C D sectionem A D secet. Dico ipsam C D alteram quoque secare. Ordinatim enim
57쪽
enim applicetur D E ; ipsique A E ponatur aequa-ii, BF: & F G ordinatim ducatur. Quoniarria igitur E A, B F aequales sunt, & Α Β utrisque
communis ; rectangulum BEA rectangulo AFB est aequale. & quoniam ut rectangulum . BE A ad quadratum DE, ita est transversum latus ad rectum. ut autem rectangulum AFB ad quadratum FG, ita latus transversum ad rectum. ergo ut rectangulum BE A ad quadratum DE,
sic rectangulum AFB ad FG quadratum . sed aequale est rectangulum B E A rectangulo AFB. quadratum igitur D E quadrato F G est aequale. Quod clim linea EC aequalis sit C F,& DE ipsi F G; sitque recta linea E F, & E D ipsi F G aequi distans: erit & D G recta linea. ergo C D sectionem quoque alteram secabit.
ERIT & D G recta linea . J Sequitur enim ex iam dictis triau Iam C DE tri- aetata CG F simile esse a angulumq; DC E antalo G C F qualem . sed eum E F νenta linea sit; anguli si C F, G C E dAobur retitissent aquales, itemque auxia DC E, DCF. ergo Er religat C E , P C Finter se aquales erunt : ct ieeirco G C F , F C D aquales duobus rectis. quare D G recta linea sit necesse est.
THEOREM A XXX. PROPOSITIO XXX. Si in ellipsi,vel oppositis sectionibus recta linea ducatur,ad utrasq; centri partes sectioni occurrens: ad centrum bifariam secabitur.
SIT ellipsis, vel oppositae sectiones, quarum diameter AB, centrum C:&per C ducatur recta linea D C E. Dico CD ipsi C E aequalem esse. inclinatim enim applicentur D F, E G. Et quoniam ut rectangulum B P A ad quadratum F D, ita est transversum latus ad rectum a & ut rectangulum AGB ad quadratum G L, ita latus transuersum ad rectum : erit ut rectangulum B F A ad quadratum F D, ita rectangulum Α G B ad quadratum G E; & permutando ut rectangulum B F Α ad rectangulum A G B, ita D F quadratum ad quadratum G E. ut autem quadratum DF ad quadratum GE, ita quadratum F C ad ipsum C G quadratum. ergo permutam do ut rectangulum B F A ad quadratum E C , ita rectangulum A G B ad quadratum C G. ut igitur in ellipsi componendo, in oppositis vero convertendo & per conversionem rationis, quadratum A C ad quadratum C F, sic quailratum B C ad quadratum C G : & permutando . quadratum autem A C aequale est quadrato CB. ergo & quadratum F C quadrato
58쪽
inter se aequid illent; necesse est lineam D C ipsi C E aequalem esse.
Vt igitur in ellipsi componendo; in oppositis vero convertendo, & per conversonem rationis . J A ellipsi quidem ita dicemus. quoniam ut rectangulum e F B ad quadratum DF, ita est rectangulum Acs E ad quadratam 9E. ut aurem quadratum D Fad quadratum F C, ita qMadratam EG ad quadratumVC. erit ex aquali ut rectanguin me F E ad quadratum F C, ita rectangulum A G A ad quadratam GC e 9 componendo ut rectangulum A F B una eam gaiarato F C ad quadratum F C, bae est quadra. tam ε C ad quadratum C F s etenim recta linea A E secatur in partes aquales adpum s. seeudi.ctum C, ct in partes inaquales ad F I ita rectangulum e 9 B una eum quadratoVC ad quadratum G C, hoe ei propter eandem causam, quadratum B C9 qaadratum: ct permutando ut quadratum e C ad quadratum C B, ita F C quadratum ad quadratum C 9. At vero in oppositis hae modo . Quoniam ex aquali est ut rectangulum B F A ad quadratum F C , ita rectangulum A G B ad CG quadratum: erit convertendo ut qua dratam F C ad rectangulum B F e , ita qMadratum G 9 ad rectangulum e 9 B, ct per conversionem rationis , ut quadratum F C ad quadratum C A, ita quadratum G C ad C B quadratum . nam eum linea in B bifariam feeet- in C; atque ei adiiciatar F e rerit rectangulum B F AAna eum quadriso a C aruale quadrato C F. quare C F qu dratum exuperat rectantulum B F A, ipse quadrato . paliare igitur di tum est δε- ε. secvdi. qui illud per eonversionem rationis .
FED. COMMANDINUS. ΕΤ clim D F, G E inter se aequidistent a necesse est lineam DC ipsi C E aequalem Besse. Quoniam enim aqaidistam D F,VE, sequitur angulum C F D aqualem esse an gHo C G E ,σpropterea triangulum C D F triangulo C E Usimile. ergo At FG ad C D, ita G C ad C E : ct permutando ut F C ad C G , ita D C ad C E . aquaIes atitem sunt F C, C G, ut demonaratum est. ergo ct D C, C E quales erunt.
THEOREM A XXXI. PROPOSITIO XXXI.
SI in transverso figurae latere hyperboles sumatur aliquod pu Elum, non minorem abscindens aci verticem sectionis, quam sit
dimidia transversi lateris figurae ; 8c ab ipso recta linea sectioni occurrat: si producatur, intra sectionem ad sequentes ipsus partes
cadet. SIT hyperbole , cuius diameter AB: & in ipsa sumatur punctum aliquod C,
non minorem abscindens lineam CB, quam sit ipsius AB dimidia; & occurrat sectioni quaedam recta linea CD. Dico CD productam intra sectionem cadere. Si enim fieri potest , cadat extra sectionem, ut CDE; & a quovis puncto Eordinatim applicetur E G , itemque ipsa DH: sit autem primum linea A C aequalis CB. Itaque quadrarum E G ad quadratum VII maiorem proportionem . s. quinti. habet,quam quadratum P G ad quadratu D H. ut autem quadratum E G ad D H 'quadratum, lic quadratum G C ad quadratum C H;propterea quod E G ipsi D I Ex sit Disit iroo by Cooste
59쪽
sit aequidistans: & ut quadratum FG ad quadratum D II, sic rectangulun Λ G B ad rectangulum AH B, propter sectio-x'.quinti nem . quadratum igitur GC ad quadratum,elamqn C H proportionem maiorem habet, quam re-
cimo, ctangulum A G B ad rectangulum A H B i &hum ' permutando quadratum G C ad rectangulumas.ciusdε AGB habet maiorem proportionem, quam A quadratum C H ad rectangulum ΑΗΒ. ergo dividendo quadratum CB ad rectangulurr . AGB maiorem habet proportionem,quam qua s dratum C B ad rectangulum ΑΗΒ. quod fieri non potest . non igitur linea C D E cadet ex- C tra sectionem. quare intra cadet: & iccirco quae ab alio puncto lineae A C ad sectionem ducitur, multo magis cadet intra, quoniam & intrata Slineam C D cadet.
A ERGO dividendo quadratum C B ad rectangulum AGB maiorem habet pro-
. portione, quam quadratum C B ad rectangulum AH B. uoniam enim recta linea. t vhdi A B b, a iam feeaiων in C, r ipsi adiicitur linea B 9 rectangviam e 9 B una cum Padrato C E aquale ess quadrato C G . ergo C 9 quadrasum superat rectangulum AG Rquaisato C E ' σ propter eandem causam quadratum C es superat rectangulum e HB ipso C B quadrato . rectὸ igitar e pollonius dixit, dividendo ut d concladi .
B Quod fieri non potest. I suadratam enim C B ad rectangulum A H B ma opem . quinti. proportionem habet, quam ad rectangulum ε GEt quippe eam rectangalam LAEG RUD A ME maius sit .
C Et iccirco quae ab aliquo puncto lineae Α C ad sectionem ducitur, multo magis
cadet intra. J Samatur enim in linea A C punctum Κ, a qώo dacta Κ L adfectionem producataer in M. Pico lineam x L At multo magis intra sectionem eadere. Si enim steri potest cadat extra , ordinatim'ue anticen rur M N, Lois iuncta C Lprodacatur , ut secet af N in P : eadet C L 'P intra sectionem ex Vr , qua proxime demonstrata sunt. Itaque quoniam linea M ML O araidistant o erant triangula L ΚΟ, Ac Κ δω- milia; s similia inter se LCO, P C N. sed tria fuli L ΚΟ angalus x LO maior est angulo C Lo tria
aetati LCO. ergo σ aetulus K M N angvio C P Nis 8e v. maior erat, interior exteriore , quod fieri non potest. primi et, . D si ponatur L M eadere qaidem intra sectionem, sed mς ψ MN extra lineam L P , vel in ipsam e nihilominu abs r 1 μη dum sequetur . eonstat ergo lineam X L As motio ma- γeis , quam C L 'P intra Iectionem cadere. quod quidem aemonstrandum proponebatur.
iam demonstratis sequitur lineam , quae hyperbolen contingit , si pro
60쪽
SI per verticem sectionis coni recta linea ordinatim applicatae aequi distans ducatur, sectionem continget: & in locu , qui inter conisectionem& rectam lineam interijcitur, altera recta linea non cadet.
SIT coni sectio prius parabole, cuius diameter A B: & a puncto A ducatar A Cordinatim applicatae aequid istans: cadet linea A C extra sectionem , quod supra demonstratum est. Dico in locum, qui inter lineam A C & sectionem interi jcitur, alteram rectam lineam non cadere. Si eniin fieri potest, cadat, ut A D, sumaturque in ipsa quodvis punctum D; & ordinatim applicetur DE : sit autem linea A F, iuxta quam possunt, quae a sectione ordinatim ducuntur. &'uoniam quadratum D E ad quadratum E A maiorem proportionem habet, quam quadratum G Ead E A quadratum. estque quadratum G E aequale rectangulo FAE. quadratum igitur DE ad quadratum EA maiorem proportione habet, quam re
elangulum FAE ad quadratum E A, hoc est quam F A ad A E. Itaque fiat ut quadratum DE ad qua- Adratum E A, sic F A ad A H : & per H ducatur H L Κ aequid istans ED. Quoniam igitur est ut quadratum D E ad quadratum E A , sic linea P A ad ipsam . A H , hoc est rectangulum F A H ad quadratum AH. S ut quadratum D E ad quadratum EA, ita. quadratum K H ad I A quadratum: rcchangulo autem P ΑH aequale est quadratum L H. quare ut quadratum L H ad quadratum H A, sic quadratum L H ad quadratum H A . aequalis est igitur linea K H ipsi H L. quod est absurdum . non ergo in locum inter rectam lineam A C & sectionem altera recta linea cadet . Sit sectio hyperbole , vel ellipsis, vel circuli circunferentia, cuius diameter A B, & rectum tigurae latus A F: iuncta autem B F producatur ;& a puncto Α ordinatim applicetur A C, quae extra sectionem cadet, ut ostensum est. Dico in locum, qui inter lineam rectam A C , & sectionem interi jcitur, alteram rectam lineam non cadere. Cadat enim, si fieri potest, ut Λ D; & in ipsa