장음표시 사용
211쪽
quae bifariam secabitiir in D, ducantur per G, Η lineae CG P, B Η Eipsi A Daequi distantes: & per L ducatur L M N aequidistans H Κ . I Messe M N. Applicentur enim a punctis E, M lineae E Κ, MX aequidi itantes GH; &per Μ ducatur Μ P aequidistans A D. Quoniam igitur exijν, quae ante demonstrata sunt, ut quadratum H E ad quadratum E K , ita est rectangulum a s .quinti. BX E ad quadratum X Μ: erit ut H B quadratum ad quadratum E Κ, ita rectangulum EXS una eum suadratos . primi H E, hoc eii quadratum H X ad quadrata Κ B, X M. qua tu . Gratum autera K E ollatisum est aequale rectangulo G H L :S quadratum A AI aequale est quadrato H P.ut igitur quadratum H E ad quadratum E Κ, ita quadratum H X, hoc est M P ad rectangulum G Η L una cum quadrato H P. sed ut is ci agratum H E ad quadratum E Κ, ita est quadratum M P ad quadratum P L. quare ut quadratum M P ad quadratum P L, ita quadratum M P ad rectangulum G HL una cum quacisaevi H Pi S propterea quadratum L P rectangulo G Η L una sum quadrato H P aequale erit. ergo recta linea LG in partes aequales secatur ad P , & in partes inaequales ad is . &sunt aequidistantes MΡ, G N . linea igi-xur L M ipsi Μ di est aequalis .
SI in una asymptoton hyperbolae aliquod punctum sumatur, ab eoque recta linea sectionem contingat , & per tactum duc tur aequidistans asympisto: quae per dictum punctum transit, alteri asymptoto aequi distans, 1 sectione bifariam dividetur.
SIT hyperbole A Bi asymptoti verb C D, D E: & sumpto in linea C D quovis
puncto C , per ipsum ducat it CB Esectionem contingens;
tapen quidem duςatur P B G aequi distans CD; per Cautem CRO, quae ipsi D E aequidistet. Dico lineam CA taequalean pile A O , Ducatur enim per Λ linea A H aequi, distans CV,&per B linea BK aequidistans DE. Itaque quoniam CB aequalis est BE: erit & CL ipsi KD , C Lar ipsi F E aequalis. quod eum rectangulum ΚΛ F aequale sit rectangulo C A H; & linea BF aequalis DX , hoc est C Κ . & Λ H aesi D C: rectanguium D C Α aequa D lcerat rectangulo KCG. ut igitur DC ad C Κ, ita CG ad A C. est autem DC ipsius C Κ clupla. ergo & CG dupla CA: iccireoque linea C A ipit AG est
ALITER. Sit hyperbole A s, cuius asymptoti C D, D E. S contingens C is E, aequidi ilantes autem C A G , E B G. Dico ri ipsi A G aequalem este . Coniungatur enim Α Β, Ε S ad li,Κ producatur. Itaque quoniam CB aequalis est F n E: erit& Κ Η ipii B A aequalis . sed & e B est aequas lis AE H. ergo & E A ipsi A G aequalis erit. FED.
212쪽
CONI CORVM LIBER III. FED. COMMANDINUS.
Ut igitur D C ad C Κ, ita C G ad A CEx decima quinta sexti. DIN ALIAM DEMONSTRATIONEM, Q M AFFERT EUTOCIUs. ITAQUE quoniam C B aequalis est B Er erit & Κ B ipsi B A aequalis. JOb IL E
ΤHEOREM A XXXV. PROPOSITIO XXXV.
IISDEM positis, si a sumpto puncto recta Iinea ducatur, sectionem in duobus punctis secans r erit ut tota ad eam , quae e tra sumitur, ita inter se se portiones illius, quae intra sectionem
sta A B hyperbole, cuius asymptoti CD, D E,contingensque C B E, & H Baequi ditians C D: ducatur aute pei C recta linea CALFG, quae sectionem in punetis A,F secet. Dico ut F C ad C A, ita esse F L ad L A. Ducantur enim per puncta C,Λ,B,F lineae C N X, Κ A V M, O P B R, F Y ipsi D E aequi distantes: &per A,F clucantur APS, TERM X aequi distantes DE D. Quoniam igitur aequalis est A C ipsi V G: erit& Κ Λ aequalis 1 G. sed Κ Λ est aequalis D S. ergo& T G ipsi D S est aequalis: & propterea C Κ ipsi D Y. rursus quoniam C Κ aequalis e t D Y: & D Κipsi C Y aequalis erit. ut igitur D K ad K C, ita Y Cad C Κ: &ut T C ad C Κ, ita P C ad C Α . sed ut F C ad C R, ita Μ L ad K As & ut Μ Κ ad ΚΑ, ita
Μ D rectanguluin ad rectangulum D A : ut autem D K ad K. C, ita rectanguium H Κ ad rectangulum Κ N. ergo ut rectangulum M D ad rectangulum D A, ita rectangulum H Κ. ad ipsum K N. atque est rectangulum A D aequale
rectangulo D B,hoc est ipsi O N . est enim linea C B aequalis B E, & D O ipsi O C. quare ut rectangulum D M ad O N. ita Η Κ ad Κ N . reliquum igitur M H aureliquum B Κ eli, ut totum D M ad totum O N . quod cum rectangui um K S aequale sit H O ; commune.auferatur D P: erit reliquum Κ Ρ reliquo P H aequale. commune apponatur Λ B. totum igitur Κ B aequale est A H: & ut M D ad D A, sita ΜΗ adHA. sed ut M D ad U A, ita linea M K ad K Α, hoe est F C ad C A : ut autem M H ad Is Α, ita M V ad U A, hoc est F L ad L A. ergo ut P C ad C A, ..ita EL ad LA.. Dia EUT
213쪽
ALITER. sit hyperbole Α B, cuius asymptoti CD, DE:&a puncto C linea quidem C B ducta scistionem contingat ;C AGH vero in duobui punctis secet: &veris ducatur F B Κ ipsi C D aequidistans. Itaque clemonstrare oportet ut G C ad C Λ, ita etae G F ad F A .Coniungatur enim A B; atque ad L, M producatur: &a Euncto E ducatue E N aequidistans C H. Quoniam igitur C B aequalis est B E : & C Α ipsi E N est aequalis, A Bipsi BN . sed cum ΒΜ si aequalis L A: erit N M excessus linearum L A , A B . & quoniam in triangulo A M H ducta est E N ipsi Α Η aequidistans, ut A M ad Μ N , ita erit A H ad N E. & est NE aequalis A Crut igitur H A ad A C, ita Α M ad excess um linearum A B, B M, hoc est L Bad excesium linearum L A, A B. ut autem H A ad A C, ita G C ad C A: est enim C A aequalis Η G. ergo ut G C ad C A, ita L B ad excestum linearum L Α, AB;&CF ad excellum linearum C AIA F. sed quoniam quaerebatur; si ut G C ad C A, ita fit G F ad F A : demonstrare oportet, ut tota G C ad totam C A , ita esse G P ablatam ad ablatam F A,& reliquam C P ad reliquam, videlicet ad excereum linearum C A, A F. quare demonstrandiun est ut G C ad c Λ, ita C F ad exceinum linearum C A , A P. FED. COMMANDIMUS.
Α - QUONIAM igitur aequalis est AC ipsi FG: erit & K. A aequalis T G. J Li
F Hoe est ipsi ON. est enim linea C B aequalis B E. J Nam eam sir linea C E
' qualis S E, ex tertia secundi huiκι : erit ob si, litudinem trianguiarum CB N, ET Hs' HB a3ualis B Ne iee ιrcoque rectangulum H O rectangulo G N aquale .
G Et ut M Dad D Α, ita Μ Had H A . in superius enim demonstraνit , ut rectan mulam M D ad D A , ita esse M H ad E κ .
IN ALIAM DEMONSTRATIONEM, QUAM SCRIBIT EUTOCI Us.
H ET C F ad exeessum linearum C A, AP. J Nanque ut SC ad C a , ita est L Sad exeo in linearam L e , ser B . ut aatem L B ad excessum linearum LA, AB, ita C F ad exegum linearum C A , AF; qaod mox demonstrabimus . ergo tit 9 C ad C A, ita C F ad excessum C A ,- F. est enim ob similitudinem triangHomm A C L, 4 F A , at L e ad inae , ita Ceis ais Fera dividendo ut excessus , quo L. et exincea,t AE, M ipsam AZ , ita excessas , quo C A excedit A F , ad in F : σ eonis vertenda . rursus quoniam in L A ad A E , ita C ais ad A Fr erit eompynenda ut L Bad B - , ita C F ad F A. sed in is A ad exressum , qao L ais excedit a B, Da A Fina excessam , quo excedit A F . ex Naal, igituν ut Liu ad excessum linearum, L - , AB, ita C F ad excessam ιι nearum C A , AF.
1. seeundi huius. sexti. a. eeundi huius.
214쪽
A F. Hae orem est, quod proximὸ demon Liravit: sed licet etia in hune modum eanelmdere. Sit enim O s excessati suo linea C A ipsam A F excedie ; ausit C O Μαωιι AFἰUuoniam igitur est xt tota G C ad totam C a s Da C F ablata ad ablatam A in erit σreliqua GF ad reliqaa OC, hoe est ad F A, M 9C ad c e . quod demonstrare opoνtebar.
THEOREM A XXXVI. PROPOSITIO XXXVI.
IISDEM positis, si a puncto ducta linea neque sectione in duobus
punctis secet, neque aequi distans sit asymptoto; sed cu opposita sectione conveniat: erit ut tota ad linea, quae inter sectione &aequidistantem per tactum ducta interi jcitur, ita quae est inter opposita sectione & asymptoto,ad eam,quae inter asymptoto & altera sectione.
SINT Oppositae sectiones A, B; quarum centrum C, asymptoti D E, F G: & in linea G C sumatur punctum G ; a quo ducatur GBE quidem sectionem contingens; G H vero neque aequid istans ipsi C E, neque sectionem in duobus punctis secans. iam sonstat H G producta convenire cum linea C D: & propterea cu lectione . Α, ut demonstratu in est . conveniat igitur in puncto Α:& per B ducatur ΚBL aequi distans C G.Dico ut A K ad K H, ita esse Α G ad G H. Ducantur enim a punctis A,Hlineae HM, AN, quae ipsi C G aeqv id istent: & a punctis B,G,H ducantur B X, G P, R H S N, quae aequidissent DE. Itaque quoniam Α D aequalis est G H: erit ut A G ad G Η, ita D H ad Η G. ut autem AG ad GH, ita N S ad SH:&ut D Η adHG,ita CS ad SG. ut igitur N S ad S H, ita CS ad SG. sed ut N S ad SH ira rectangulum N C ad rectangulum C Η: & ut CS ad s G,
ita rectangulum C R ad rectangulu RG ergo ut rectangulum NC ad rectangulum C H, ita rectangulum C Rad ipsum R G. & ut unu ad unum, ita omnia ad Omnia.
quare ut N C ad C H, ita totum N L ad C Η & R G . de quonia EB est aequalis BG:erit de LB ipsi BP aequalis: & rectangulum LX aequale rectangulo BG . sed rectangulum L X rectangulo CH iratus. . aest aequale. ergo & B G ipsi C H. ut igitur N C ad C H, ita totum L N ad BG.&
ALITER. Sint oppositae sectiones A,L; quarum asymptoti B Κ, DC, & contingens B Λ D: ducatur autem L ΚD G P; & sit F Α ipsi C D aequid istam. Demonstrandum est ut L E ad FG , ita L Dad D G. Coniungatur enim A G,& ad RH protrahaturi erit Α Η aequalis L G, & Η G ipsi Α Ε. ducatur per D linea DM aequid istans C H. ergo B Aipsi A D est aequalis. & Η Α ipsi A M. quare Μ G est excessus linearum H Α, Α G, hoe est A G, G E. & quoniam B Κ aequi distat D M, ut HG ad G Μ, ita erit L G ad G D. atque est Λ Ε aequalis H G, & L D ipsi L G. ergo ut L Dad DO, sic ΑΕ ad GH, hoc est auexeelsum li-
215쪽
b H non a ai distat CE, neque sectionem in duobus punctissecat: necesse est, ut eonu niat evim ipsa C D ad partes D . nam si conveniret ad partes C, sectioni prιαι occarinreret ; atque ita eam in duobus pant is secaret; qaod nou ponitur.
B Et propterea cum sostione Α, ut demonstratum est. undecima secandi hiaui.' 'C Itaque quoniam A D aequalis est G II. sexta decima fecandi hωivis., D Erit ut A G ad GH, ita D H ad I G. ut autem A G ad G H, ita N sadsΗ & ut D Η ad Η G, ita CS ad SG . Hunc focum nos restituimus. in Uraca enim
IN ALIAM DEMONSTRATIONEM, QUAE AB EUTOCIO AFFERTUR.
ET HA ipsi Α Μ . ob simultadinem tria tutoriam Me R H, D M. Sed ut A E ad excessum linearum A G, G E , ita D F ad excestum linearum
Hoc est ad G F. Linea enim 'D 9 una cum exressu, quo exceditar a G F. est ipsi G
THEOREM A XXXVII. PROPOSIT aD XXXVII.
SI coni sectionem, vel circuli circunserentiam, vel sectioneso . positas contingentes duae redita lineae sibi ipsis occurrant ; & per
216쪽
CONICORUM LIBER I I Liactus linea producatur ; ab occursu vero contingentium duc tur linea sectionem in duobus punctis secans: erit ut tota ad eam, quae extra sumitur, ita portiones inter sese . uuae a lineatastiis coniungente fiunt.
SIT eoni sectio Α Β , contingentesque Α C, C B: & iuncta Λ B, ducatur CDEF. Dico ut F C ad C D, ita esse F E ad E D.
Ducantur enim pei C, A sectionis diametri
ut quadratum L M ad quadratum X O, ita quadratum P M ad quadratum DO . sed ut quadratum L M ad quadratum X Ο, ita L M C triangulum ad triangulum X C O: & ut quadratum P M ad quadratum DO, ita triangulam F R M ad triangulum D P o. quare ut triangulum L C M ad triangulum X O C, ita P R M triangulum ad triangulum DPO; & ita reliquum quadrilaterum LC R P ad reli- , OuN, quum X C P D. est autem LCR F quadrilaterum triangulo AL Κ aequale, '& quadrilaterum X C P D aequale triangulo A N X. ut igitur quadratum L Mad quadratum X O, ita A L Κ. triangulum ad triangulum A NX. sed ut qua Ddratum L M ad quadratum X Ο, ita quadratum F C ad quadratum C D: & ut triangulum A LΚ ad triangulum ANX, ita quadratum L A ad quadratum AA X, & quadratum E E ad quadratum Ε D. ergo ut quadrat in F C ad quadratum C D, ita F E quadratura ad quadratum E D: α ideo ut linea F C ad O. sextῖ.
217쪽
, F E D. COMMAN. DINV. S. SED ut quadratum L M ad quadratum X O , ita LCM triangulum ad iti-
B Et ut quadratum P M ad quadratum Do , ita triangulum F R M ad triangulum D P οὐ ob similit dinem triaci Ioram F R M , D'P O, at dictum est. C Est autem LCRFquadrilaterum triangulo A LΚ aequale,&quadrilaterum
D Sed ut quadratum L M ad quadratum X Ο, ita quadratum F C ad quadra-
. Ita quadratum L A ad quadratum A X, & quadratum P E ad quadratum
THEOREM A XXXVIII. PROPOSITIO XXXVIII.
IISDEM, postis si per contingentium occursum ducatur recta linea, tactus coniungenti aequi di stans ,& per punctum, quod coniungentem tactus bifariam dividit, ducatur linea, secans §ionem ipsam in duobus punctis., & lineam aequid illantem
per occursum dustam: erit ut tota ad eam, quae extra sumitur inter sectionem & lineam aequidistantem , ita portiones inter sese , quae a linea tactus coniungente
essiciuntur. SIT sectio Α Β , quam contingant rectae linea: A C , C B : sitque A B coniungens tactus: N Uiametri A N, C M. mani sestum est lineam A B ad punctum E bifariam secari. Itaque ducatur a puncto C linea C O ipsi A B aequi distans, & per E ducatur F E D O. Dico ut x adta D, ita esse F E ad E D. Ducantur enim a pulmetis F, D nneae L F Κ M, DI IG X N,aequillitates i
218쪽
quidistent. Eodem modo, quo supra, demonstrabimus ut quadratum L M ad quadratum X H, ita quadratum L A ad quadratum A X . atque est ut quadratum L M ad quadratun X H, ita L C quadratum ad quadratum C X, & quadratum F ad quadratum G D : ut autem quadratum L Α ad quadratum A X, ita F E quadratum ad quadratum ED. ergo ut quadratum Eo ad quadratum OD, ita quadratum P Ead quadratum ED: & ut linea FO ad Ο ita P E ad E D .
E bifariam secari. I Ex trigesima ct trigesimae πο-
Eodem modo, quo supra, demonsitabimus ut quadratum L M ad quadratum X H , ita qua- Uratum L A ad quadratum A X . J Demonstrabim enim at qaadratum L M ad quadrasam X mita triangara A L X ad triangatam A N X. μὰ at triangulum A L L ad triangulam A NX , ita quadrasMm LAM quadratam A X : -runque enim propineionem habeaduplam ei as, qua est La ad A X . erro at Padratum LM M quadrarum X H, ita quadratam L A ad quadratum a X.
Atque est ut quadratum L M ad quadratum X Η, ita L C quadratum ad qua- Cdratum CX, & quadratum Fo ad quadratum o D. enim at L C ad C a, ita F O ad O D ;propterea 3κοd linea C O , X B inter fese aquidistant. Vt autem quadratum L A ad quadratum A X, ita quadratum P E ad qua- Ddratum E D. Rursas eum in idictariter sint in E , X Do erit F E ad EB , MLA ad A X.
THEOREM A XXXIX. PROPOSITIO XXXIX.
SI oppositas sectiones duae restie lineae contingentes sibi ipsis
occurrant , & per tactus linea producatur , ab occursu vero comtingentium ducta linea & utranque sectionem , & lineam tactus coniungentem secet: erit ut tota ad eam, quae extra sumiatur inter sectionem & coniungentem tactus , ita portiones inter sese , quae inter sectiones & contingentium occursum inter ijciuntur.
SINT Oppositae sectiones A,B; quarum centrum C, & lineae contingentes AD, D B: iunctae vero AB, CD producantur; & per D ducatur E DFG. Dico ut EG ad GF, ita esse ED ad D P. Iungatur enim A C, producaturque:& per Eae ducantur ΕΗSΚ , FNL MXO ipsi AB aequidistantes; &EP, P R aequidistantes A D. Quoniam igitur F X, ES inter se aequi. Adistant ; S ad ipsas ducuntur E F, X S, Η Μ: erit ut E H ad H s, ita x Mad M X ; N permutando ut E H ad F M , ita H S ad M X . ergo ut qua- as. sexti. A a a dratum Dissili do by Corale
219쪽
dratum E H ad quadratum F M, ita quadratum H S ad quadratum M X. ut autem quadratum E H ad quadratum F M , ita E H P triangulum ad triangulum F M R: & ut quaaratum H S ad quadra tum M X , ita triangulum D HS ad D MX triangulum. ergo ut triangulum Ε Η Ρad triangulum P M R , ita triangulum DB H S ad triangulum D M X. sed triangulum E H P triangulis A S Κ , Η D S est ae-- quale :& triangulum P M R aequale triangulis A X N , D MX. ut igitur triangu- . tum D H S ad triangulum D M X, ita triangulum A S Κ una cum triangulo D H Sac triangulum A X N una ςum trian guloss.quinti. D MX. quare & reliquum triangulum ASK ad reliquum A X N erit, ut triangulum DB S ad ipsum D MX. ut autem tri- fractangulum ASN ad AX N, ita quadratum C Κ A ad quadratum AN, hoc est quadratum E G ad quantatum G F: & ut triangulum D H S ad triangulum DM X, ita quadratum H D ad quadratum D M, hoc est
D quadratum ED ad quadratum DF. ergo ut EG ad GF, ita ED ad DF. FED. COMMANDINUS. A QUONIAM igitur FX, ES inter se atquidistant; & ad ipsias ducuntur E P,
X S , Η Μ : erit ut E Η ad H S , ita P M ad M X . I Fιunt enim triangula similia E D H , F D M ; itemque itia inter se D HS, 'D M X . quare ut E II ad HS, ita F M ad M D . ct at D H ad G S , ita D M ad M X . ex Maali igitur at E II ad HS , ita F Mad MX . B sed triangulum E Η P triangulis A S Κ, ΗDS est aequale : & triangulum F M R AEquale triangulis A XN, D MX. Ex nudecima huius . C Hoc est quadratum EG ad quadratum G F. ob similitudinem triangulorum
D Ergo ut E G ad G F, ita E D ad D F. J Ex iis, qua dicta sunt , sequitur, ut
quadratum EG ad quadratum G F , ita esse qaiaratum ED ad D F qaadratam . er
go ex vigesima secanda sexti at linea Ecj ad 9 F , ita est E D ad D F .
IISDEM positis, si per occursum contingentium ducatur recta linea , tactus coniungenti aequi distans , & a pundita, quod
coniungentem tactus bifariam dividit, ducatur linea secans uir que sectionem aequidistantem ei, quae tactus coniungit: erit ut tota ad eam, quae extra sumitur inter aequidistantem dc sectionem , ita portiones inter sese, quae inter seῖtiones & coniungentem tactus interijciuntur.
220쪽
SINT Oppositae sectiones Α, B; quarum eentrum C, & eontingentes lineae A D, D B; iungaturque A B, & C D E: erit A E ipsi E B aequalis . ducatur per D linea A . G AEquidistans A B: & per E, quomodocunque contingat, FIE KL. Dico ut H L ad L Κ,ita esse H E ad E Κ. Dueantur enim a putastis Η, Κ lineae H N Μ X, K O P ipsi A B te quid istates;& H R,LS aequi distantes A D: & ducatur Α C X TItaque quonia in lineas aequidistantes X M,Κ P cadunt X Α Υ,M A P: erit ut X A laad AY,ita Μ Α ad A P. ut aute X A ad Α Υ,ita H E ad E K: & ut H E ad E Κ, ita H N ad Κ Ο, propter limilitudinem triangulorum H E N , Κ E O. quare ut HNad Κ Ο, ita M A ad Α P: S iccirco ut quadratum Η Νad quadratum Κ Ο, ita M A quadratum ad quadratum AP. sed ut quadratum H N ad quadratum ΚΟ, ita triangulum HRN ad triangulum Κ So : & ut quadratum M A ad quadratum Λ Ρ, ita XM A triangulum ad triangulum A YP. ut igitur triangulum HR N ad triangulum Κ SO, ita triangulum X M A ad
triangulum Α Y P. triangulum autem HRN triangulis XAM, M N Dest aequale : & triangulum Κ Soaequale triangulis A Y Ρ , P o D . ergo . ut triangulum XAM una cum triangulo M N D ad triangulum AYΡ una cum triangulo Po D, ita X M A triangulum ad triangulum a YΡ. quare & reliquum triangulum MN D ad reliquum D Ο Ρ est, ut totum ad totum . sed ut triangulum X Μ Α ad triangulum ΑYP, ita quadratum X A ad Α Y quadratum : & ut triangulum MN D ad triangulum D O P, ita MN quadratum ad quadratum P . ergo ut quadratum M N ad quadratum P O, ita quadratum X A ad quadratum A Y. ut autem quadratum Μ N ad quadratum P O , ita N D quadratum ad quadratum D Ο : & ut quadratum X A ad quadratum Α Γ, pila quadratum H E ad quadratum E Κ. sed ut quadratum N D ad quadratum GDO, ita quadratum HL ad quadratum L N. ut igitur quadratum H E ad quadratum E Κ, ita Η L quadratum ad quadratum L ne & propterea ut linea
Sed ut quadratum H N ad quadratum Κ Ο, ita triangulum I RN ad tri- Dangulum Κ S O. J Sane enim trianguia H R N, x So inter se similia. Triangulum autem HRN triangulis X Α Μ, M N D est 1quale: & trian- Εgulum ΚSo aequale triangulis AT P, P o D . J Ex undecima batus. Et ut quadratum .X A ad quadratum A Y, ita quadratum H E ad quadratum FE T. . ) Superius enim ostensum es, ut X A ad 4- Υ , ita H E ad E X.
Sed ut quadratum N D ad quadratum DO, ita quadratum H L ad quadra. G