장음표시 사용
21쪽
Aliud de equalibus ec similibus Coni sectionibus. Aliud de diuisis propositivibus
De problematibus conicis . Sed ec omnibus messestis exit volentibus inquirere ipsa: ut ipsorum fiagulus demonstrat. Vale.
I A Q UODAM puncto ad circularentiam circuli, qui non est in
eodem plano in quo punctum est,tinea coniuncta in alteram partem prootrahantur, et manente puncto linea ducta circa circuli circumferentiam in idem rursus restituatur, unde dictum est duci. Scriptam superficiem sub linea quae componitar ex duabus superficiebus sim sumitatem inuicem positis quarum utraq; infinitum augetur, scripta linea in infinitum protracta, voco super/ficiem conica. Samitatem vero ipsius punctum dictum. Axim autem lineam duo clam per punctum N Ceatium circuli. Conum autem contentam figuram a Ciroculo M Contra superficie inter sumitatem re circuli circumserentiam. Sumitatem autem Coni punctam quod superficiei est semitas. Axim autem lineam ductam alamitate ad centrum circuli. Basim autem circulum. Conorum autem rectos v eo ad rectas habeares basibus axes. Scalenos autem non ad rectos habentes basi.
c Mais curuae lineae, quae est in uno plano, Diametrum uoco lineam quae ducta a curua linea omnes ductas in linea rectas lineas redis cuidam equidistantes finduas partes diuidit. Sumitatem autem lines terminus lines recte ad lineam descendem autem super Diametrum diuiditur singula uidistantium.Similiter autem ecduarum curuarum linearum in uno plano iacentium Diametrum voco. obliquaqus secans omnes lineas ductas in utra a lineas prster quandam dupliciter lineam di/uidit. Sumitates autem linearum terminos Di ametri apud lineas. Rectam autem, que p5sita inter duas lineas omnes ductas equidistantes lineas lineae cuidam, bc re ceptas inter duas lineas dupliciter diuidit ducta autem super Diametrum diuidi tur singula equidistantium. Coniunctos voto Diametros duarum curuarum linea rum lineas, quarum utraq; Diameter existens, equi distantes alii lineas dupliciter diuidat. Axim vero voco carus lines Sc duarum euruarum linearum, lineam, qus diameter existens lineo vel linearum ad rectas secat equidistantos. Coniunctos au tem axes curus lines vel duarum curuarum linearum, lineas quae diametri coniunctae existentes, ad rectos diuidunt ad iniuicem equidistantes. CProposito, Pinna. V E a sumitate conice superficiei ducuntur lineae, ad puncta quae insuperfi/ese sunt, sunt in superficie. i λ
22쪽
Sit Conica superficies,cuius sumitas sit.A.Punctum, M sit in superficie conica mi/ctum. B.ta ducatur linea. A. B.G. Dico Φ.A. G. B. linea est in superficie Si enim possibile non si sit describens superficiem linea. d. e. Circulus autem per quem lima. D.
e. ducitur sit.e. z. Si manente puncto. a. linea. d.e. ducatur circa circuli. e. z. circuieren
tiant,deinde, dc per puctum. B. Nerit duarum limarum isdem termini: quod est ata surdum,non igitur ducta linea a puncto. a. ad. b. est extra superficiem est utiq; insuperfici ecclarima est, si a sumitate ad punctum: quod sit intra superficiem ducatur li/neaeadet instia ciuicam superficiem, si vero ad punctum quod sit extra superficiem, erit etiam utiq, linea extra superficiem.
Propositi Secunda. I in utram igitur superficiem sm sumitatem duo puncta ponantur, linea autem
super puncta iuncta non coincidat super sumitatem cadit intra superficiem, si vero ultra lineam. extra: it conica superficies,cuius sumitas punctum. a. circulus autem per quem sertur linea describens superficiens sit. b. g. bc ponantur in utram superficiem sim sumitatem duo puncta. d.e. Nducta. d.e.no cadat super. a. punctum,csico .d.e. est intra superficie, ec quae est ultra linea extra. Ducantur lineae. a. e. N. a. d. x protrahantur, cadent quidem super circuli superficiem, cadant igitur ad. b. g. N ducatur. b. g. Erit utiqet super B. G. lineam. Triangulus enim. B. G. R. est in uno plano, Cadat igitur ad . H.quo niam igitur. h.est intra superficiem conicam M. a. h. utiq; intra superficiem conicam erit, quare M. et . intra superficiem conicam est. Similiter etiam demonstrabis rur se omnia puncta infra. D. E. intra superficiem conicam. D. E. igitur est iditas superficiei, producatur autem ad . t. dico se extra superficiem conicam cadet.
23쪽
Si enim possibile sitit.esse intra superficiem conicam 1 ducatura. t. N protrahatur ea det uti aut super circuli circularentiam aut intra quod est impossibile: cadit enim supercis.productam usq; ad.c.linea igitur.e.t.extra superficiem est lima igitur.daeas iuua superficiem conicamita quae ultra est, extra.
I eonus plano seceturin sumitate.&ctio Triangulus est. CSiteonus cuius sumitas punctuma.basis autem.b.g.circulust& hcctura quodam plano per punctum.a,N faciat sectiones in supertae lincas.a.b. N.a. g.5c in basi faciat lineam.b. g.dicoquea big.Triangulus Q. quoniamenim a punscto.a .ad.b. Iuncta comunis sectio est diuidentis planum ae superficiei Conicae; recta est linea .a.b.similiter autem e a. g. est etiam N. b. g. recta. Triaiigulus igitur.a.b.g. Si igitur conus plano secetur tu sumitate sectio Triangulus est.
24쪽
Propositi Quarta. SI igitur utra superficies in sumitate plano quodam secetur uidistanti circulo. r
quem sertur linea describem superficiem descriptus planus inter superficiem circu.lus crit centrum habens in axi:contenta autem figura a circulo M a conica superfi/cie recepta a plano secante ad sumitalc conus erit. it superficies conica,cuius sumitas punctum.a.circulus autem per quem sertur linea describens superficiem sit.b. g.& secetur plano quodam equi distanti circulo.b.g.&ia ciat insuperficie sectionem lineam.d.c.dico linea.d.e.circulus est in axi hibens censtrumSit enim contrum circuli.b.g.punctum.z.ec ducatair.aαaxis uti est sc tangaotur a secanti plano tangatur igitur in puncto.b. M proferatur quodam planum perata. est utiq; sectio triangulus.a.Kg.M quoniam puncta. d.h.e.sunt in plano secanti est autem dc in planoa.b.g.rcedi igitur est .d.h.e.st insuper quodam punctum.t.in linca
N eonica superficie intercepta ab ipso ad punctum.a.conus est. M demonstrabitur.θcommunis sectio plani secantas di trianguli per axim Diameter est circuli. m. 'r ras
25쪽
- Propositio,ininta. SI eonus kalenus plano secetur per axim ad rectos basi, secetur autem dc altero plano
ad rectos triangulo per axim,auferenti autena ad sumitate triangulum,simile quid aper axim triangulo. subcontrariet positu sectio circulus cst,vocetur autem talis scoelio subcontraria. Sit Conus scalonus:cuius sumitas punctum.a.basis autem.b. g.circulas,ta secetur plasno per arim,recto ad. b.g.circulum,ec faciat sectione.a.Kg.triangulum: oetur etiam N alio plano ad rectos cxistenti. a.b.g.triangulo auferenti autem triangulum ad pun et .a.Triangulusada.tasimile quidem triangulo. a. b. g.Subcontrarie aute positum, idest, quare equalem esse angulum sub .a .c.h.angulo sub.a.b.g. 6c faciat sectionem insuperficie lineam.h.t.c.Dicost circulus est linea .h.t .cisnt enim quaedam puncta inlioneis . h. t.c.M. b.g. M siut.s.l. N a punctis.t.l.ad planum per.a. b.g. triangulum cathetidueantur.cadent utiq; ad communes sectioncs planoru, dant igitur vl.et. Uan.cquidistans nempe est.z.talin .l .m. ducatur per.z.d.tae. uidistans.b. g.est autem dc .et. t. vidistans.l. m.planum igitur per.et. t. vidistat basi coni, circulus igitur cst non diameter linea. d.e.equale igitur quod sub. d. et.&.etae.illo quod fit ab.et. t. id quoniam equi distans est. d. e.lineae. b.g.angulus.a.d.e.equalis est angulo sub a. b. g.& angulus s .a.c.h. angulo sub. a.b.g.& angulus sub. a.c.h.angulo sub. a.d. . cst qualis, sunt autem N ad punctum.:anguli equales,secundum enim sumitatem simile est triang l .d.z.h.triangulo. .et eaest utiq; ut .e.et a Let.c.sitataciad. z.d. quod igitur sab. e.Σ.&.Σ.d illo quod sub.c.z.N.tae. uale estsed quod sub. ciet.&.z.d. demonstratum est
equale illo, quod ab.αtafit,ta quod sub.c.et.&.et. b.equale in illo, quod ab.2.t.fit. Si/militer demonstrabitur theti omnes ab.h. e.linea ductae ad. h. e.cquum posse ibio quod fit a sectionibus .h.e. lineae, Circulus igitur est sectio non diameter.c.b.
26쪽
Propositi Sextu SI conu; plano secetur per axi avrelictumq; sit quodam punctum in Oni superficie,
quod non sit in latere trianguli per axi Mab ipso ducatur equi ditas euidam recte, que est cathetusa circumferentia circuli ad basim trianguli, coincidat tmngulo per mim,N ducta usq; ad alteram partem superficiei per medi um secabitur a niangulo. Sit Conus cuius sumitas si punctum. a . basis autem circulus b. g. ec secrem conuaria no per aximita faciat sectionem. a . b.g.circulumloc a quodam puncto eorum que sunt in superficie .b. g. scilicet. m. ducatur cathctus. m. h .ad.b. g.relictum si in superficie Coni punctum .d.&a puncto.d. ducatur. d.e. uidistanS.m n. Dico Φ.d.e. pro ducta coincidet plano Trianguli . a. b. g. N producta ad alteram partem coni usq; quo superficiem eius tangat per meὸium serabitur a plano Trianguli .a.b. g. coniun gatur.a. g. N producatur, cadet super superficiem . b. g. circuli, cadat igitur a d. e. N a
puncto.c.ad.b. g. thetus dacat .c.l. equi distans igitur est .c. t. lines .m. n.&.d.e. igitur ducatur ab. a. ad. linea. a. t.quoniam igitur in triangulo. a. t.c. uidistans.d. .cst.t.c. producta ergo. d.e. tanget.a .r. S d.a. t. est in plano. a. b. g.tanget igitur. d.e. planum trianguli. a. b.g.tangat igitur in .et. X ducatur. d.z.In rectu usq;quo tangat Coni superfietem ad.h. dico in equalis. d.et. est.et. h. quoniam. A. h.l. puncta sunt insupfi cie coni,scin plano producto pena .ria.c.d. h. e.l.qcs per sumitatem coni triangulus est puncta igitur.a. h. l. in comuni sunt sectione superficies coni & Trianguli recta igitur
in circulo. b. g. cathetus est super diametrum liuea. c.' .equalis igitur e .d. z.lmeea. h.
I conus plano secetur per axim, secetur autem, M altero plano secanti planum, in quo est basis Coni perrectam ad rectos existentem vel basi trianguli per axi vel eidem in rectam,ductae recte a facta sectione in Coni superficie, quam fecit secans planum,equi distantes lineae trianguli ad rcctos basi, super Communem sectio nem cadent serantis plani,& trianguli per axitum producis ad alteram partem sectionis, secabuntur per medium ab ipsa.& si reetus est Conus, linea in basi ad rectos erit communi sectioni plani secantis,ic trianguli per axim.si autem scalenus no semper ad rectos erit sed quando planum per axis erit ad rectos basi Com.
27쪽
conus, furias punctam.a.basis autem b. g.circulus 5 scoetur plano per aximis sa cibit sectione .a.b.g.triangulumsecetur auaem de altero plano secanti planum in quo cst. b.g.ci culas pcr lineam rectam.d.e. vel ad rectos cxistenteh. g. vcl eidem in rectam ec faciat Delionem in superficie Gni.data .communis autem sectio Leatuis plani,ec triaugul a.b.g.liaca. z.h.ec relictum sit quodam punctum in sectione.dα.e.6c sit.t.ta ducarir tacicquidistans. dae.Dico .r.c.coincidet.z.h.N producta ad alteram partem sectionis.d.et.e pet medium secabitur a linca recta.et. h. quoniam Conus:cuius sumitas quidem punctum. a.basis aut .b.g.circulus,secatur plano perarim,& facit sectione
latere trianguli.a.b.g. ec est cathetus.daa. supcr.b.g.igitur per punctum.ti uidistans d.h.ducti id est. t.c. incidit trianguloI.b. g. M producta usq; ad alteram parwm suo perficiei per medium secabitur a mangulo, quoniam igitur ducta per. ta qui distans.
trianguli .a.b.g.Communis aurem sectio supcrficicrum cst.:h.ducta igitur per.t. uidimus.d.eradet super. etda. V producta usq; ad alteram parte sectionis.daz.c. per me dium secabitur,a linea.et. h. vcl conus rectus sit, vel .a.b. g. triangulus per axim rectus sit adh. g.eirculum, vel neutrum Sit prius conus rectus,st igitur 6c triangulus.a. dig.rco sad. b.g.circulum,cum igitur plauum a.&g.ad planum.b.g. rectum sit, Et communi horum sectionib. g.in uno planorum sq:.b. g.adrcctos ducta caed.c.Igitur.d.exst. ad rectos triangulo .a.b.g.N ad omnes utiq; ductas ipsus lineas de existentes in triangulo a.b.g.recta est,igitur Nad.2.h.cst ad rectos.Non sit autem Conus rectus si igiatur triangulus per axim rectus est ad circulum. b. g.similiter demonstrabimus N.d.
nec.d. e. est adrea .et. hsi enim possibile si est autem dcl .g.ad reacs, igiturissimviri . b.g. 5 .et. h.est ad rectos,& plano per.b. g. N. z. h.ad rectos est planum autem per. b. g. z. h. st a. b. g.igitur N.dx.est ad rectos. a. b. g. triagulo ec omnia per eandem plana sani ad reetos triangulo. aci. g. unum autem planorum per. d. . est.b. g. circulus
ad ,g.circulumquod non supponitur. Non igitur. d. e. est ad rectos.z. h. Ex hoc a tem manifestum est,ch sectionis. d. et. e.Diameterest. z. hquoniam ductas equidista
res cuidam rectae. d. e. per medium diuidit. 6c possibile est a Diametroα .equidis stantes quasdam per medium secari.& non ad rectos.
28쪽
I eonus plano secetur per axim, secetur autem dc altero plano secati basim coni orecta ad rectos existente bas triaguli p axim: Diameter ξt facts sectiois in supfid .ecie. vel ad unu erit latetu triaguli, vel coincidet ipsi extra sumitate coni, pducae autem id coni superficies Ic secans planum in infinitum,& sectio in infinitum augebi. tur, M a diametro sectionis ad sumitatem omni datae lineae equalem recipiet quaedam linea ducta a sectione coni ad lineam in basi coni. CSit conus,cuius semitas punctu. a. basis at circulus b. g.ec seces plano p axim, ec saciat
sectione.a.b.g. igulu, e faut ec altero plano, secati circulu.b. g. p recta. d.e. ad se ctos existet 'b. g.ec faciat sectione in supficie.d.: .e. linea,diameter at sectiois.d. z. e. sit.Σ. h.que eu distas sita. g.vel rducta ipsi coicidet extra punctu .a. Dicost 5 s conisupficies, ta secas planu producat in infinitu.&.d. et .e.sectio in infinitu augebis producas. n. coni supficio,&secas planu.clarsi utiq; NI. b. a. g.et. h. P ducetur,q .et. h. vel est eqdistas. a. g.vel producta coincidet ipsi extra punctua.linee igi f.:h.6 .a.g. pducte uset ad .gua. pies nunci coincidet.producatur igie dc relictu sit quoda punctu in .et. h.cotinges. t. N p punctu. tiducas cadistas.b. g. linea. c. t. l. sed. d. e. esidi sta Sest.t. m. n. planii igis p. ed. m.naeqdistis est plano p. b. g.dae. Circulus igitur est planu .c.l m.n. Mqm plicta. d.c.m. n. Sut in plano secati, est aut ic in Iupficie coni, Igis est in coirunt si,ctione. augebis utiq;.d.T. e. v i ad pucta. n.aucta ergo supficie coni N plani L cantis usq; ad circulu.c. l. m. n. augebis N sectio.dar.c. usq; ad psicta .m.n. Simi litor etia detro strabimus q, M si in infinitii pducas εἰ supficies coni, dc planua. secans,dc. n. d. z. in sectione in infinitii augebic e manifestu st, omni date linec equale recipiet quis a recta z. t .ad punctum. t. s.N.ponamus .X.2.equalcm dais: N pcroc. ducamus equi distantem d. .coincidet seatoni, queadmodum e perir. demonstratum est coincidens sectioni per puncta.m. n.quare ducitur linea coincidens sectioni equi distans cxistcns. d.c. teci
29쪽
Propositi Nem. I eonus plano secetur coincidenti alterum latus trianguli mraxi nc ad basiunducto, neq; subcontrarie sectio non erit circulus. CSit conus cuius semitas punctu. a.basa aut circulus. b.DN secetur plano quodan tio existeti eadi stati basi, in subeotrarie,& sacit sectione in supficie linea. d. cae. Di χ.d. c.ectinea non erit circulus, St. n. possibile sit,ec coincidat secas planubas, d si comunis sectio planoru. z.h. centria aut . b. g. circuli sint. εἰ ab ipso cathctus ducatur t. h. super.*.b. dc producae percia. Naxim planu. M iaciat sectiones in conica supficie lineas. s.b.a,m,gGO igitur puncta. d.c. h super comune sectione planinu suns recta est ergo. d. e.e.relictum sit quoda super linea.daeae. punctu. e. dc ducas per .c. cIaesdistas.χ h.eritq;.C .equalis.l .m. diameter igitur, da .est circuli.d.m. .ducas utiq; per m. linea.n.m.x. quidistra b.g.estautac. l.equidistas.ΣhquaI planuper.ra.X. n. qui distas est plano per. b.α. h. idest bas. 6c erit sectio circulas, sit. n.c. x.5 qm. z. h.est ad rectos. b. h, N.c. m. est ad rectos.n x. quare quod est sub nan .equu est illo quod fit abc.m. circulus.n.subiicitur,d. .uine fc diameter ipsi A. e quod est igit sub nandi. equu est illo quod est sub. d. m.e.est uti n.m. n.ad. m.d.sic.e madan. x .smilc igitur est. d m. n tilagulus tria guto. x. m. t.& agulus sub. d. n.equalis est agulo qui Iub.m. e. x. Sed oc agulas sub.d. n.m.equalis est angulo sub.a. Kg. equi distans. naes . n. x.lincae h. g. igitur ec angulus sub.a.b.g.equalis est angulo subae. m.x. subcontraria isitur est sectio quod non subiicitur , non igitur circulus in linea. d.e.e.
Cpropositio, Decima. I in emi sectione relicta sint duo puncta, tecta ad puncta iuncta intra sectio
nem cadet, quae autem in rectam ipsus extra. it conus, cuius superficies punctum. a. basis autem circulus B.g. dc secetur planoper axim ec laciat sectionem.a. b.g triangulum, secetur autem dc altero plane, iaciat sectionem in coni superfidie,lineam. d.e. z. oc relicta sint duo puncta.h . t. in. d. ridico iuncta linea ad. h.t. cadet intra lineam. d. e.Σ.si vero in rectam ipsi extra
manum coma,cuias suinitar punctu basis aute circulus. b. g. secatur plano p axi relicta F
30쪽
relictaq; sunt quaedam puncta in eius superficie Elicet. h. tiquae non sunt i latcre tria. guli per imita linea ducta ab. h.ad.t.non aLa. Iuncta igitur super. . linea intra Conum cadet ec in linea ipsi extra quare de intra.d.c.et. sectionem.
v conus plano secetur per a vim, seretur autem N altero plano secanti basim cenil κ per rectam ad rectos existentem basi trianguli per axim, Et diametor lactionisi ψὴ squidistans sit uni laterum maguli per axim,quae a sectione coni equidistans duetaeli communi sectioni seciantis plani,ta a basi coni usqi ad diametrii sectionis pote. titcontentum sub recepta sub ipsa a diametro ad sumitatem sectionis,N alius cuiusdalineo, vel rationem habet ad eamquς inter coni angulum sumitatem sectionis, quam quadratum quod a basi trianguli mr axim ad cotcntum sub reliquis duabus tria guli lateribus, Vocetur autem talis sectio Parabolo.
CSit Conus cuius semitas punitu.a. basis autem.b.g.circulus,& secetur plano per aximec faciat sectionem triangulum.a.b. g. secetur aurem N altero plano secanti basim ccni per rectam. dati ad rectos existentcm.b.g.& faciat sectionem in superficie coni.d.z.e. diameter autem sectioias.et. h. vidistans sit uni laterum trianguli per axim scilicet .a. g. dc a puncto.:ducatur.z. t. linca ad rectosαh.& saciat ut qSab.S. g.ad id quod sub