장음표시 사용
41쪽
PROPOSlTIO XXoII. XXV. ET XXVI. 13
.Propositio,Vigcsmaquarta. I Parabole vel hyperbole linea ad unum punctum cadens producta*n utramqui extra sectioncm cadet, incidet diamctro. CSit Parabole vel hyperbole,l cuius diametcr .a.b. N coincidet ipsi linea.g. d.e.ad punctum. d.& producta invita cxtra sectione cadet: Dico coincidet diametro a.b.rclinquat. n.quoda puctu in sectione,& sit.z. M iungas. Let. Igit N.d.:Pducta coincidet diametro sectiois, coincidat ad puctu.a.Nest .g. d.eata sectione,N d.a.Igis NG.d.e.Pducta coincidet diametro extra sectione.
42쪽
maius nil quod sub. d. a. g.eo quod ex . e. h. maius ergo& quod ex.rig. co quod ex .e. h. maior Igitur M. i. g.limac b. Neruntesidi states.e.et. igitur ploducta secat.t. g.quare sectioni coincidet,coincidat ad.h. Dicol M ad unum solum punctu.c. cadet, Si .n possibile cadet Nad punctum.l.quoniam igitur Parabolem lino secet ad duo puncta producta: coincidet Diametrosectioiais,quod est absurdum Subi arct.n. equi distans. Igitur. e. et producta ad unum solum punctum coincidit sectioni. Sit utiq; sectio hyoperbolae, transuersum autem speciei lateri sit. a.b. recta autem. a. d.&coniungatur. d. b. N producatur eisdem igitur instructis ducatur .g ma puncto.g. equi distans. a d. quoniam igitur quod est sub. m. g. a. ius est eo quod est sub . d. v. g. N est id quod fit ex. g.t.cquale coquod est sub.m. g.a.quod aute est sub .d. a g. maius co quod fit ex .h.
Ι Paraboles diametrum linea stac in utramcp coincidct sectioni. Parabole, cuius diameter. a.b.& hanc secet quedam linea intra sectione qussit. g. d. Dico .g.d. producta i utra a partcs coicidet sectioni. ducatur. n. qusdam a puncto. aordinate applicata, quς si .e. Igitur a.eaxtra sectionem cader. vel est vii .g.d.cquidistans. a. e. vel mo, Si igitur udistans estim ordinate appli, eatur,quare producta in vita iacida sectioni mo sit utiq; equi distas. a.e.Sed pductaeoincidet. a.e ad. e. of sectioni coincidit ad partesi quas est. e.manifestu.Si. n. a.e.coincidit,multu prius secet sectione Dico sedi in alias partes pducta coincidit sectioni. Sum.ad qua potest. .&ordinate. e. z. N Qqs . a.d.eqle qcs subma.b.
43쪽
d.quoniam autem equale quod fitex.a. d. quod cit sub. b.a. z.sic quod fit .a.b. ad id quod fit ex.a. d.idest quod fit cx.b. d.ad id quod fit ex.d .: ut autem quod fit ex.b. d.ad id quod fit cx.d.et. sic quod fitex.b. g. ad id quod fit ex.et. h. vi aut .a.b. ad a. Σ.sie quod est sub.b.a.m. ad id quod est sub.b. a.m ad id quodest sub.z.a. m. vi igitur quod fit ex.bg.ad id quod fit ex.z.h.sic quod est sub.b.aan.ad id qά cit sub.Σ. a. m. ec inuicem, ut quod fit . b. g ad id quod est sub. b.a.m. sic quod fit ex .et. h.ad id quod est subta a.m.quod autem fit .et. b. uale est quod est sub.et .a.m. per sectionem, Igitur 6c quod fit ex.b. g. ualc eo quod cst sub. b. a. m.&rccta quita est a. m.trans
CProposido,Vigesimaoctam. I linea tangat unam oppositarum. relictum p sit quodam punctum intra altera
sectionem, ec per ipsum equidistans ducatur tangenti lines producta in utra coincidet sectioni. int eontrapositae quarum diametera. b.& sectionema. tangat quaedam linea.g.d.M relictum sit quodam punctum intra alteram sectionem quod sit.e.& per.e. ducat .e. z.equi distans. g.d.Dico e.et. producta in utra coincidet sectioni, quotidam igitur demostratu est se .d.rductam det diametro.a.b.lcest.e.Σ.esdistas ipsi, igiture.tar ducta coicidet diametr eoincidat ad. h. N ponas a. r. lis. .dc p. t. ducatur
44쪽
equale igitur est id quod est sub. b. t .a.eo quod est sudia.m.b. ut igitur quod cst sub. b. l. a ad id quod fit ex.e. l. sic quod est sub .a.m.b. ad id quod fit ex.m .n. N est ut quod est sub. b. .ad id quod fit ina. e. transuersa ad rectam N ut igitur quod est sub, b.ad id quod fit ex. m.n.transurisa ad rectamaa.igitur adsectione est. Igitur .e.Σ.producta eoincidet sectioni ad.n. similiter demonstrabitur*ad alias partes producta moincidet sectioni.
ν sciolia&prolata 68s CPtopota Vigesimanona. I in eontra tis linea cadat per centrum ad utramuis sectionum producta seca
bit utramq; sectionem. bintcontra sis,quarum diameter.ab. centrum autem. g. N. g.d.secet.a. d. sectionem. Dico sedc alteram sectionem secabi ordinate.n.ducatur.e. d. Sponatur. b.z.equalis. a.e. Mordinate ducatura.h. ecquonia.c.a. qualis est. b et. cois autea b.
45쪽
I in desectione uel contrapostis linea ducatur in utraq; centri coincidens sectio ni per medium secabitur ad centrum. si Sit desectio uel contrapositae diameter autem ipsaruma.b.cemma. g. N perg. ducatur linea. d.gK. Dico .g.d.cqualis est.g.E. ducatur.n, oro nate.d.z. N. e. hac quoniam est ut id quod est sub.b.z.a.ad id quod fit exiet. d.transuersa ad rectam, Sedecvt id quod sub.a. b. ad id quod fit ex. h.e.transuersa ad rectam,Igitur di quod est sub.b. .ad id quod fit ex.et. d.&qa est sub .a.h. bad id quc dis ex. h.e. N vicissim τtqs est sub. b. z. a. ad id qSest sub. a. h. b. seqc fit. x.d z.ad id qJ fit e b. e. Sed ut qKfit ex.d. didqcs fit exua.e. is quod fit ex.α. g.aaidqd fit ex.e .h.Vicissim crogo ut quod est sub b. z. a. ad id quod fit x. et g. se quod est sub. a h. b.ad id quod feex.g.h. Igitur 6c ut in desectione componenu M in eontrapositis ex contrario εἰ reuertenti ut quod fit .a. g.ad id quod fit .g.et. sic quod si ex .b. g.ad id quod fit ex.g. h. M vitissimi uale aute est quod fit ex. g. b.eo quod fit exia. g.equale igitur &qs fit Uc. ga .eo quod fit . . igitur.z.s est equalis.S. b.ec sunt equidistantes.d.tadici. Igitur N. d.g.equalia est.g.e.
46쪽
nea ad sectionem,producta inci a cadet sectionem ad secutas paries sectionis. it hyperbole cuius divinetera.b.N inlictum sic in ipsa punctum. g. non muros erect Heus. g. b. Dimidio. a. b. dccoincidat qaazia linea ad sei: tionem quae st. g. d. costig. d. producta intra sectione cade , Si .nPolubile cadat ira sectione vr. g. d. e.& ataugete t. e. Ordinate applicet e. b. N. d. t. ec sit prius ag equalis. g.b.&quoniaquodex. e. h. fit ad id quod ni ex . d. r. maiorem dabet latioacma id quod fit ex . h. ad id quod fit ex.d.tSed ut quod fit ex. e. h.a a id quod fit ex. d r. sic quod fit ex. h.g. ad id quod fit . g. Eproptoreain. e. h. equi distans est. d. t. vi autom quod fit x .et. n.
ad id quod fit ex . d. t. sic quod est sub . a. lib. ad id quod est sub. a. r. b. per sectioncmqd igitur fit ex.h. g.ad id qs fit ex.g t. maiore babet ratione a id quod est sub . a. h. b ad id qd est suba.t.b. vicissiq; qa fit ex. g. h.ad id qSfic ex a. h. b.maiore tabct rones id quod fit ex .g.tad id qa est suKael. b. igitur id quod fit ex. g.d. ad id qa est suba. h. b. m liore rationem habet a quod fit ex. g.b. ad id quod est sub .a.t. b. quod est impossibile no. g.d. e. tra sectionem cade Intra igitur,& propter hoc quae ab aliquo
puncto eorum quae in . a. g. sunt,maltomagis intra cadet, quoniam M. g.d. ivtra cadir.
ni scistionis mesumitatem linea ordinate applicata ducatur tanget sectionem N in eum locum qui est inter eoni sectionem M linea alia linea non intercidit. 'CSit com sectio prius vocata Parabole, cuius diameter. a. b. N ab. a. ordinate duraetur .a. g. st, igitur cadit extra sectionem demonstratum est. Dico in eum locum qui est intcr lineama. Π§ionem alia linea non intercidit, Tuq ossibilest intercio dat vi.a.d. re relictum sit quodam punitum contingens in ipse quod st. d. ecordinas te applices. d. c. dc sit ad quam possunt ductae ordinate.a.2. N quinatam quod fit . d. e. ad id quod fit ex.e. a. iore habet rationem v id quod fit ex .h.e ad id quod fit exmuod autem fit .h.e.equale est quod insutar. a. e. igitur 6 id quod fit ex.d. e.ad id quod fit ex .ea.maioremhabet rationerna id quod est sub .et .a.e. ad id quod fit. κea . idest.2.aad.n.e. fiat is. te ut quod fit ex. d.e. ad id quod fit ex .e.a. sic .etia .ad. a. r. Nper.t. ducatur.ta. c. equi distans e. d. quoniam igitur ut id quod fit ex. d. e. ad id quod fit exae. a. etia. ad. a. t. idest quod est subra. t. ad id qs est ex .a. t. N est ut quod fit ex
in f Ra fit sic quod fit . Hid quod flex. tia. qi i autem si draa r.equale est quod uod est absurdum: non igitur in rumlita qui est in cit .
47쪽
lineam. a. g. lc sectione alia linea intercidit. Sit utiq; sectio hyperbole vel desectio vel
eireali circumferealiacuitu diameter .a.b. recta autem .a.ta di conIunct.i b.et, produ catur Nab.a. ordinate duratur .a g. igitur extra cadit lcctionem dcmonstratum cst. Dieo ch eg in eum locum qui est inter lineam.a.gac sectionen alia linea um inte, cidit, Si .n. possit ite intercidat vi.a.d. 5c relictum sit quodam punctum cotingens in ipsa: quod sit.d. Mordinate ab ipso ducatur.d. e. N per. e.ducatur. e. m. mul dictai S a. et . Nquaniam quod fit ex. e. uale est quod est sub.a. e.m. fiat id quod est sub a e. r. cquale eo quod fit ex. d.e. eccotincta.a .u. secediet. m. ad. x. N per.X . ducatur .X. r.equidi lias et. a.&, pcr. r. ducatur. ida .equissistans. a. g. quoniamigitur quod fit ex d. . equale es eo quod est subia .e.n estvt. nae.a Lela. D e ad. e. a.Igitur ec ut . O .ad.e . a. quoc fi .cit. ad id quod fit . . vi igitur. z.tad.t. a. quod fic .c. r. ad Id quoc fit ex .r.a.
Igitur mediapportionalis est.c . t.a quod igitur G. c. t.fit cquale est eo quod e st suba. t.z.est autem oc id quod fit ex. l.t ad id quod est sub .aet. .equale per istic ne . quedigitur fit ex.αr.equale est eo quod fit ex. t. l.quod in absurdum: Non igitin uruacumlocum qui est inter lineam. aeg.6c sectionem alia linea intricidar.
48쪽
pROPOSITIO XXXIII. ET XXXIIII.
Propositi Trigcsimatertia. . C. I.l Parabole relictum sit quodam punctum,& ab ipso ordinate ad diametrum ap Jplicctur,ta re pis sub ipsa a diamctro ad sumitate ponatur eqlis i linea a lamitauit te ipsius, quς a facto puncto ad relictum punctu comugitur, tanget sectionem.
Sit Parabole ius dia ter. a. b. N ducatur Ordinate. g. d.& ponatura .c. equalisae.d. α ducatur.a. g. Dico P. a. Dproducta extra sectionem cade S.n.possibile sit cadat intus vis.et.& ordinate ducatur. b.KN quoniam quod fit ex. b. h. ad id quod fit ex. g.d.
maiore habet ratione quam id quod fitex. z. b. ad id quod fit ex. g. d. Sed ut id quod fit ex.et. b.ad id quod fit ex. g. d. est id quod fit ex .esi. ad id quod fit ex. a. d. vi aut id quod fit ex. h.b.ad id qs fit ex.g.daest.bae. ad.d.e.lgitur.ba . ad.e. d. maiore tabctra tionem quam id quod fit ex.b. a. ad id quod fit ex.a. d. Sed via .eaci .d.est id quod est quater subdie.ad id quod cst quater sub.a.e.d.N quater igitur quod est sub .die. a. ad id quod est quatu suba.e.d. maiorem habet nationem quam id quod fit exh.a. ad id quod fit ex.a.d. vicissimo igitur id quod est qualor suba .e. a.ad. a.di maiore habet ratione quam id quod in quater subnae. d. ad id quod fit ex auae quod est impossibile
existere.n .a .riequali .e.d id quod est quater sub.a. e. daest equale coquod fit ex. a.dcidautem quod est quater sub.bae. a.minus est eo quod fit ex.bar. igitur punctum.earon est diuidens per medium.a. Knon igitur. a. g. intra sectionem cadet,tangct igitur. os
j I in hyperbole vel desectionem vel circuli circuisentia relictu sit quodam no
ctu N ab ipso ducatur linea ad diametrum ordinate:& quam habet ration ad inuicem abscise sub applicata ad terminos transuersi speciei teris, eadem habenisectiones transuersi lateris, quare eiusdem esse rationis sectionis ad sumitatem. vel relictum punctum in transuerso latereta quod est in sectionem coniunctum existens linea,tanget sectionem. Sit hyperbole vel defectio vel circuli circuserentia, ius diameter. a. b.&relictum sit quodam punctum in sectione quod sit. g. N.a. g. ordinatc ducatur. g. d.& fiat. b.d.
49쪽
quare quod est sub .e.b.am.ad id quod fit ex .g.emaiore haestiatione quam id quod est sub .m.b.a.o. ad id quod fit ex.g. e.Sed ut id quod est sub.e. b.a. n. ad id quod fit ex .gae .sic quod est sub.b. d. a. ad id quod fit ex .d. e. propter similitudinem h. c. d. 5 .c. g. d. M. n ad trianguloru ut autem id quod est sub. m. b.a. o. ad id quod fit in .g c. Si essi quod est sub.b. h.a.ad id quod fit ex .h.e. quod igitur est sub . b. d. a. ad id quod fit ex .d.c.maiorem rationcm habet quam id quod est sub. b.h. a. ad id quod fit ex. b. e. viscissim id igitur quod est sub. b.d. a.ad asta. b. maiorem habet rationem quam id quod fit ex .d.e.ad id quod fit ex .c. h Sed ut id quod est sub b.d. a ad id quod est sub. b. h.a. sic quod fit ex. g.d. ad id quod fit exae. t. vi autem quod fit ex. d. e. ad id quod fit ex . e. disic quod fit ex. g. d.ad id quod fit ex .et. h. igitur 6 id quod fit ex. g. d. ad id quod fie .l. h.maiorem habet rationem quam id quod fit ex.g. d.ad id quod fit ex. z. h. igitur inaest minor.z.h.quod est impossibile, non igitur . e. g. secat sectionem, tangit igitur. b
50쪽
Propositio, gesmaqui Na.l Parabolem linea tangat coincidens diametro extra sectionem, ducta a tactu linea ordinate ad diamccrum,cqualem recipici a diametro ad sumitalem secti nis ei latet ipsam dc tangentem dc inter locum tangetis N sectionem nulla linca
Sit parabole cuius diametcr.a. b.ec ordina ae ducatur. a. b.&sit. a. g. tangens sectione. Dico ch. a. h.equalis est. h.be l.n. possibile sit inequalis ipsi&.h.c. ponatur equalis.a .h. Ecordiuaccducaracae.z.ec coniungatur. a.et. Igitur.a. z. producta coincidet.a. g.lines, quod cit impostibile,ctunt.u. duarum linearum iidem termini igitur. a h. non est in/equalis. h. b.equalis ergo: DI vir is in locum qui inter lincam. a. g.§ione nuula linea intercidit,Si. n. possibile intercidat. g. l. 6c ponatur. h.c.equalis. h.d. Mordina te ducatur .c.zIgitur linea.a. d. ad. z.coniuncta tanget sectio in producta igitur Gotra ipsam cadet, quare coincidet.d. g.ec duarum linearum erunt iidem termini quod est absurdum non igitur in cum locum qui est inter sectionem di lincam. a. g.interci'
I hyperbolem vel defectionem,uel circuli circularentiam tangat quaedam linealeoincidens transuerso speciei lateri,& a tactu ducatur linea ordinate ad diame. trum crit ut reccpta sub tangente ad extremam transuersi lateris ad recepta sub tangente ad alterum extremum lateris sic reccpta sub applicata ad extremum ad receptam sub applicata ad alterum extremum latetis, quare ciuiacm rationis cono tinuases Isic in eum locum,qui est inter locum tangentis ec coni sectionem alia linea non intercidit. si it hyperbole vel desectio vel circuli circuserentia,cuius diameter. a. b.tagens Ioram
nea tanget sectionen, producta igitur coincidet. g.d. duarum. n linearum iidem ter mini,quod est ablurdum, Dico intersectionem ecli a nulla linea intercidit,Si. n. possibile intercidat vi.g. r. N fiatvt.b. t.ada. a.b. d.h. a. ec ordinate ducasar.et. Igi tur .a.t.ad. z.coniuncta linea producta coincidet. t. g.duarum. n. linearum iidem ter. mini erunt quod est impossibile. Non igitur in eum locum qui est intersectionem Nilacam.g. dantercidit linea.