장음표시 사용
101쪽
81 SECTIONUM CONICA Ru Mque planum trianguli BAC rectum est, tam ad planum basis BCD , quam ad planum sectionis DFE; ita ratio parametri FO ad diamettum FG sit semper aequalitatis, quotiescum, que duo triangula ABC, AGF sunt similia
inter se . Neque enim ea triangula possunt ecse inter se similia , nisi talia sint quoque triangula BEF . CΚG . Unde , quum sit, ut BR ad FΚ , ita CR ad CΚ ; erit rectangulum BΚC aequale rectangulo FΚG . Sed , propter
circulum BCD , quadratum ex DX est aequale rectangulo BΚC. Quare idem DΚ quadratum erit etiam aequale rectangulo FΚG: &Propterea , quum FO sit ad FG . ut est DRquadratum ad rectangulum FΚG s duae Fo , FG erunt pariter aequules inter se. Ostendi id etiam potest in hunc modum, Quoniam duo triangula ABC . A GF ponuntur similia , erit angulus ACB aequalis anguinto A FG:& propterea, quum sint aequales duo inhus rectis , tam duo anguli ACB , A CX , quam duo anguli A FG, BFG ; erit quoque angulus A CX aequalis angulo BFG . Sed , ob parallelas FG . A X , angulus BEG aequalia est angulo BAX . Itaque , quum aequales sint etiam duo anguli ACX , BAX , erit, ut CT ad Ax, ita AX ad BX : proindeque et it A
quadratum aequale rectangulo B XC. Est autem , ex superius ostensis , ut FO ad FG . ita rectangulum BXC ad Ax quadratum . Quam re duae Fo, FG pariter inter se aequales erunt. Hoc idem erui quoque potest ex eo,
quod , si fiat angulus FRU , aequalis angulo BFG, portio F v, abscissa ex diametro Fia
102쪽
ELEMENTA. 23 perrectam RU . parametri FO longitudinem adaeque t. Nam . propter similitudinem trianis
pulorum ABC , AGF . angulus ACB . sive ARF etit aequalis angulo A FG . Unde, quum sint aequales duobus rectis, tam duo anguli ARF , FRG . quam duo anguli A FG , BEG; erit quoque angulus FRG aequalis angulo BFG . Quo fit , ut recta R V cadat super RG, atque adeo, coeuntibus in unum punctis G, Scu, erit portio Fu aequalis diametro FG.
Parabolam in plano per couum demeribendi ratio aperitur.
I. ID Ost traditam rationem describendi p a: ., I in plano per conum , tam ellipsim,
quam hyperbolam , aperienda nobis tandem poeia,ta
est methodus . qua describi possit in plano pa- rabola , eodem adhibito cono. . Fio I a. Dentur itaque positione in plano aliquo rectae duae FG . Fo , sibi mutuo occurrentes in F 3 quarum prior FG sit infinita versus G , altera Fo sit etiam magnitudine data . Et oporteat , in eodem plano describere parabo iam , cujus FG sit diameter , Fo parameter diametri, & eadem Fo recta illa , cui omnes diametri ordinatae debent esse parallelae. catur primo planum aliud CDE , o currens plano rectarum FG, FO in recta DE,
ipsi Fo earallela. Deinde ex puncto R . in F a quo
103쪽
8. SECTIONUM CONICARUM quo duae FG , DE sese mutuo secant, Erigam tur in ducto plano recta ΚC, perpendicularis super DE. Tum huic R C per punctum F, diametri verticem , parallela agatur FP. Capiatur porro in recta ista FP punctum quodvis R . Et ducta RY aequid istanter ipsi FG , abscindatur ex ea portio RA , quae sit tertia proportionalis post duas FO , FR. Denique jungatur AF . S tam ista , quam altera AR producantur , usque donec conveniant cum recta XC in punctis B , ct C. His peractis, concipiatur jam conu S, cujus vertex sit punctum A . basis autem circulus BCD , descriptus super BC, velut diametro, in plano rectarum BC, DE . Et per interis sectionem coni hujus cum plano , in quo datae sunt rectae FG, FO , habebitur parabola describenda . u. Sit enim DFE sectio, facta per tale planum in coni ejus superficie . Et quoniam BC est diameter hasis BCD s erit triangulum BAC ex cono scetum per axem . Unde, quum has eius BC normalis sit recta DE , in qua FIG. I a. planum secans occurrit plano basis ; erit tecta FG diametet sectionis DFE: & propterea, quia eadem FG uni laterum trianguli AC est parallela . ipsa sectio DFE erit parabola. Praeterea in eadem sectione DFE ordinactae , pertinentes ad ejus diametrum FG, deis hent esse parallelae rectae DE. Sed ex conis structione recta DE parallela est rectae FO Quare eaedem ordinatae parallelae quoque erunt
ipsi FO i proindeque , sicuti parabolae DFE, descriptae in plano rectarum FG,FO, diameter est
104쪽
ELEMENTA. trest tecta FG, sic ordinatae ejus diametri parata telae erunt rectae Fo. Denique ex superius ostensis parameter, quae ad descriptae parabolae diametrum referis tur, erit ad FR, ut est BC ad AC, sive etiamque est FR ad AR . Sed ex constructione FRest ad A R. ut FO ad FR . Quare erit exae quali, ut FO ad FR , ita parameter diametri FG ad eandem FR : & propterea erit Foipia diametri parameter. III. Dubitari itaque non potest , quia parabola DFE , descripta in plano rectarum 2-5,di M. FG, Fo methodo tradita,quaesitae couditiones
adimpleat. Primo enim diameter ejus est reis donoraem .e a FG; deinde diametri parameter est recta Fo ; denique eidem FO parallelae sunt etiam
ordinatae , quae ad diametrum illam referuntur. Frii ia Sed perspicuum est quoque , methodum a nobis adhibitam , pro dc scriptione ejus parabolae, esse adeo universalem , ut non unum sed infinitos conos ad eum ustim exhibeat.
Nam primo planum CDE duei potest infini tis plane inodis. Et si enim plano rectarum FG . FO occurrere debeat in recta DE . ipsi FO parallela ; id tamen positionem eius minime determinat. Deinde punctum R ut eumquc sumi potest in recta EP . Quo fit , ut longitudo ipsius FR adhuc modis innumeris possit
variari. Utroque igitur ex capite liquet, in- svitam esse diversitatem conorum , quorum ope quaesitam parabolam describere licebit . . Quemadmodum autem ex positione plani
CDE dependet magnitudo anguli GFR. sic ex longitudine ipsius FR trahit palallelois F a gramm
105쪽
26 SECTro NUM CONICARUM grammum FΚCR latitudinem suam . Unde , quia idem parallelogrammum determinatur stum per suam latitudinem , quam per magnitudinem anguli GFR I liquet, infinitam il- Iam conorum diversitatem , qui adhiberi pociunt ad quaesitam parabolam describendam , non aliunde pendere , quam ex eo , quod pose sit parallelogrammum FRCR infinitis plane
Iv. Quamquam vero is iti sint coni, quibus quaesitam parabolam describere licet, ii tamen sunt omnes fea leui, quum angulus GFO non ponitur rectus. Ubi enim triangα-lum, ex cono sectum per axem, non constituit cum plano basis angulos rectoae; ploeuldubio conum ipsum scalenum esse oportet. Profecto autem facile erit ostende te, triangulum BAC, sectum ex cono per axem, non posse cum plano basis BCD rectos angulos constitueres quum angulus CFO nequaquam est rectus. Nam, quotiescumque Fo non constituit cum FG angulos rectos I tam ipsa , quam ejus parallela DE multo minus rectos angulos eff- ciet cum plano trianguli BAC, in quo recta FG reperitur . Ex constructione autem DE
perpendicularis est super BC , quae duorum planorum BAC, BCD communis est sectio. Quare , quum eadem DE sit in plano BCD, nec etiam duo ista plana BAC, BCD recta
erunt ad invicem. Iidem vero coni poterunt esse, tum rerat,
eum scalent . quotiescumque angulus GFo Ponitur rectus. Nam , eonstituente Fo , vel
etiam ejus parallela DE . rectos angulos cum FG,
106쪽
Ex EMENTA. t et FG ; erit DE normalis utrique rectatum FG BC r proindeque, tam ipsa DE recta erit ad planum trianguli BAC,quam duo plana BAC. BCD tecta erunt ad invicem. Unde , si trianis gulum BAC fuerit ista sceles, erit axis coni retactus etiam ad planum basis BCD ; & conseisquenter ipse pariter conus erit rectus, ct non
V. Hinc . ad definiendum casum coni r ED . non abs re erit, inquirere hoc loco , quid factu sit opus , quo triangulum BAC ita sceles oriatur . Nimirum necesse e st, sumere FRtalis longitudinis , ut siquidem in diametro FG capiatur punctum aliquod G . & jungatur GR , sit GR quadratum una cum rectangulo OFG aequale duobus quadratis FG, FR . Ponamus enim, triangulum BAC italaeis Ies esse. Et quoniam , ducta CP, ipsi AE parallela, fit etiam isosceles triangulum PGE; secabitur hasis hujus PF bifariam a perpendiculo, quod super ipsam demittitur ex puncto G e proindeque GR quadratum una cum rhe angulo PFR aequale erit duobus quadratis
FG, FR. Ulterius . quia parallelae sunt inter se tam rectae GP . AF , quam rectae FG , RA , erit, ut PF ad FG , ita FR ad RA . Sed ex consti uctione F R est ad RA . ut FO ad F R. Itaque erit ex aequali, ut PF ad FG , ita Foad FR : & propterea , quum rectangulum PFR sit aequale rectangulo OFG i erit GRquadratum una cum rectangulo FGO aequale tiam quadratis FG , FR. xl. oporteat jam . quaesitam parab
107쪽
st SECTIO NuM CONICA Ru Methee o Hlam ita quidem, mediante cono . in plutio de-- r. Tet scribere , ut triangulum BAC isosceles oti tur e rectusque adeo ipse conus , quotiescumque angulus GFO ponitur rectus. Fio. I a. Abscindatur ex diametro FG portio FQ . quae sit aequalis dimidio parametri Fo. Deinde, sumpto in eadem diametro puncto quovis alio G, demittatur ex eo recta GT , perpendicularis super FP . Et circulus , transisiens per puncta tria T, G , Q, signabit in FP punctum illud R , quo opus est, ut trianis gulum BAC isos celes fiat. Quum enim ex constructione Fo dupla sit ipsius F i erit rectangulum OFG duplum quoque rectanguli GEQ . Sed , ob circulum , transeuntem per quatuor puncta T, R, G, Q. rectangulum GF est aequale rectangulo RFT . Quare idem rectangulum OFG erit duplum pariter rectanguli RET. Hinc, quum sit GR quadratum una cum duplo rectanguli R FT aequale duobus quadratis FG, FR; erit etiam GR quadratum
una cum rectangulo OFG aequale iisdem quadratis FG , FR r proindeque , per ea , qu mox ostensa sunt, parabola ita quidem , meis di ante cono, in plano describetur, ut trianguis Ium BAC i sceles fiet. vir. VII. Sed notetur hic velim , quod si iun
di misinea. cum diametro FG rectos angulos constituet. Quum enim , ratione circuli, transeuntis per
quatuor puncta T . R , G , Q , aequalia sint Fio i a rectangula GFQ , RFT; erit, ut FG ad FVita FR ad FQ: proindeque angulus FTG a
108쪽
ELEMENTA. et seu Io FQR aequalis erit. Sed ex constructione angulus FTG est rectus. Quare rectus elidpariter angulus FQR. Id quum ita iit , problema de deseri henis
da in plano parabola ita quidem, mediante coisno , ut triangulum BAC i sceles oriatur, seisellius longe resolvi poterit in hunc modum . Nimirum abscindatur , ut antea , ex diametro FG portio F quae sit aequalis dimidio pata metri FO . Erigatur deinde ex puncto Q recta QR , eidem diametro perpendi eularis . Et tecta ista QR signabit in FP punctum illud R , quo opus est, ut triangulum BACisosceles stat. Ex utraque autem constructione perspieuum est , triangulum BAC tunc tantum is sceles esse posse,quum recta FP non constituit rectos angulos cum diametro FG . Nam , ubi
rectus est angulus PFG , coibit primo punctum T cum puncto F 3 atque adeo per tria puncta T , G , Q , velut in eadem recta ex iis
stentia , nullus circulus transibit, nisi qui radium habet infinitum . Deinde vero perpendicularis , quae super diametro erigitur expuncto Q , fiet ipsi FP parallela I neque adeo
ei occurrere poterit, nisi in insinita distantia a puncto F. VIII. Non est tamen reticendum hoc Io. viri,co, quod posterior propositi problematis eo r- 2T-Fractio erui quoque possit ex eo , quum pro eodem problemate superius attulimus in ellipsi. .- Ibi enim , descripto super diametro FG semia Tm eitculo FQG, ct aptata in eo recta FQ, quae Fio. S.
media esset proportionalia tuter Fo, ct FG a
109쪽
so SECTIONUM CONICA Ru Meomperiebamus punctum R ope arcus , cuisius centrum esset punctum G . intervallum vero Ges Sed facile erit ostendere , istiusmodi constructionem in eam , de qua agitur, veristi , quotiescumque punctum G , alter diametri vertex, in infinitum abire supponitur.
Si enim ex diametro FG abscindatu e portio FU , aequalis parametro FO , fiet FQquadratum aequale rectangulo GFU. Unde quum duo quadrata FQ, Geaequalia sint quadrato ex FG I erit quoque quadratum ex
G aequale rectangulo FGU : proindeque erit, ut FG ad Giu ita GD ad Gu. Hinc, translato intervallo G Iuper ipsa diametro GF , cadet punctum QInter alia duo F , Seu . Quare, abeunte in infinitum puncto G , una cum ipsis FG , G U fiet etiam infinita
GQr ct propterea arcus , qui describitur ceu tro G . intervalloque Ges cum tangente sua confundetur , & vertetur adeo in rectam, ipsi FG perpendicularem.
Hinc squidem ostendi possit, quod in eadem hypotest fiat FQ aequalis dimidio ipsius
FU s jam liquido patebit , constructione in , quae locum habet in parabola, esse eandem illam. quae obtinet in ellipsi . Id vero demonis
strabitur hoc pacto . Quoniam FG est ad GQ. ut GQ ad G v ; erit convertendo , ut FG ad FQ . ita Ge ad QV . Sed i abeunte in infinitatum puncto G, rectae duae FG , Ge sumi
Possunt velut aequales inter se; quum ambae fiant longitudinis infinitae . manente interim
finita ipsarum differentia F. Quare in eadem hypothesi erunt etiam aequales rectae duae F
110쪽
QV: ct propterea F emissis fiet ipsius FC
i X. Praeterea eadem posterior pro mi problematis constructio erui etiam potest ex ea . DAM quam pro eodem problemate superius attulimuris hyperbola . Ibi enim , erecta super diametro ea tua , qua perpendiculari F quae media e siet proportionalis inter FO . & FG , comperiebamus dpunctum R ope arcus, cujus centrum esset Fio io punctum G , intervallum vero recta G. Sed facile erit ostendere , istiust nodi quoque con- sttuctionem in eam , de qua agitur . vertis quum punctum G , alter diametri vertex , in infinitum abire supponitur. Si enim producatur diameter GF . usque donec fiat FU aequalis parametro FO ; erit FQ quadratum aequale rectangulo GF v. Unde , quum quadratum ex G sit aequale qua-dtatis GF , F i erit idem GQ quadratum aequale etiam rectangulo FG v et proindeque ierit , ut GU ad G Ita GD ad GF . Hinc , translato intervallo Gesuper ipsa diametro GF , cadet punctum hinter alia duo F , ctu . Quare , abeunte in infinitum puncto G , una cum ipsis GP . GU fiet etiam infinita mict propterea arcus , qui describitur centro G, intervalloque Geti cum tangente sua confundetur ,& vertetur adeo tu rectam , ipsi FG perpendicularem.
Hinc , siquidem ostendi possit, quod in eadem hypothesi fiat FQ aequalis dimidio i sus Fu; jam liquido patebit, constructionem , quae locum habet in parabola . esse candem illam , quae obtinet in huperbola . Id ve