Elementa sectionum conicarum conscripta ad usum Faustinae Pignatelli ... auctore Nicolao De Martino ... tom. 1. 2.

91쪽

His pera et is, concipiatur jam conus, cujus vertex sit punctum A , basis autum circulus BCD , descriptus super BC, velut diameistro, in plano tectarum BC, DE . Et per inter . sectiorum coni hujus cum plano , in quo datae

sunt tectae FG, FO . habebitur hyperbola deis

scribenda .u II. Sit enim DFE sectio. facta per tale planum in coni ejus superficie. Et quoniam est diameter basis BCD 3 erit triangulum

vias, is ran. BAC ex cono sectum per axem . Unde, quum

basi eius BC normalis sit recta DE , in qua Fio. io. Plantam secanS occurrit plano basis ; erit recta FG diameter sectionis DPE: S propterea, quia eadem FG unum quidem trianguli latus inflaverticem coni, is alterum supra verticem secat, ipsa sectio DFE erit hyperbola. Praeterea in eadem sectione DFE ordinaistae , pertinentes ad ejus diametrum FG , deis hent esse parallelae rectae DE. Sed ex conis stluctione recta DE parallela est rectae FO.

Quare eaedem ordinatae parallelae quoque erunt

ipsi Fo i proindeque , sicuti hyperbolae DFE, deseriptae in plano rectarum FG,FO, diameterest tecta FG , sic ordinatae ejus diametri paralis

telae erunt rectae EO. Denique ex vertice coni A ducatur recta A X. ipsi FG parallela, quae conveniat cum BC in puncto X . Et ex superius ostensis parameter , quae ad descriptae hyperbo ae diameistrum refertur, erit ad FR , ut est Bx ad Ax.

Sed B X est ad Ax , ut FR ad RZ, sive etiam ex constructione , ut Fo ad FR . Quare erit

ex Diuitiam by Coosle

92쪽

ELEMENTA, et ex aequali, ut FO ad FR . ita parameter diais metti FG ad eandem FR : ct propterea erit FO ipsa diametri parameter . III. Dubitari itaque non potest , quin hy- m. perbola DEE , descripta in plano rectarum ,--

FG, FO methodo tradita,quaesitae conditiones niver utitaradimpleat. Primo enim diameter ejus est recta FG; deinde diametri parameter est recta erum FO ; denique eidem FO parallelae sunt etiam ordinatae, quae ad diametrum illam referuntur. Fio. Io. Sed perspicuum est quoque , methodum a nobis adhibitam, pro descriptione ejus hyper-holae . esse adeo universutem, ut non unum , sed i finitus conos ad eum usum exhibeat.

Nam primo planum CDE duei potest infinitis plane modis. Et si enim plano rem rum FG , FO occurrere debeat in recta DE , ipsi FO parallela ; id tamen positionem eius minia me determinat. Deinde punctum R utcumque sumi potest in recta FP . Quo fit, ut longitudo ipsius FR adhuc modis innumeris possit

variari. Utroque igitur ex capite liquet, insitam esse diversitatem conorum , quorum

ope quaesitam hyperbolam describere licebit . Quo madmodum autem ex positione plani CDE dependet magnitudo anguli GFR , sic ex longitudine ipsius FR trahit angulus FGR magnitudinem suam . Unde , quia per quantitates istorum angulorum determinatue triangulum FRG ; perspicuum est , infinitam illam conorum diversitatem, qui adhiberi pociunt, ad quaesitam hyperbolam describendam. ex eo unice proficisci, quod possit trianguium FRG infinitis plane modis variari

1v. Quam

93쪽

eto SECTIONUM CONICARUM T. IV. Quamquam vero infiniti sint coni, quibus quaesitum hyperbolam deseribere licet,

vim ii tamen sunt omnes scaleui , quum anstulust is, =, . GPO non ponitur rectus. Ubi enim triangu- a 'p'- lum, ex cono sectum per axem, non constituit

Fio. io. cum plano basis angulos rectos; proeul dubio conum ipsum scalenum esse oportet. Profecto autem facile erit ostendere, triangulum BAC. sectum ex cono per axem, non posse cum plano basis BCD rectos angulos constituere squum angulus CFo nequaquam est rectus. Nam, quotiescumque FO non constituit cum FG angulos rectos tam ipsa , quam ejus parallela DE multo minus rectos angulos efficiet cum plano trianguli BAC , in quo recta FG reperitur . Ex constructione autem DE

perpendicularis est super BC, quae duorum planorum BAC, BCD communis est sectio. Quare , quum eadem DE sit in plano BCD, nec etiam duo ista plana BAC, BCD recta

erunt ad invicem. Iidem vero coni poterunt esse, tum rem,

cum Icalent, quotiescumque angulus GFoponitur rectus . Nam , constituente FO , vel etiam ejus parallela DE , rectos angulos cum FG s erit DE normalis utrique rectarum FG, BC : proindeque , tam ipsa DE recta erit ad planum trianguli BAC,quam duo plana BAC, BCD tecta erunt ad invicem . Unde , si trianis pulum BAC fuerit isosceles, erit axis coni rectus etiam ad planum basis BCD I & consequenter ipse pariter conus erit rectus, ct non

scatenus.

94쪽

ELEMENTA, Ni , non abs re erit , inquirere hoc loco, quid riem . a

factu sit opus , quo triangulum RAC itasee- rtes oriatur . Nimirum necesse est, iumere FR-st: talis longitudinis , ut GR quadratum sit ... et

quale quadrato diametri una cum ejus figura, Fici. I in hoc Est, ducta per alterum diametti verticem

dratum sit aequale quadrato ex FG una cum refringulo ex FR in GS . Ponamus enim , triangulum BAC ita see-Ies esse . Et quoniam, completo parallelogramino FSGP , sit etiam ita sceles triangulum PGR ; Iecabitur basis hujus P R hi fariam a perpendiculo, quod super ipsam demittit ut expuncto G: prois deque erunt quadrata GR,FRaequalia quadrato eae FG una cum rectangulo PRE . Sed rectangulum P RR est aequale quadrato ex FR una cum rectangulo PFR . Quate , dempto communi quadrato cae FR, erit CR quadratum aequale quadiato ex FG una

clim rectangulo PFR , hoc est eo , quod fit ex TR in GS Id quum ita si, perspicuum est, triangulum BAC isosceles esse posse , non modo, quum ratio parametri ad diametrum est minois ris ad majus , verum etiam , quum eadem illa ratio est vicissim majoris ad minus . Nam in utroque casu nihil obstat , quominus possit quandoque GR quadratum aequale esse quadrato diametri una cum ejus figura. v I. Oporteat iam , quaesitam huperbo- vI. Iam ita quidem, mediante cono, in plano de-m 2 scribere, ut triangulum BAC isosceles oria---- , aes

95쪽

Ex puncto F erigatur tu per FG perpen Fio. io. dicularis FQ. , quae sit media proportionalis inter FO,& FG. Jungatur deinde G arcus, descriptus centro G, intervalloque Gia, signabit in FP punctum illud R , quo opus est, ut triangulum BAC fiat isosceles. um enim FQ sit media proportionalis inter EO , A pG 3 erit quadratum ex FQ

quale rectangillo OFG . quod constituit diametri figuram . sed quadratum ex GR, seu G Q est aequale FG quadrato una cum quadrato ex FQ.Quare idem CR quadratum aequa te erit quadrato diametti FG una cum eius figurat proindeque . ex mox ostensis, trianguis Ium BAC italeeles erit. Patet autem , triangulum A AC sempeelso sceles esse posse , cujuscumque magnitudinis si angulus GDR . Nam , quum sit G Qmaior , quam GFr arcus, qui describitur cenistro G, intervalloque GQ, rectae FP semper ociscurret . Et quia eam secabit semper in duobus punctis , hinc inde positis a puncto F liquet problema duas semper solutiones admittere. vn vll. Hic etiam problema principale , de describenda h=perbola in plano per conum , po- est resolvi in hunc modum. pia . Nimirum , datis ut supra tectis FG, ro. i . eadem constructio, usque donec deventum fuerit ad punctum R, utcumque sumendum Fio. Io. in recta FP . Producatui postea diameter GF

usque ad punctum v , ita ut fiat FU aequalis Parametro Fo . Tum juncta RV, constituatur angulus CFs,aequalis angulo FRU.

96쪽

ELEMENTA.Conveniant porro rectae duae GR , FS in A , iisdemque occurrat quoque recta RC in punctis B,& C . Jamque, ii conus concipiatur, cujus vertex sit punctum A , basis autem circulus BCD , descriptus super BC, velut di metro , in plano rectarum BC, DE ; habebitur hypei bola describenda per intersectionem cois ni huius cum plano , in quo datae sunt rectae FG, FG. Ducatur etenim ex puncto R recta RZ, diametro FG parallela, quae conveniat cum AF in Z . Et siquidem ostendi possit, Fo esse ad FR , ut est FR ad RZ ; jam haec alia solutatio coincidet cum priore , nec adeo de veritate ejus poterit dubitari, Id vero ostendetur

hac ratione.

Ex constiue lone angulua GFS aequa Iis est angulo FRU . Sed , propter parallelas FG,RZ , idem angulus GFS aequalis est etiam angulo RZR . Quare duo anguli FRU, REFaequales orunt inter se et & propterea erit , ut F v ad FR, ita FR ad RZ . Est autem ex constructione FU aequalis ipsi FO. Et igitur etiam FO erit ad FR , ut est FR ad RZ .

III. Atque hinc rursus patet, non posse se triangulum BAC italaeles esse . nisi FR sit talis longitudinis , ut GR quadratum sit aem a I - , γὰρ quale quadrato diametri FG una cum eius fi-

sura. erum in

Ubi enim Italaeles est triangulum BAC, F orio

erit etiam isosceles triangulum FAR l atque adeo duo anguli ARF , AFR aequales erunt inter se . Unde , quum aequales sint, tam an

erit

97쪽

. di 8 'SECTIO NuM CONICA Ru Metit quoque angulus G RV aequalis angulo GFR: & propterea, quum sit, ut FG ad GR , ita CR ad GV ; erit GR quadratum aequale rectangulo FG V. Jam rectangulum FGU est aequale quadrato ex FG una cum rectangillo GF V . Itaque, quum, propter aequales Fu, Fo, rectangulum GF v sit aequale rectangulo OFG , quod constituit diametri figuram ; erit idem rectanis gulum FG v , vel ei aequale quadratum, quod fit ex GR , aequale quadrato diametri FG . una cum figura , ad eandem diametrum perti

nente.

Ex eo autem, quod duo anguli GRU, GFR sint etiam aequales inter se, quum isosceles est triangulum BAC; alia nobis subnascitur ratio describendi quaesitam hyperbolam ita quidem , mediante cono, ut triangulum BACisosceles oriatur. Nimirum , si producta diametro GF , usque donec fiat FU aequalis Fodescribatur super Gu portio circuli . quae suscipiat angulum, aequalem angulo GFR , quandoquidem portio ista signabit in FP pun-R, quo opus est, ut triangulum BAC iso sceles sat. X. Liquet igitur , hyperbolam in plano per conum describi iisdem omnino modis, quibus praecedenti capite ellipsis descriptionem

obtinuimus. Interim in utraque eam destriabendi ratione fieri mimquam potest , ut pun

ctum A , in quo duae rectae FS , GR sibi mu

tuo occurrunt, abeat in infinitum 1 nec ideo se conus, quo mediante Operbola describitur, unquam verti poterit in olindrum.

98쪽

ELEMENTA. DNam , quantum ad priorem attinet de-

scribendi rationem , etsi juxta eam , tam pio Fi*'ellipsi, quam pro hyperbola ducenda sit per i se' punctum R , utcumque sumptum in FP , recta RY diametro FG aequid istanter , ex qua deinceps abscindenda portio RZ talis longitudinis , ut sit tertia proportionalis post duas FO , ER ; perspicuum est tamen , rectas FG .RZ existere ad partes contrarias ipsius FR, quum agitur de describenda ellipsi , & ad partem eandem ejusdem FR , quum quaestio est de descriptione hyperbolae . Unde, junctis rectis FZ, GR fient eae quadrilateri latera opposita in ellipsi , & se invicem decussabunt in hyperbola.

Quantum vero spectat ad alteram describendi rationem , iuxta eum pro ellipsi quidem

ab seindenda est ex diametro FG portio Fu, pio 8aequalis parametro Fo; pro hyperbola vero id producenda est ipsa diameter versus F , usque donec fiat FU aequalis FO . Et quamquam deinde pro utraque curva fieri debeat angulus GFS,aequalis angulo FRV ; liquet tamen, rectam FS existere ad partem alteram diametri

FG tela te ad rectam FR in ellipsi, & iacero inter diametrum FG , ct ipsam FR in hyperbola . Unde , ducta CS aequid istanter eidem FR, fient rursus GR , FS qua dii lateri latera opposita in ellipsi , ct se mutuo decussabunt in hy

perbola. X.

X. Caeterum in hyperbola describenda H- EF ἷil obstat . quominus ratio parametri ad diametrum sit etiam aqualitatis . Et quum id

99쪽

go S ACTIO NuM CONICARUM re licebit. Huiusmodi autem hyperbola , in

qua diameter parametrum suam adaequat, communiter a Geometris vocatur aequi latera.

Et quamquam ellipsis quoque deseri hi possie

diametro , ct parametro , quae habeant inter sorationem aequalitatis I haec tamen non sortitur

nomen ellipsis aquilaterae , nisi ipsi illud etiam

accedat , ut ordinatae rectos cum diametro angulos constituant. Unde autem fiat, ut hyperbola vocetur aequi latera , per solam aequalitatem diametricum parametro . sed non item ellipsis 3 alibi quidem a nobis ostendetur . Tantum hic obis servabimus, ellipsim aequilateram non aliam esse , quam ipsum circulum . Ob aequalitatem enim parametri cum diametro, erit in ca quadratum cuiusque ordinatae aequale pariter rectangulo, quod sub correspondentibus diametri portionibus , ab utroque vertice sumin ptis , continetur . Unde , quum eadem ordio nata rectos cum diametro angulos constituat, natura ellipsis aequi laterae haec em i, ut quam dratum cujusque diametro perpendicularis

adaequet rectangulum sub ipsius diametri

portionibus contentum.

Et sane haud dissicile erit ostendere, elliis psim , quae describitur methodo superius tradita . circulum fieri, quum aequales Ponun-Fio. S. tue rectae FG , FO , rectusque etiam angulus GFo, qui sub iis rectis continetur. Jam enim, ratione anguli recti , triangulum per axem sectum B AC rectos constituit angulos , tam cum plano basis BCD , quam cum plano seis

et ionis DFE. Itaque, si ostendi possit, trian

100쪽

ELEMENTA. si

gula duo ABC , AGF este simi l ia Inter se; se

elio , faeta in cono, erit basi subcontraria 3 atisque adeo circulus, per superius ostensa . Id v ro demonstrabitur in hunc modum.

Ex constructione FO est ad FR , ut FR ad RZ . Itaque , semper ac ponitur Foaequalis FG . erit etiam , ut FG ad Fg , ita FR sd RZ . Hinc triangula duo CFR . FRZhabebunt circum aequales angulos latera Proin

Portionalia i proindeque in iis angulus FGRangulo RFZ erit pariter aequalis . Sed , propter parallelas FR , BC, angulus RFZ aequalis est angulo CBZ . Quare , quum aequales sint anguli FGR , CBZ , duo triangula A BC, AGF aequiangula erunt, ct consequenter similia inter se.

XI. Hinc autem intima ratio elucescit, , ducor lectio subcontraria, non et sim, sed ciris stiliori diar aculum nobis exhibeat. Nimirum ellipsis abit in circulum , quum et haec duo contingunt. Primum, ut ordinatae rectos cum diametro an Flo gulos constituant. Et deinde , ut parameter aequalis fiat diametro, ad quam refertur. Jam horum utrumque praestat lectio subeontraria. Ex eo enim , quod in ipsa, tam planum secans, qtiam planum basis rectum sit plano trianguli, per axem secti ; fiunt ordinatae , diametro perpendiculares . Ex eo autent, quod per eadem illa plana abscindantur duo triangula similia; inter diametrum , & parametrum eius aequalitas inducitur. Unde hac occasione notetur hoc loco velim , quod . sicuti ordinatae rectos semper cum diametro angulos constituunt, quotiescumm