장음표시 사용
111쪽
est ad GQ, ut GP ad GF; erit dividendo. ut QV ad GO . ita PQ ad GF . Sed , abeunte in infinitum puncto ci, rectae duae G. GRsumi possunt velut aequales inter se ; quum ambae fiant longitudinis infinitae , manente interim finita ipsarum differentia RQ Quare in eadem hypothesi erunt etiam aequales rectae
duae OV , FO i & propterea FQ semissis fiet ipsius F v. v. X. Caeterum hic quoque problema prin- ..' Met cipale , de describenda parabola in plano per
re I para, conum , resolvi potest hac alia ratione.
.. Nimirum datis , ut supra, rectis FG,FO, eontiis .is fiat eadem constructio , usque donec deven---, tum fuerit ad punctum R , utcumque sumen-Fio. ra. dum in recta FP . Abscindat ut postea ex diametro FG portio FU , aequalis parametro FO.
Tum , juncta RU , sat angulus GFB . aequalis angulo FRU & agatur per punctum Riecta RC , ipsi FG parallela. Producantur deinde rectae duae BF , CRusque donec sibi mutuo occurrant in A , cum quibus conveniat quoque recta XC in punctis B , & C . Jamque , si conus concipiatur scujus vertex sit punctum A , basis autem circulus BCD , descriptus super BC , velut diametro , in plano rectarum BC , DE ; habebi-hitur parabola describenda per intersectionem coni huius cum plano , in quo datae sunt reinctae FG, Fo. Plane enim , si ostendi possit. FO esse ad F R. ut est FR ad RA; alia ista solutio
coincidet cum priore, nec adeo de veritate
ejus poterit dubitari. Id vero ostendetur hoc
112쪽
ELEMENTA.: byi acto. Ex constructione angulus GFB aequalis est angulo FRU . Sed , propter parallelas FG , AC , idem angulus GFB aequalis est etiam angulo RAF- Quare duo anguli FRU, R AF aequales erunt inter se et & propterea erit, ut Fu ad FR , ita FR ad RA . Est autem ex consti uctione F v aequalis FO. Et igitur etiam FO erit ad FR,ut est FR ad RA. XI. Atque hinc rursus patet, non posse triangulum BAC iso sceles esse, ni si FR sit talis longitudinis , ut sumpto in diametro
FG puncto quovis G , junctaque GR . sit
GR quadratum una cum rectangulo OFG aequale duobus quadratis FG , FR. Ubi enim ita sceles est triangulum BAC, erit etiam istosceles triangulum F AR . Quare, quum aequales sint , tam anguli CR F , R FB, quam anguli FRU , GFB ; erit quoque angulus C Ru aequalis angulo VFR . Sed, propter parallelas AC, FG, idem angulus CRv aequalis est etiam angulo RVF . Itaque duo anguli R F, FR aequales erunt inter se et Scyropterea,quunt aequalia etiam sint latera FR, RV, triangulum FRU iso sceles erit. Hinc, quum basis hujus trianguli FUbifariam secetur a perpendiculo , quod super ipsam demittitur ex puncto R , crit CR quadratum una cum rectangulo GF v aequale duobus quadratis FG, FR. Ob aequales autem FU , FO , rectangulum GFV est aequale rectangulo OFG . Itaque idem CR quadratum una cum rectangulo OFG iisdem quadra.
tb FG , FR pariter aequale erit. Ex eo autem, quod duo anguli RVF .
113쪽
bo StCTIO NuM CONICA Ru MVFR sint etiam aequales inter se , quum ita. seeles est triangulum BACI alia nobis subn scitur ratio describendi quaesitam parabolam
ita quidem , mediante cono , ut triangulum BAC iso sceles oriatur . Nimirum, si abscissa
ex diametro FG portione FU . ipsi FO aequali ; fiat ad punitum v angulus FVR , aequalis angulo vFR , quandoquidem recta vR signabit in FP punctum illud R , quo opus est,
ut triangulum BAC ita sceles fiat. XII. Nec praeteribimus , quod is isa etiam conseructio prono alveo fluat ex ea ,
vi qua ia-, O perbola hoc idem superius
. obtinuimus . In iis etenim curvis sumpta quo
que super diametro FG portione FU , quae
FIO. 8. aequalis esset parametro FO , comperiebamus Io. punctum R , describendo super GU circuli portionem, quae susciperet angulum, aequalem angulo GFR . Sed facile erit ostendere, is tu inodi constructionem in eam , de qua agitur, verti, quotiescumque punctum G, alter diametri vertex , in infinitum abire supponitur. Si enim rectam intelligamus, quae eam circuli portionem tangat in V , ct ad eandem cum illa plagam dirigatur, ea continebit cum FU angulum , aequalem angulo vFR . Unde, quia , abeunte in infinitum puncto G , fit ipsata v infinitae longitudinis , atque adeo infinita quoque diameter, quae ad eam circuli portionem refertur confundetur ipsa circuli portio cum tangente sua , ct consequenter vertetur in rectam , constituentem cum Fu angulum,
aequalem angulo vFRr proindequo in eadem
hypothesi invenietur punctum R, si fiat ad
114쪽
punctum V angulus FVR, qui sit aequalis
angulo VFR. XIII. Iisdem itaque modis , quibus ellipsis , & hyperbolae in plano per conum descri- a Iur ptionem obtinuimus, describitur quoque parabola . Sed punctum A , in quo rectae duae is BF , CR sibi mutuo oecurrunt, hic etiam,' 'mnumquam in infinitum abire potest. Unde Fio. ia. ipse pariter conus , quo mediante parabola describitur , nore fecus ac in Dperbola, rumumquam verti poterit in lindrum. Cylindri igitur ope tantum ellipsis deis scribi potest. Et quamquam parabola , velut species quaedam ellipsis, haberi queat; inde tamen non sequitur , par bolani quoque per cylindrum posse describi . Nam meminisse oportet, quod conus , quo describitur elliis psis, tunc quidem vertatur in cylindrum . Fio. S. quotiescumque punctum R subinde sumitur in recta FP , ut portio FR sit media proportionalis inter diametrum FG , & ejus parametrum FS. Quum enim in parabola diameter FG sit Fio. ia. infinitae longitudinis , utique media propo tionalis inter ipsam , & ejus parametrum finita esse non potest. Quare, ubicumque sumetur
in recta FP punctum R , semper intercepta portio FR , velut finita , minor erit linea illa, quae media foret proportionalis inter FG , &FO : proindeque , quum quaestio erit de describenda parabola , perinde ac quum agitur de descriptione hyperbolae, numquam fieri poterit, ut conus abeat in cylindrum.
115쪽
C A P. IV. siua ratione elli is in plano perforas rectas describi possit, demonstratur.
.. .hI .. I. T Idimus huc usque , quo pacto de. scribendae sint in plano coni caeram is =M- sectiones , adhibendo rursus solidum illud , ex et quo eae trahunt originem suam . Nunc , qua Fio .i s. ratione caedem curvae describi possint in plano, per solas linearum longitudines , ostendenis dum nobis erit. Ut autem a descriptione e Lpsis iterum ordiamur , dentur in plano aliquo, tum magnitudine , cum positione , rectae duae AB , AD , sibi mutuo occurrentes in A . Et oporteat , in eodem plano describere ellipsim . cujus AB sit diameter , AD parameter diameistri , ct eadem A D recta illa , cui omnes diameistri ordinatae debent esse parallelae. Ducatur pre punctum D recta DE , ipsi AB parallela . Tum capiantur aliae duae rectae AX, BZ, quae revolvantur circa puncta A,S B in ipso plano rectarum AB . AD . Fiat autem earum revolutio hac lege , ut portio DR . abscissa ex DE per priorem Ax , sit perpetuo aequalis portioni AG, quam ex parametro AD , producta si opus, abscindit eodem tempore recta altera BZ . Dico . curvam, quae in eodem plano tectarum AB , AD de
116쪽
Ax ; BZ , elliplim , quam quaerimus , esse. L Ex aliquo enim ejus curvae puncto riducatur recta MN,ipli AD parallela, quae conveniae cum AB in puncto N . Jumque erit punctiun M in quaesita ellipsi, si utique ostenis di possit, MN quadratum esse ad rectangulum AN B , ut est AD ad AB . Id vero ostendetur in hunc modum. Quadratum ex MN est ad rectangulum AN B in ratione composita ex
MN ad AN , & ex MN ad N B; sive etiam in ratione composita ex AD ad DF , ct ex AG ad AB . Sed , ob aequalea DF , AG , duae
istae rationes componunt quoque rationem squam habet AD ad AB . Itaque erit ex aequa inii , ut MN quadratum ad rectangulum AN B, ith AD ad AB . II. Non ergo dubitari potest , quin mu-- tuis inter seditionibus rectarum Ax , BZ deseribatur ellipsis, quam quaerimu X. Interimi me
ut deferiptio ejus mehus intelligatur . notandum est primo . quod ubi recta Ax fertur Fio. i s. circulat iter ex AD versus AB ; tunc recta alis tera BZ ferri debeat circulari etiam motu ex BA versus BI , quam ipsi AD suppono parallelam . Et quoniam revolutio harum tectarum ea lege fieri debet, ut portiones DF, AG, abscissae per ipsas ex rectis DE, AD , sint perpetuo aequales inter sic et perspicuum est , quod ubi recta Ax pervenit ad AB , & infinitam adeo portionem abscindit ex DE ; tunc recta altera BZ super B I reperiatur . quia hac ratione ipsa quoque ex AD infinitam portionem abscindet. . Notandum est etiam, quod quotiescum.. Tom. I. G que
117쪽
sS SECTIO NuM CONICARUM que eadem A X pergit moveri circulatitcr ex AB versus AH . quam ipsi AD in directum esse suppono , tunc rem altera BZ prosequi debeat motum suum circularem ex Bl veritas B R. in quam AB,quum producitur, cadit . Et
quoniam motus earundem rectarum ea adhue
leae perfici debet, ut portiones DF , AM, quas abscindunt ex ipsis DE , AD , ex altera Parte productis , maneant semper aequales in inter se: liquet, quod ubi recta AX pervenit ad AH ,& nullam adeo portionem abscindit ex DE Et tunc altera BZ super BR reperiatur, quia hac ratione ipsa etiam ex AD nullam
n. III. Atque hinc luce clarius apparet, era et h lipstis consare ex duabus partihus, hisc inde iam . , relate ad diametrum postis . quae iunguntur
i: et simul in utroque vertice ejusdem det et rau
Fio .iq. Una siquidem describitur , quum recta AAfertur circulariter ex AD versus AB . eaque continetur in angulo BAD. Altera describi. tur, quum eadem A X moveri pergit ex AB versus AH , S pars ista continetur in angulo BA H. Nec sanc , continuando motum eiu sedem tectae A X , usque donec circumferentiam integram absolvat, aliae ei partes addi possiniti Nani primo, quotiescumque recta Axsertur ex AH vcrsus A Κ , quam ipsi AB in directum esse suppono ; time altera BZ prosequet tir motum suum ex BR verius B L . inquam Bl . quum producitur, cadit. Quare squum fiant earundem rectarum intersectiones in angulo BAD; describetur eadem eli psis portio , quae in angulo illo continetur. Et se-
118쪽
E L E M ENT A. '' eundo. ubi eadem recta AX fertur ex AΚversus A D. tunc altera BZ moveri perget ex 'EL versus BA . Unde . quum earundem rectarum intersectiones fiant in angulo BAH;
describetur ellipsis portio illa , quae eo in an
v. Ex allata autem ellipsis descriptione iv. Perspicuum est, et id quidem coutingere, ut si Vm,' 'per aliquod ejus punctum M ducantur ex diata metri verticibus A , ct B rectae duae A X. BZ . elui a seri
portiones DF . AG, quas ipsae abscindunt ex re et is UE , A D. productis si opus , sint semis Fio,i s. Per aequales inter se. Sed, si eaedem AX , BZProtrahantur, usque donec conveniant cum
rectis Bl . IE . similiter si opus productis , in punctis O , S Q ; erunt etiam aequaleS noristiones BO, I Quum enim aequales sint inter se , tam duae A D. BI, quam duae DF, AG ; et tut AD ad DF . ita BI ad AG . Sed . obtriangula aequiangula ADF , ABO , AD est ad DF, ut est BO ad AB I itemque, ob trianis gula aequiangula BIQ, B AG , Bl est ad AC. ut est I Q ad AB . Itaque erit ex aequali , ut BO ad AB , ita I ad eandem AB : S pr pterea duae Bo , IQ aequales erunt inter se. Hinc , per intersectionem rectarum Ax , BZ , describetur quaesita ellipsis , non solum ,
quum rectae illae subinde revolvuntur circa
puncta A , A B , ut portiones DF , AG, quas abscindunt ex rectis DE , A D. productis si
opus , sint perpetuo aequales intur se ; verum etiam, quum suas circa puncta illa revoluti nos subinde petiiciunt, ut sint aequales por-
119쪽
Fio. I s. reo SECTIONUM CONICARUM , toties BO , I quas ubi indunt ex re et is Bl , IE , similiter ii opus productis. v Etli autem aequales sint inter se , tam vortiones DF , AG , quam portiones BO , IO : perspicpum est tamen , minui quidemi aT, quum eae augentur S Vr contrarium aue eri, quum ilia minuuntur . Sed, tam mer mentum,quam decrementum fit semper ea lege, ut rectangulum ex una illarum DF in unam ista tum Bo exhibeat ubique magnitudinem faurae i plius diametri AB . Nam, obtriangula aequiangula ADF . ABO , ut est AD ad DF , ita est BO ad AB i proindeque reeianguintum ex DF in BO aequale erit rectangulo ex AD in DB, quod ex superius dieii, conitiis
tuit diametri figuram . Hinc , quotiescumque aequales fiunt tuis ter se omnes quatuor portiones DF, AG, BD , IQ. necesse est , ut unaquaeque ipsarum media evadat proportionalis inter diametrum
AB, & ejus parametrum AD; atque areo, ut cujusque quadratum aequale fiat rectan-vulo BAD . Id vero contingit, quum illud ellipseos punctum deseribitur , ad quod pertinet ordinata , quae bifariam dividit diametrum AB ; hoe est , quum duae AN , NBaeuualis fiunt inter se . Ubi enim duae AN , N B inter se sunt aequales , erit ut A N ad MN , ita NE ad ean- dem MN . Sed , ob triangula aequi angula
ANM . ABO , AN est ad MN , ut AB ast
Bo ; pariterque , ob triangula aequiangula
BNM . B AG , N B est ad MN, ut AB ad AG. Itaque erit ex aequali, ut AB ad Bo ,
120쪽
ad AG : ct propterea duce AG, BO aequales
VI. Id quum ita sit, juvat hic advertere, quod etsi in describenda ellipsi revolutio rectatum A X , BZ temperari possit, tam aequalitate portionum DF , AG , quam aequalitatu portionum Bo , IQ ; consultius sit tamen ,
adhibere aequalitatem illarum , quum describi debet portio ellipsis , quae refertur ad sena sese m diametri superiorem; & vicissim aequalita tem istarum, quum per contrarium describenda est portio altera, quae diametri semissem alium inferiorem respicit . Quantum enim ad portiones DF , AG ;eae, sicuti nullius magnitudinis sunt in vertice A , ita in recessu ab illo vertice majores semper, ac maiores fiunt, tandemque insinitae evadunt in vertice altero B . Quare integra elliapsis numquam describi posset , si revolutio re-Aarum Ax, BZ aequalitate earum portionum semper esset temperandi.
Quantum vero ad portiones B Qustae
per contrarium uullius omnino magnitudinis sunt in vertice B , tum in recessu a vertice isto majores semper, ac majorre fiunt, eandemque in vettice altero A infinitae deprehenduntur . Unde integram ellipsim nunquam adhuc deseribere liceret . si ipsarum aequalitate rein volutionem rectarum Ax , BZ dirigere sem-Per oporteret
Quocirea , ut integrae ellipsis descriptio haberi possit . praestat, partem eius superiorem describere aequalitate portionum DF ,