장음표시 사용
81쪽
ci SECTIONUM CONICARUM cum scalent . quotiescumque angulus GFoponitur rectus . Nam , constituente FO , vel etiam ejus parallela DE , rectos anguloa cum FG ; erit DE normalis utrique rectarum FG, BC : proindeque , tam ipsa DE recta erit ad planum trianguli BAC, quam duo plana BAC, BCD tecta crunt ad invicem . Unde . si trianis gulum BAC fuerit ita sceles , erit axis coni reis eius etiam ad planum basis BCD ; S consequenter ipse pagiter conus erit rectua , ct non
.. Hinc . od desiniendum cosum coni re- A., et et, Ii . non abs re erit, inquirere hoc loco , quid ,-- - . sit opia i , quo triangulum BAC iloseo
ctam, * - les oriatur . Nimirum necesse est, sumere FR
talis longitudinis , ut GR quadratum , ad seiscens diametri figuram, eiusdem diametri quadratum adaequet i, hoc est , ducta per alterum diametri verticem G recia GS , ipsi FR parallelis , ut GR quadratum una cum rectangulo ex FR in GS sit aequale quadrato , quod fit ex cli metro FG. Ponamus enim , triangulum BAC ltate. Ies esse . Et quoniam, completo parallelogramismo FSGP . fit etiam iso sceles triangulum PGR ; secabit ut basis hujus P R bifariam a perpendiculo, quod super ipsam demittitur expuncto G: proindeque quadrata CR, FR una cum rectangulo PRE aequalia erunt quadrato ex FG. Sed quia talum ex FR una cum rectangulo PRF est aequale rectangulo PFR ,sve etiam ei, quod sub ipsis FR, GS continetur. Itaque erit quadratum ex GR una cum rectangulo ex FR in CS aequale quadra
82쪽
ELEMENTA. 63to, quod fit ex diametro FG. Id quum ita sit, perspicuum est . trianiseulum BAC tunc demum iso sceles esse posse,
quum ratio parametri ad diametrum est minois
ris ad mujus. Nam in isto casu figura diametri. quae constituitur per rectangulum ex FO in FG, minor erit quadrato ipsius diametri FG, adeoque fieri quandoque poterit, ut GR quadratum , adsciscens diametri figuram , quiadem disimetri quadratum adaeque t. Nec sane , quum ita sceles est triangulum BAC, ratio parametri ad diametrum aliter esse
potest. Sit enim AR axis coni . Et , ob basim trianguli BC bisectam in X . erit rectangulum B C minus quadrato ex XX , adeoque multo minus quadrato , quod fit ex AX . Sed ex superius ostensis FO est ad FG , ut ructangulum B XC ad A X quadratum. Itaque ratio ipsius FO ad FG erit minoris ad majuS. II. Sit jum ratio parametri FO ad diametrum FG minoris ad majus . Et oporteat, quaesitam ellipsim ita quidem, mediante cono, in plano describere , ut triangulum BAC ita. sceles oriatur; rectusque adeo ipse conus, quotiescumque angulus GFO ponitur rectus. Describatur super FG, velut diametro,
semicirculus FQG; in quo aptetur recta Friquae sit media proportionalis inter FO,S FG. Jungatur deinde GO ; S arcus, delati plus centro G, intervalloque G signabit in FP punctum illud R , quo opus ust , ut triangulum BAC siat iso sceles. Quum enim Fo sit media proportionalis inter FO , ct FG I erit quadratum ex FQ a
83쪽
ε SECTIO NUM CONICARUM quale rectangulo OFG , quod constituit diametri figuram . Sed quadratum ex GR , seu GD una cum quadrato ex Fo est aequale FG
quadrato . Quare idem GR quadratum , adsciscens diametri figuram, aequale erit quadrato ejusdem diametri r proindeque , ex mox ostensis, triangulum BAC ita seeles erit. Patet autem, triangulum BAC tunc deismum isosceles esse posse , quum angulus GFRnon est major angulo GF . Nam, existente maiore , perpendicularis , quae ex puncto G demittitur super FP , major itidem erit recta GQ. Quare arcus , qui describitur centro G, intervalloque G rectae FP nequaquam ociscurret . Ut igitur problema sit capax solutionis , necesse est , planum CDE ita quidem inclinare ad planum rectarum FG , FO . ut angulus GER non major oriatur angulo GFQ.
Quemadmodum vero , quum angulus
GFR major est angulo GF , arcus , qui deis scribitur centro G , intervalloque C rectae
FP nequaquam occurriti sic idem arcus continget rectam FP in unico puncto. quum angulus GFR aequalis est angulo GFQ ; eamque secabit in duobus punctis , quum vicissim est minor . Unde , scuti problema est impossibile
in primo casu , sic erit capax unius dumtaxat viii. solutionis in secundo , ' duarum in tertio.
I. VIII. Caeterum problema principale , des a. m. describenda ellipsi in plano per conam , potest
etiam resolvi in hunc modum .istim Fae nie- N mirum , datis ut supra rectis FG, FO, - - fiat eadem constructio, usque donec deventum
Fio. 8. fuerit ad punctum R, utcumque sumendume in
84쪽
In recta FP . Abscindatur postea ex diametro FG , producta , si opus , portio FU , aequalis parametro FO . Tum juncta RU . fiat anginius GF S, aequalia angulo FRU. Producantur deinde rectae duae G R, Sss.u ito donec sibi mutuo occurrant in A, cum quibus conveniat quoque recta XC in punis Et is B, ct C . Jamque . si conus concipiatur, cujus vertex sit punctum A , basis autem eirculus BCD , descriptus super BC , velut diametro . in plano rectarum BC , DE ; habebitur ellipsis describenda per intersectionem c ni hujus cum plano, in quo datae sunt reeiae
Ducatur etenim ex puncto R recta RT, diametro GF parallela , quae conveniat cum
AF in Z . Et siquidem ostendi possit, FO esse ad FR , ut est FR ad RT ; jam haec alia soluis
tio coincidet cum priore , nec adeo de veritate ejus poterit dubitari. Id vero ostendetur hac ratione.
Ex constructione angulus GFS aequalis est angulo FRU. Sed, propter parallelas GF,RZ , idem angulus GF S aequalis est etiam angulo REF . Quare duo anguli FRU, R ZEmquales erunt inter se et & propterea erit, ut FU ad FR, ita FR ad RZ. Est autem ex conis structione F v aequalis FO . Et igitur etiam FO erit ad FR , ut est FR ad RZ. IX. Atque hinc rursus patet, triangulum BAC tune demum isosceles esse posse , quum Parameter FO minor est diametro FG. Ubi enim ita sceles est triangulum BAC, erit etiam osceles itiangulum FAR: proindeque duo Tom. I. E anis
85쪽
ιι SECTIO NuM CONICARu Manguli GR F. RFS aequales erunt inter se . sed ex constructione aequales sunt etiam anguli FRV , GFS . Quare, sicuti angulus RFS major est angulo GFS, ita quoque erit angulus GRF major angulo FRU : & propterea erit FG major , quam FU , seu Fo. Patet etiam, non posse triangulum BACisos celes esse , nisi FR sit talis longitudinis, ut GR quadratum , adsciscens diametri figuram, ejusdem diametri quadratum adaequet. Nain, utrum aequales sint , tam anguli GRF , RES. quam anguli FRV , GFS, erit quoque angulus G Ru aequalis angulo GFR . Unde, quum
sit, ut FG ad GR , ita GR ad GV ; erit GR
quadratum aequale rectangulo FG v. Et quoniam ex constructione FO est aequalis FU erit etiam rectangulum DFG, quod constituit diametri figuram , aequale rectangulo GF v . Quare erit GR quadratum
una cum diametri ligura aequale duobus re- angulis FGV, GFU . Sunt autem duo ista rectangula aequalia quadrato ipsius diametri FG . Itaque erit GR quadratum una cum diametri figura aequale ei, quod ex ipsa diametro describitur, quadrato Ex eo autem , quod duo anguli GR v. GFR sint etiam aequales inter se , quum is sceles est triangulum BAC , alia nobis subnascitur ratio describendi quaesitam ellipsim ita quidem, mediante cono, ut triangulum BACiso sceles oriatur. Nimirum , si abscissa ex diametro FG portione F v , ipsi FO aequali, describatur super GV portio circuli, qu* suscipiat angulum, aequalem angulo GFR , quatini
86쪽
doquidem portio ista signabit in FP punctii millud R , quo opus est , ut triangulum BACisosccles sat . X. Sed nolim hic silent o praeterire, quod in utraque solutione problematis principalis, si punctum R ita quidem sumptum fuerit in reeta FP , ut portio FR fiat media proportionalis inter diametrum FG. ejus parametrum
FO ; tunc punctum A abeat in infinitum. Propter rectas FZ , GR, qu et in isto casu fiunt inter se mutuo parallela:. Nam in prima solutione F R est media proportionalis inter FO , R RZ . Unde, semis per ac eadem FR est quoque media proportionalis inter FO . & FG ; duae RZ , FG aequales erunt inter se . Sed eadem RZ .FG sunt etiam ex constructione parallelae . Quare erunt Pariter aequales , ct parallelae retiae FZ . GR. quae illas coniungunt ad easdem partes : Sc Propterea punctum A, in quo eae conveniunt, in infinitum abibit. In secunda vero solutione FO est aequalis FV. Unde semper ac FR est media proportionalis inter FO . & FG , erit quoque , ut Fu ad FR , ita FR ad FG , atque adeo angulus FRU aequalis erit angulo FGR . Ex constructione autem idem angulus ERU aequalis est etiam angulo GES . Quare duo anguli
FGR , GF S aequales erunt inter se : Sc consequenter , quum rectR GR,FS fiant aequid iis stantes , punctum A , in quo eae conveniunt, in infinitum abibit.
Huc adde . quod si per alterum diametri verticem G ducatur recta GS, ipsi FR paralle, E a la,
87쪽
Ia , rectangulum ex FR. in GS aequale erit diametri figurae , quae constituitur per rectangulum OFG. Unde, semper ac FR est media proportionalis inter Fo , & FG l erit quadratum rius aequale rect*ngulo DFG , atque adeo adi quale ei, quod fit ex FR in GS . Hine et tFR non solum parallela , sed aequalis pariter
ipsi GS : & propterea duae GR , FS , quae illas
conjungunt gd easdem partes , erunt etiam aequales, di parall*lae' . o ossam, quum punctum A abit in inlini.
tum tisse conui vertitur in e lindrum . Unde describptur quaesita ellipsis in plano , non uidem mediante cono, sed adhibito odiumro . Et quidem ipsi veteres norunt , ellipsim non solum ex cono , sed etiam ex cylindro erui posse . Nescio autem , num genuinam hujus rei rationem , quae nobis inopinato sese obtulit, exploratam habuerint. Nimitum id evenit , quia c=lindrus haberi debet tamquam conus , cujus virlix irum inlisita a basi dis avita
Ti, xl. Quod quum ita sit, poterat de fectio nibus Olindricis ex iis , eus in cono sunt, j dirium ferri . Sit eruo cylindrus BCNM dum et Idibus eireuiis paralle is, & aequalibus BCD sMNY utraque eg parte terminatus. SitqueFio. 3 i. etiam AR anis ipsius cylindri, hoc est recta , quae eorum circulorum centra conjungit. Secetur primo cylindrus iste plano, vel transeunte per axem AΚ , vel ei parallelo . Et quoniam hujusmodi sectio correspondet ei, quae in cono fit plano per verticem , orientur
in superscie cilindri binae rectit, tum inter
88쪽
ELEMENTA.se, cum eidem axi paralleIae 3 eritque adeo parallegram mum communiX sectio ipsius cylinis dri cum plano praedicto. Secetur secundo idem cylindrus plano ,
quod etsi non transeat per axem ejus, cum illo tamen conveniat. Et quoniam sectio ista ae quivalci et, quae in cono sit plano, non transeeunte per verticem orietur in superficie cylindri linea undique curva et quae etiam redibit in orbem, S spatium claudet; quum nequeat planum secans convenire cum axe cylindri,
nisi idem planum utrinque etiam ex cylindro ipso egrediatur . Perinde autem, ac in cono, curva ista erit circumferentia circuli , quotiescumque
planum secans basi ipsius cylindri est paralleis lum. Et, si idem cylindrus sit scatenus, ac secto ex eo parallelogrammo per axem BCNM , mearit ei rectum , tam planum basis BCD , quam planum sectioni a FGH i itemque angulus
B CN aequalis angulo GFM , & angulus Cp Maequalis angulo FGN I adhuc sectio circuluserit, ut quae sectioni subcontratiae coni stata
Per contrarium sectio cylindi; erit semis per ellipsis , quum nec est basi parallela . nec eidem subcontraria . it si quidem planum se. Fio. I cans DpE occurrat plano basis , aut circuli ae. qui distantis 3 CD in tecta DE,quae sit perpendicularis ad basim parallelogrammi BCN M. secti ex cylindro per axem 3 erit diametet ipsius ellipsis recta FG, quae duorum plan
rum BCNM, DFE communis est sectioi therunt ejus diametri ordinatae rectae omnes i
89쪽
SECTIONUM CONI e ARUM quae ipsi DE sunt parallelae . Sit jam FO parainetet diametti FG . Et adhuc pc r rectas , in cylindro duetas , desiniri poterit ratio parametri ad diametrum. Nam, sumpto in axe cylindri AR puncto quo is A, si ducatur ex eo recta AX , ipsi FG parallela, quae conveniat cum BC , producta , in pun-Eto x , ct cum lateribus parallelogrammi Bia,c N in punctis P, & Q ; erit, ut parameter FO ad diametrum pG , ita rectangulum B XC ad rectangulum P X Q. Sed . ductis ex utroque diametri vertice
rectis FR , US , ipsi BC parallelis ; etiam in
cylindro continebunt eae rectangulum , quod diametri figuram adaequat . Interim, quum, ra
tione parallelogrammi FRGS , rectae illae FR, CS snt aequales , tum inter se , cum ipsi AC; rectangulum, hib iisdem contentum, idem erit,ae BC quadratum: proindeque magnitudo, qtiam habet in ellipsi diametri figura, exhiberi poterit in cylindro per quadlatum, quod sit ex BC.
Denique , si fiat angulus p Ru aequalis angulo B pG s portio FU , abscissa ex diametro FG per te et am Ru, etiam in cylinis dro parametri longitudinem exhibebit. Nee silentio reticendum , quod in cylindro parali lograminum E CNM nequeat esse rectangulum , nisi FR, aut ei aequalis pC, sit talis magnitudinis , ut GR quadratum , adsciscens diametri figuram , eiusdeni diametri quadratum adaeque t.
90쪽
C A P. II. Ratio deseribendi hyperbolam
in plano per coraum , ex plicatur.
I. Stenta , qua ratione describi ponsit ellipsis in plano per conum; via deamus modo, quo pacto per eundem conumh,pe bola in plano sit describenda . Dentur itaque in plano aliquo, tum magnitudine, cum positione rectae duae FG , FO , sibi mutuo occurrentes in F . Et oporteat, in eodem plano describere hyperbolam , cujus FG fit diameter , FO parameter diametri , & eadem FO tecta illa, cui omnes diametri ordinatae debent esse parallelae .
Ducatur primo planum aliud CDE , o currens plano rectarum FG, FO in recta DE, ipsi FO parallela . Deinde ex puncto R , in quo duae FG , DE sese mutuo secant, er gatur in ducto plano recta RC , perpendicularis super DE. Tum huic R C per punctum F, diametri verticem unum, parallela agatur FP. Capiatur porro in recta ista FP punctum quodvis R . Et ducta RY aequi distanter ipsi FG , abscindatur ex ea portio RZ, quae fit tertia proportionalis post duas FO , FR. Denique jungantur rectae FZ, GR, quae sicuisti sibi mutuo occurrunt in puncto A , sic producantur usque donec conveniant cum r