장음표시 사용
131쪽
tune duae AN , N B aequales fiunt inter se squum utraque infinita evadat, manente interim finita ipsarum differentia AB: proindeque erit, ut A N ad MN , ita N B ad eandem MN. Sed , ob triangula aequiangula ANM , ABO, AN est ad MN , ut AB ad BO ; itemque , obtriangula aequiangula BNM, BAG,N B est ad MN . ut AB ad AG . Itaque erit ex aequali , ut AB ad BO , ita AB ad AG i & propterea duae AG , BO aequales erunt inter se. VI. Id quum ita sit, juvat hic advertere, quod etsi in describenda hyperbola revolutio tectarum A X, BZ temperari possit, tam aequalitate portionum DF , AG , quam aequalitate portionum BD , IQ; consultius sit tamen, adhibere aequalitatem illarum , quum describi debet hypcrbola inferior . quae transit per verticem A ; & vicissim aequalitatem istarum , quum hyperbola superior . quae traducitur per verticem B , est deseri henda.Quantum enim ad portiones DF , AG teae, sicuti nullius magnitudinis sunt in vertice A, ita in recessu a vertice illo majores semper , ac majores fiunt, tandemque infinitae evadunt in vertice altero B. Quare integra hyperbola , quae ex principali , & opposita constat, nundi quam describi posset, si revolutio rectarum Ax, BZ aequalitate earum portionum esset
Quantum vero ad portiones BO , I
istae per contrarium nullius magnitudinis sunt in vertice B, tum in recessu a vertice isto majores semper,ac majores fiunt, tandemque in vertico altero A iusinitae deprehenduntur Disii iam brum Cooste
132쪽
ELEMENTA. II tur. Unde integram hyperbolam numquam adhuc describere liceret, si ipsarum aequalitate revolutionem rectarum A X , BZ dirigere semper oporteret.
Quocirca . ut integrae hyperbolae descriptio haberi possit, praestat. prius quidem adhi-here aequalitatem portionum DF , AG ; tum deinde aequalitatem portionum BO,IQ in subsidium advocare . Et , ut idem sit terminus incrementi, tam illarum, quam istarum; describi poterit aequalitate priorum hyperbola principalis , quae transit per verticem A , S aequalitate posteriorum hyperbola opposita , quae vansit per verticem alterum B. VII. Ex eo porro, quod aequales sint in--.ter se , tam portiones DF , AG , quam portiones BO , te, plura poseunt obtineri, aliquem fortasse usum deinceps habitura.
Nimirum primo determicari potes sin- ιε - isa Igitudo par ametri , quotiescumque una cum 'E hyperbola data est , tam diameter AB , quam mete .politio suarum ordinatarum . FIG. IT.
Sit enim AD , vel BL recta illa, cui omnes diametri ordinatae sunt parallelae. Et, sumpto in hyperbola puncto quovis M . agantur per illud ex verticibus diametri A , S B rectae Ax, BZ, quae cum ipsis AD, BL conveniant in punctis G , & O. Abscindatur deinde ex AB , utrinque producta , vel portio AS , aequalis ipsi AG , vel portio BT , aequalis ipsi BO . Et parametri longitudinem exhibebit , tam recta EF . parallela rectae AD , & terminata ad rectam AX , quam recta TQ , parallela eidem Ana. I. H AD
133쪽
ri SECTIONUM CONICARUM AD , A terminata ad rectam BZ .
. ni Vlli. secundo definiri potest punctum , in
Oisomodo quo recta Ax , ducta ex vertice A . secat hy- ' ,2 perbolam. Nimirum, si ex vertice altero B ductum, aeque catur recta BZ , quae abscindat , vel ex AD portionem A G, aequalem ipsi DF et vel ex IEss aerem di portionem I aequalem ipsi BO . Nam inter-NL. T. rectarum Ax , BZ quaesitum punct um' exhibebit. Hinc , sqti idem recta Ax cadat sis per AD , quae ducta est per verticem A diametri
ordinatis aequid istanter , continget ea hvPer holum in solo puncto A . Num in isto casu DF quidem evanescit, Bo vero sit infinita . Quare , ut etiam evanescat AG , & insinita fiat I ducenda erit recta altera BZ per ipsum verticem A.
Per contrarium vero, quotiescumque recta Ax ungulum constitit it cum AD , tunc ea non lotum in A, sed in alio quoque puncto secabit hyperbolam. Nam, ratione ejus anguli, est finitae magnitudinis, tam portio DF. quam portio Boi proindeque recta altera BZ per ipsum verticem A transire non poterit. Inde autem consequitur, quod si in plano descriptae hyperbolae detur positione recta alia sua , quae non sit parallela diametri ordinatis, semper ex vertice A duci possit recta alia,quae ei parallela , secet hyperbolam in alio puncto, quum non aliter esse queat illi parallela , nisi, I x. angulum constituat cum A D.
BC Denique determinari potes punctum.=.DI in quo recta BE, ducta ex vertice B , secat hy- . per holani. Nimitum, si ex vertice altero A
134쪽
ducatur recta AX , quae abscindat, vel ex DE--M. portionem DF, aequalem ipsi AG ; vel ex BL portionem BO , aequalem ipsi I Nam inter- Fio .i T. sectio tectarum BZ , A X quaeli tum punctum exhibebit. Hinc, siquidem recta BZ cadat super BL, quae ducta est per verticem B diametri ordinatis aequid istanter; continget ea hyperbolam in solo puncto B . Nam in isto casu AG quidem fit infinita , IQ vero evanescit. Quaru , ut etiam infinita fiat DF, ct BO evanescat, ducenda erit rem altera AX per ipium vertiacem B. Per contrarium vero, quotiescumque recta BZ angulum constituit cum B L. tunc non solum in B, ted in alio quoque punito ea secabit hyperbolam. Nam, ratione ejus anguli, est finitae magnitudinis, tam portio AG , quam portio Ist: proindeque recta altera Ax per ipsum verticem B duei non poterit. Huic autem consequens est , quod si ioplano descriptae hyperbolae detur positione reis et a aliqua , quae non sit parallela diametri oris dinatis , semper ex vertice B duci possit recta alia,quae ei parallela . hyperbolam secet in alio puncto, quum non aliter esse queat illi paralis tela, nisi angulum constituat cum B L. X. Caeterum haud quidem putandum est, x hyperbolam in plano per solas rectarum longi Dpretata tudines dumtaxat exposita ratione posse descri- a Z - , hi. Vix enim ulla est ejus proprietas , ex qua peraliarit eam defcribendi modus nobis non , . I.
subnascitur. Qitin tapc ex eadem proprietate ' -- possunt etiam plures derivari. H a Ita,
135쪽
sic SECTIO NuM CONICA Ru MIta , si angulus BAD , quem constituit diameter AB cum parametro AD, fuerit rectus , ope ejusdem illius proprietatis , quae hyperbolae competit relate ad diametrum, poterit etiam quaesita hyperbola describi in
Secetur diameter AB subinde In puncto H, ut AH sit ad BH , veluti est AD ad AB. Deinde, erecta super BH perpendiculari HL ,
revolvatur, tum circa verticem A angulus rectus XA Y , cum circa verticem alterum B re cta BZ, Fiat porro utriusque revolutio ea Iege. ut intersectio rectae BZ cum latere anguli AY contingat semper super recta HL . Et inister sectio ejusdem rectae BZ cum latere altero AX optatam hyperbolam in plano delineabie. XI. Nec sane dissicile erit, hujus rei veritatem Ofendere . Ex aliquo enim intersecti nis puncto M ducatur ad diametrum ordinata MNi quae, quum sit ei perpendicularis, parallela erit ipsi HL & consequenter duo tria gula BNM , BHL aequiangula erunt. Et quoniam rectus est uterque angulorum BAD, XAT , iidem erunt aequales inter se: proindeque ablato communi angulo DAT, erit etiam angulus BAT aequalis angulo DAX, sive AMN:& propterea duo trianis gula MN A, AHL etiam aequiangula erunt. Ulterius MN quadratum est ad rectangulum AN B in ratione composita ex MN ad
AN , ' ex MN ad N B . Sed MN est ad AN, ut AH ad HL ; itemque MN est ad N B , ut HL ad BH. Quare erit MN quadratum ad re
136쪽
ELEMENTA. irrctangulum AN B in ratione composita ex AH ad HL , & ex HL ad BH. Iam duae istae rationes componunt pari ter rationem,quam habet AH ad BH. Unde erit ex aequali, ut MN quadratum ad rectangulum AN B. ita AH ad B H . Sed ex constructione AH est ad BH , ut AD ad AB . Et igitur erit rursus ex aequali, ut MN quadratum ad rectangulum AN B, ita AD ad AB. XII. Dissimulandum autem hoc loco non est,quod alter iste perbolam describendi modus omnino recidat in eum,quem primo loco attulimur. Si enim per punctum D ducamus rectam DE , diametro B A parallelam , cui latusAX oecurrat in F ; facile erit ostendere, portionem DF aequalem esse portioni AG, quam abscindit ex AD, producta si opus, recta BZ. Quum enim rectus sit uterque angui rum XAT , DAH ; iidem erunt aequales inter se: proindeque ablato communi angulo DAT, erit quoque angulus DAX aequalis angulo HAT i & propterea duo triangula AH L, ADF aequiangula erunt; eritque adeo , ut
AH ad HL , ita AD ad DF. Hinc,quum sit Bri ad HL in ratione comis posita ex BH ad AH , ct ex AH ad HL 3 ha-hebit quoque Bri ad HL rationem compositam ex BH ad AH . & ex AD ad DF . Sed ex constructione BH est ad AH , ut AB ad AD. Quare erit rursus B H ad HL in ratione comis posita ex AB ad AD , A ex AD ad DF. Jam duae istae rationes componunt paria ter rationem , quam habet AB ad DF . Unde erit ex aequali. ut Bhl ad HL , ita AB ad DF.
137쪽
ris SECTIONUM CONICA Ru MSed BH est ad HL, ut AB ad AG. Itaque erit rursus ex aequali , ut AB ad DF . ita AB ad AG i Si propterea duae portiones DF . AG aequales ertini inter se.
C A P. VI.stuo pacto describi possit parabola in plano per rectas solas, ostenditur .
i. I. T Llud reliquum jam est , ut qua ra-P--v- I tione per solar linearum simitu X
A M. nes parabola in plano describa possit, ostenda- inus. Dentur itaque positione in plano aliquo s. m. rectae duae AB , AD , sibi mutuo occurrentes FIO a ln A; quarum prior AB sit terminata ad Plinctum A , indefinita vero versus B , altera AD sit etiam mugnitudine data. Ei Upoeteat, in eodem plano describere parabolam . cujus AB sit diameter. AD parameter diametri . ct eadem AD recta illa, cui omnes diametri ordinaloe debent esse parallelae. Ducatur per punctum D recta DE . ipsi AB parallela . Tum capiantur aliae duae rectae AX, CZ; quarum prior AX circa punctum Arevolvatur,altera CZ moveatur subinde suis per AD , ut maneat ipsi AB . vel DE jugiter Parallela . Ferantur autem rectae Hae ea insu-Per lege . ut portio DF , abscissa ex DE per Priorem AX , sit perpetuo aequalis portioni AG , quam ex parametro AD, producta fiopus
138쪽
ELEMENTA, II 'opus, abscindit eodem tempore recta altera GZ . Dico , curvam , quae in eodem pi no reis Etarum AB , AD describitur continuis interisse Etionibus ipsarum Ax , GZ , parabolam ,
quam quaerimus , esse , Ex aliquo enim ejus curvae puncto Mdueatur recta MN , ipsi AD parallela . quae
conveniat eum AB in puncto N . Jamque erit punetum M in quaesita parabola, si utique ostendi pollit, MN qu.dratum aequale psse rem angulo DAN . Id vero ostendetur in hunc modum . Duadratum ex MN est ad rectangulum DAN in ratione composita ex MN dAD . A ex MN ad AN sive etiam in ratione composita ex AG ad AD , ct ex AD ad DF.
Sed dure istae rationes componunt quoque x
tionem, quam habet AG ad DF . Itaque et tex aequali, ut MN quadratum ad rectangulum DAN . ita AG ad DF : & propterea , sicuti duae AG , DF inter se sunt aequales ; ita erit MN quadratum aequale rectangulo DAN. II. Non ergo dubitari potest , quin mutuis intersectionibus rectarum A X , GZ de-
scribatur parabola . quam qu*rimus, Interim, ut 'scriptio eius melius intβlligatur s notarim M. iti, Misdum est primo , quod ubi recta AX fertur circulariter ex AD versus AB, tunc xe ia alte. io gQ ra GZ ferri debeat rectilineo suo motu ex AB versus D E. Et quoniam motus harum rectarum ea lege fixti debet, ut portiones DF. AG, abscissae per ipsas ex rectis DE, AD sine Perpetuo aequales inter se e perla cuum est, quod ubi recta Ax pervenit ad AB , ct infini- iam adeo portionem abscindit ex DE , tunci alte-
139쪽
axo SECTIONUM CONICA Ru Mallela GZ ab eadem AB infinite recedat, quia hac ratione ipsa quoque ex AD infinitam
portionem abscindet. Notandum est etiam . quod quotiescumque eadem A X pergit moveri circulariter ex
AB serius AH , quam ipsi AD in directum
esse suppono; tunc recta altera CZ intelligenda sit ex infinita distantia , ad quam abierat, accedere rursus ad AB per plagam oppositam.
Et quoniam motus earundem rectarum ea
adhuc lege perfici debet, ut portiones DF, AG, quas abscindunt ex ipsis DE, AD , ex altera parte productis, maneant sempcr aequales inter ier liquet , quod ubi recta AX perveniead AH,& nullam adeo portionem abscindit ex DE; tunc altera GZ super AB reperiatur, quia hac ratione ipsa etiam ex AD nullam
portionem abscindet., tu, IlI. Atque hinc luce clarius apparet, ...ia .. rabolam consare ex duabus partibus, hine inde relate ad diametrum positis , quae simul iun-
eam ii. . gillatur in puncto A, vertice Mutilem diame-FIo. 2 o. tri. Una siquidem describitur , quum recta AX fertur circulariter ex AD versus AB , eaque continetur in agulo BAD . Altera deseriis bittar, quum eadem Ax moveri pergit ex AB verius AH , S pars ista continetur in angulo BAH . Nec sane , continuando motum ejusdem rectae Ax , usque donec circumserenistiam integram absolvat , aliae ei partes addi possunt.
Nam Primo , quotiescumque recta A fertur ex AH versus AR, quam ipsi AB in dia rectum esse suppono , tunc altera GZ proseis
140쪽
ELEMENTA. Illiquetur motum suum ex AB versus D E. Quare, quum fiant earundem rectarum intersectiones in angulo BAD , describetur eadem para-holae portio, quae in angulo illo continetur. Et seeundo , ubi eadem recta Ax fertur ex Assversus AD; tunc altera GZ redibit ad Asper plagam oppositam. Unde, quum earundem rectarum intersectiones fiant in angulo BAH , describetur parabolae portio illa , quae eo in
IU. Ex allata autem parabolae descriptione perspicuum est, et id quidem contingere, ut ssi per aliquod eius punctum M ducantur re- dom a se. etae duae AX, Gg, prior quidem pertinens ades ' verticem A, altera diametro AB parallela; portiones DF , AG , quas ipsae abscindunt ex rectis DE . AD , productis si opus , sint perpe- -- tuo aequales inter se . Inde vero plura possunt Fi-- eo. obtineri, aliquem fortaste usam Liscus habi
Nimirum primo determiuari potess si gitudo parametri , quotiescumque una cum parabola data est, tam diameter AB,quam P sitio suarum ordinatarum. Sit enim AD recta illa , cui omnes diametri ordinatae sunt parallelae . Et , sumpto in parabola puncto quovis M , agantur per illud rectae duae AX , GZ . una pertinens ad verticem A , altera diametro AB parallela, quae conveniat cuin ejus parametro AD, productas opus,in puncto G. Abscindatur deinde ex diametro AB
portio AS , aequalis ipsi AG . Et, ducta per punctum s recta SF. parallela rectae A D. quae