장음표시 사용
71쪽
SECTIONUM CONICA Ru Mest ad BL , ut AE ad AB , sive etiam , ut FRad BC. Itaque erit AR ad BL in ratione composita ex FR ad BC, ct ex BC ad MN. lam duae istae rationes componunt pariter rationem . quam habet FR ad MN . Itaque erit ex aequali, ut AR ad BL, ita FR ad MN. Sed AR est ad B L, ut AC ad BC, sive ex primo theoremate, ut FR ad FO . Quare erit rursus ex aequali , ut FR ad MN . ita FR ad Fo : proindeque duae MN, FO aequales erunt
vi, v I. Quemadmodum autem, facta in conora sectione parabolica, determinari potest in ipso cono parameter, ad ejus diametrum pertinens; m se vicissim, setIo ex conu triangulo per axem L csiit, ope eius, eruere parabolam ex ipso cono, erius diameter datam parametrom habeat. Fio. ra. Sit enim BAC trianguum, per axem sectum, cujus ope parabola ex cono est eruenda.Abscindatut ex basi ejus BC portio CΚ talis
longitudinis, ut data parameter sit ad eam, vetaluti est BC ad AC . Tum per punctum X agatur , tam in plano trianguli BAC recta FG. ipsi AC parallela , quam in plano circuli BCDrceta DE,alteri BC normalis. Et planum, tram sens per binus istas rectas FG , DE , quaesitam in cono parabolam producet . Nam , quum planum istud occurrat plano circuli BCD in re ela DE, ipsi BC normali; et it FG ortae sectionis conicae diameter . Sed ex constructione FG est parallela latcti A C. ouare ipsa lectio DF E parabola erit . Deinde, ducta ex vertice diametri F recta FR aequid i- supter ipsi C , erit diametri ejus paramete ad
72쪽
ad tectam istam FR . ut EC ad AC. Sed in
eadem ratione est etiam ex constructione parameter data ad portionem CR , quae ipsi FRest aequalis . Itaque pura meter diametri FG erit ipsa parameter data . II. Sed videamus modo , qua rat oneproprietates ellipsis, O perbola teria et ar ineat , qua parabola competunt , ubi earum cur
tiarum diameter in ita lovita ivis feris .
Nimirum primo , tam in ellipsi . quam in hyperbola est, ut DT quadratum ad HL quadratum , ita rectangulum FΚG ad rectanguis Ium FLG . Jam , abeunte in infinitum puncto G. altero cliametri vertice . rectae duae X G. LG fiunt longitudinis infiniis adeoque, quum differant a se mutuo per finitam longitudinem RL , sumi poterunt velut aequales inter se. Unde erit rectangulum FN G ad rectanguis Ium FLG , ut est FΚ ad FL : Si propterea in hac eadem ratione erit pariter in parabola DRquadratum ad ML quadratum.
Deinde in utraque etiam earum curva
rum quadratum cujusvis ordinatae DX est ad rectangulum ei correspondens FΚG , ut para- metet FO ad diametrum FG ; sive, assumpta communi altitudine F Κ.ut rectangulum OF Κad rectangulum RFG. Sed , abeunte in infiniis tum puncto G , rectae duas RG , FG fiunt a quales, atque adeo aequalia pariter rectangula FΚG , Κ FG . Quare in parabola etiam DRquadratum aequale fiet rectangulo OFΚ . Id ipsum consequitur quoque ex tertia earum curvarum Proprietate , juxta quam
73쪽
q. SECTIO NuM CONICA Ru MDΚ quadratum est aequale rectangulo FRR.N-m , quotiescumque iii infinitum abit punis et um G , tectae duae EG , OG fiunt parallelae. Unde trapetium OFRR vertitur in parallelogrammuln , atque adeo latera eius opposita
FO , R R evadunt aequalia. Quo sit , ut rectangtilum OFR sit aequale re et a figulo FRR, S consequenter, ut DR quadratum , velut aequale tectangulo FRR , adaequet quoque tectangulum OF Κ. v III. Ulterius in parabola, quum para memter si finita , diameter autem infinitae longitudinis , ratio parametri ad diametrum debet esse infinite partia . Profecto autem finita illa ratio , quam vidimus superius obtinere in ellis psi , & hvperbola, talis evadit, quotiescumque in iis curvis alter diametri vertex G in infinitum abire supponitur.
Nam , quum in hae hypothesi duae FG. AC parallelae fiant inter se , recta AX , quae ducitur per punctum A ipsi FG aequi distan
ter, cadet super A C. Quare, evanescente por tione CX , evanescet pariter rectangulum B XC ;& consequenter ratio eius rectanguli
ad Ax quadratum , cui in ellipti, & hvperbo
la ostensa est aequalis ratio parametri ad diametrum , infinite parva prod: bit. Praeterea . si fetura diametri considerari velit etiam in parabola , eam , ob infinitam diametri longitudinem , infinitae magnitudiuis esse , oportebit. Plane vero insinita prodibit , si ux magnitudine , quam habet in ullipsi, A hyperbola , volupe sit, illam eruere. Enimvero in uuaque earum curvarum exhiis
74쪽
ELEMENTA. Texhibet figurae magnitudinem rectangulum ex FR in GS . Sed , abeunte in infinitum puncto G . altero diametri vertice , recta GS evadit infinita . Quare , quum infinitum quoque fiat rectangulum ex FR in GS ; ipsa figurae magnitudo infinita pariter evadet. IX. Methodo non d ssimili possunt etiam demonstrari duo illa theoremata , quibus aemnitur in cono parameter , ad paratata diametrum pert neni. Ex eo enim . quod tum in eli psi . cum
in hyperbola rectangulum ex ER in GS sit ae quale rectangulo ex Eo in FG , quod constituit diametri figuram ; erit in iisdem curvis, ut FO ad FR , ita GS ad FG. Qtramquam vero utraque rectarum GS . FG infinita evadat, quotiescumque punctum G in infinitum abite supponitur; ratio tamen ipsarum vertitur in eam, quam habet FR ad A R, sive BC ad AC. eo quod fiat FG ipsi AC parallela . Unde erit in parabola , ut FO ad FR , ita FR ad AR, vel ita BC ad AB , prorsus ut supra . Sed hoc idem luculentius consequitur ex eo . quod tam in ellipsi , quam in hyperbola FO sit ad FR , ut est B X ad A X . Jam enim vidimus paulo ante , quod , abeunte in infiniis tum puncto G , non modo FG parallela fiat ipsi AC, sed S AX coincidat cum eadem A C. Inde igitur liquet, duas B X , Ax ipsis BC,
AC seorsim aequales evadere : & propterea,
scuti in et ipsi, & hyperbola Fo est ad FR, ut B X ad A X: sie in parabola FO erit ad FR , ut est BC ad AC .
Quemadmodum autem, quum punctum
75쪽
SECTIO NuM CONICARUM C in infinitum abite supponitur , duae BT AX fiunt ipsis BC, AC seorsim aequales; se in eadi in hypothasi tectangulum CBX idem set cum BC quadrato , & rectangulum B AX vertetur in illud , quod fit ex AB in AC . Unde, si iti in ellipsi , & hyperbola FO est ad AF, ut rectangulum CB X ad rectangulum B AX; sic in palabola FO erit ad AF, ut est BC quadratum ad rectangulum BAC , prorsus etiam ut supra.X. Tam in ellipsi , quam in hyperbola pro 'terminanda parametri longitudine indeis pendenter ab ipsa diametro , duo alia theoremata sese nobis obtulere . Primum est, quod
FO sit ad CS, veluti est CX ad A X. Altcrum , quod FO sit ad AG . veluti est tectangulum BCX ad rectangulum CAX . Jam, abeunte in infinitum puncto G, fit infinitae longitudinis , tam recta GS, quam recta AG.
Unde in parabola parameter diametri ad utramque earum rectarum rationem infinito parvam debet habere. Plane vero, tum ratio , quam habet C
ad Ax , cum ratio rectanguli BCX ad rectam gulum CAX , talis evadit, ubi punctum G in infinitum abire supponitur. Nam in eo casa AX coincidit cum AC; adeoque , punci s C,S X in unum coeuntibus , fit indefinitae paris
vitatis , quin omnino evanescit, non modo recta CX , verum etiam rectangulum BCX r sinitis interea manentibus , S recta AX , quae evadit AC . Sc rce angulo CAX, quod veristit ut in AC quadratum. LIM
76쪽
De Sectionum Conicarum in Plano Descriptione.
SUperiore libro vidimus, quo pacto cur vae illae, quae conicae sectiones appellanis tur , suam ex cono originem trahant. Nunc, qua ratione eaedem curvae possint In plano deis scribi, sequitur , ut ostendamus . Sane vetereS non aliter , quam cono rursus adhibito , id obtinebant. Unde earum in plano descriptionem, velut arduum, S dissicile quidpiam,rep tabant. Sed Recentiores, nullius solidi ope , per solas linearum longitudines, eas describere docent. Quo fit , ut deseriptio illarum in plano nullis hodie dissicultatibus obnoxia depre
C A P. I. stua ratione elli is in plano per conum describi possit,
I. C Tsi Veteres, ad describendas In II plano conico sectiones , rursus conum adhibuerint; rem tamen non ea universalitate tradiderunt, quae ei inesse videtur. Ne
77쪽
Fio. 8.el SECTIONUM CONICARUM Ne igitur in eandem labem nos etiam in ei da ismus, conabimur , curvas illas ita quidem, meis diante cono, in plano describere , ut rutio eas hoc pacto deseribendi non excidat universaliis late illa , quam natura sua secum includit. Quaecumque autem sit conica sectio . quam oportet in plano describere , utique ad eam determinandam quatuor requiruntur.
Horum prius est positio diametri. Alterum est ipsius longitudo , quae sicuti finita in ellipsi. Ec hyperbola , sic in parabola infinita semper esse debet.Tettium est parameter eiusdem diametri. Et quartum denique est positio suarum
ordinatarum. Hine, in tradenda descriptione see iovinum conicarum . quatuor ista nota semper a Qsumemus. Speciatim uero, quod attinet adpositionem ordinatarum , exhibebimus eam per eandem illam , quam parametro concedimus 3 ut quae diametri ordinatis parallela semper concipi debet. Unde hac ratione deteris minabimus sectionem conicam deserabendam , dando magnitudine , Sc positione , tam diametrum , quam parametrum ejus.
II. Ut igitur a descriptione ellipsis ord amur, dentur in plano aliquo , tum magnitudine , cum positione rectae duae FG , FO . sibi
mutuo occurentes in F. Et oporteat, in eodem
plano describere ellipsim , cuius FG st diameter , FO parameter diametri, & eadem Forecta illa, cui omnes diametri ordinatae deinhent esse paralleloe . Ducatur primo planum aliud CDE , o
currens plano rectarum FG , FO in recta DE,
78쪽
ELEMENTA. et 'ipsi FG parallela . Deinde ex puncto R . in quo duae FG . DE sese mutuo secant, erigatur in ducto plano recta RC , perpendiculatis super DE. Tum huic R C per punctum F, diametri verticem unum , parallela agatur FP. Capiatur porro in recta ista FP punctum quodvis R . Et ducta RY aequid istanter ipsi GF , abscindatur ex ea portio RZ . quae sit tertia proportionalis post duas FO , FR. Denique iungantur rectae FZ, GR, quae producantur. usque donec conveniant , tam inter
se in puncto A , quam cum recta R C in pili sit. s B . ct C. His peractis, concipiatur iam conus, cuius vertex sit punctum A . basis autem circu- Ius BCD , descriptus super BC, velut diameistro, in plano rectarum BC, DE . Et per inter. sectionem coni hujus cum plano , in quo datae sunt tectae FG, FO , habebitur ellipsis descri-henda
tu . Sit enim DpE sectio , facta per tale in.planum in coni eius superficie . Et quoniam BC est diameter basis ECD ; erit triangulum in aha a - - B AC ex cono sectum per axem . Unde, quum has eius BC normulis si recta DE , in qua adim Planum iecans occurrit plano basis ; erit recta Dp et a FG diametet sectionis DFE: S propterea, quia eadem FG secat utrumque latus trianguli infra verticem coni; ipsa sectio DFE proculdubio erit et ipsis. Praeterea in eadem sectione DFE ordinatae . pertinentes ad ejus diametrum FG . deis hent esse parallelae rectae DE . S d ex conis structione recta DE parallata est reetae Fo.Quam
79쪽
do SECTIO NuM CONICARUM Quare exciem ordinatae parallelae quoque erime
ipsi FG proindeque . sicuti ellipsis DEE, d scriptae in plano rectarum FG , FO , diameterest tecta FG, sic ordinatae ejus diametri paralis
telae erunt rectae EO. Denique ex vertice coni A ducat ut recta Ax, ipsi FG parallela, quae conveniat cum BC , producta , in X . Et ex superius ostentis parameter , quae ad deseriptae ellipsis diametrum refertur, erit ad FR , ut est B X ad AmSed Bx est ad Ax , ut FR ad RZ, sive etiam ex constructione , ut FO ad FR . Quare erit ex aequali, ut FO ad FR , ita parameter diais metti FG ad eandem FR : ct propterea erit FO ipsa diametri parameter . Iv. IV. Dubitari itaque non potest , quin elis-- Λ DFE , descripta in plano rectatum FG,
FO methodo tradita . quaesitas conditiones et . - adimpleat. Primo enim diameter ejus est tetasma surae. Eha FG ; deinde diametri parameter est recta d Fo . denique eidem FO parallelae sunt etiam FI c. g. ordinatae , quae ad diametrum illam referuntur. Sed perspicuum est quoque , methodum a nobis adhibitam, pro descriptione ejus ellipsis,
esse adeo ucliversalem, ut non unum , sed tuis finitus conos ad eum usum exhibeat.
Nam primo planum CDE duei potest infinitis plane modis. Et si enim plano rectarum FG . Fo occurrere debeat in recta DE . ipfiFO parallela i id tamen positionem eius minime determinat. Deinde punctum R utcumquc sumi potest in tecta FP . Quo fit, ut longitudo ipsius FR adhuc modis innumeris possit .variari. Utroque igitur ex capite liquet, inin
80쪽
ELEMENTA. si faἷtam esse diversitatem conorum , quorum
ope quaesitam ellipsim describere licebit . Qtumadmodum autem ex positione plani CDE dependet magnitudo anguli GFR . sic ex longitudine ipsius FR trahit angulus FGR magnitudinem suam . Unde , quia per
quantitates istorum angulorum determinatur
triangulum FRG I perspicuum est, infinitam illam conorum diversitatem, qui adhibeti pota sunt, ad quaesitam ellipsim describendam , ex ' eo unice proficisci, quod possit triangulum FRG infinitis plane modis variari. . Quamquam vero infiniti sint conl . quibus quaesitam ellipsim describere licet, ii
tamen sunt omnes scalent , quum angulus is . . tia, ....
GFO non ponitur rectus. Ubi enim triangulum, ex cono sectum per axem, non constituit . .
cum plano basis angulos rectos; proculdubio Fici. g. conum ipsum scalenum esse oportet. Profecto autem facile erit ostendere, triangulum BAC, sectum ex cono per axem, non posse cum plano basis BCD rectos angulos constituere . quum angulus GFO nequaquam est re eius. Nam, quotiescumque FO non constituit eum FG angulos rectos ; t m ipsa , quam ejuSparallela DE multo minus rectos angulos eff- ciet cum plano trianguli BAC, in quo recta FG reperitur. Ex constructione autem DE
perpendicularis est super BC , quae duorum planorum BAC , BCD communis est sectio. Quare , quum eadem DE sit in plano BCD, nec etiam duo ista plum BAC, BCD tecta