장음표시 사용
121쪽
rox SECTIONUM EO NICA Ru Mnum BD , I LEt, ut idem sit terminus invidi, menti, tam illarum, quam istarum , sejungi poterit pars ellipsis superior ab inferiore per ordinatam , quae hi secat diamet tum AB. vii. VII. Ex eo porro , quod aequales sint in-
ST ta . -le, tam portiones DF , AG . quam portio. VS BO , Q , plara psi'unt obtineri . aliquemfrta se usam deinceps habitara . . Nimirum primo determinari potest Degiis
F. O isti . tudo parametri , quotieQuinque una cum elli
et i psi data est , tam diameter AB , quam positio
Sit enim AD , vel BI recta illa , cui omnes diametri ordinatae sunt parallelae. Et sumpto in ellipsi puncto quovis M , agantur per illud ex verticibus diametri A , S B retae AX , BZ, quae cum ipsis AD, BI conveniant in punctis G , de o. Ab se indatur deinde ex AB, utrinque producta si opus . vel portio AS, aequalis ipsi AG ; vel portio BT, aequalis ipsi Bo . Et parametri longitudiuem exhibebit. tam rem SE , parallela rectae AD . ct terminata ad rectam AX; quam recta TQ . parallela eidem AD , ct terminata ad rectam BZ .vni. VIII. Secundo definiri potest purimm , lit. VT: pm recta Ax , ducta ex vertice A , secat eniat. .. psim Nimirum , si ex vcrtice altero B duca' a . . -- tur recta re , quae abscindiit, vel ex AD portionem A G. aequalem ipsi DF ; vel ex IE po
n.ὰM. tionem l Q, aequalem ipsi BD. Nam interse-Fio. I S. etio rectaeum AX, BZ quaesitum punctum exhibebit.
122쪽
AD , quae ducta est per verticem A diametri ordinatis aequid istanter continget ea est ipsi vi in solo puncto A . Nam in illo eam DF quidem evanescit, BO vero fit infinita . Quare . ut etiam evanescat AG , ct infinita fiat , ducenda erit recta altera BZ per ipsum
verticem A. Per contrarium vero, quotieseumque recta Ax angulum constituit cum AD , tunc ea uon solum in A, sed tu alio quoque puncto secabit ellipsim. Nam,ratione ejus anguli,est sinitae magnitudinis, tam portio DF, quam portio Bo: proindeque recita altera BZ per ipsum verticem A transire non poterit. Inde autem consequitur, quod si in plano descriptae ellipsis detur positione recta altis qua , quae non sit parallela diametri ordinatilli semper ea vertice A duci possit recta alia,quae es parallela, secet ellipsim in alio punctos quum non aliter esse queat illi parallela . nisi angu- um constituat cum A D. IX. Denique determinari potest pulsuum, ix. in quo recta BZ, ducta ex vertice B, secat elliis
psim . Nimirum, si ex vertice altero A duca-ψZ --tur retia Ax, quae abscindat, vel ex DE por- ΩΠa , ationem DF aequalem ipsi AG ; vel ex BI
portionem Bo, aequalem ipsi I Nam interis . I im.
sectio rectarum BZ i AX quaesitum punctum Fisi i Dexhibebit. Hinc , siquidem recta BZ cadat super BI, quae ducta est per verticem B diametri ordin iis aequid istanter; continget ea ellipsim in his Io puncto R. Nam in is Eo casu AG quidem fit infinita, I vero evanesciet. Quare , ut G etiam
123쪽
ro SECTIO NuM CONICARUM etlam infinita fiat DF , & BO evanescat, ducenda erit recta altera Ax per ipsum verti
Per contrarium ero, quotiescumque recta BZ angulum constituit cum Bl, tunc nou. solum in B, sed in alio quoque puncto ea secabit ellipsi in . Nam . ratione ejus anguli,est finiatae magnitudinis, tam portio AG , quam portio IQ: proindeque recta altera Ax per ipsum verticem B duci non poterit. Huic autem consequens est, quod si in plano deseriptae ellipsis detur positione recta aliqua , quae non sit parallela diametri ordinatis , semper ex vertice B duci possit recta alia, quae ei parallela , ellipsim secet in alio puncto;quum non aliter esse queat illi parallela. nisi angulum constituat cum BI. X. X. Caeterum haud quidem putandum est, ellipsim in' plano per Alas rectarum longi tuis su n im . dines dumtaxat exposita ratione posse describi. vix enim ulla est ejus proprietaS , ex qua peculiaras eam describendi modus nobis non Fio. 16. scibim scitur. Quin saepe ex eadem proprietate possunt etiam plures derivari. Ita, si angulus BAD, quem constituit diameter AB cum parametro A D, merit rectus ; atque adeo diameter AB maior para meis metro A Di ope ejusdem illius Proprietatis quae ellipsi competit relate ad diametrum, po-eeeit etiam quaesita ellipsis describi in hunc
Extendatur diameter BA usque ad H. ita ut AH sit ad BH , veluti est AD ad AB. Deinde , erecta super B H perpendiculari H L.
124쪽
ELEMENTA. : l Iar: revolvatur, tum circa verticem A angulus rectus X A Y , cum circa verticem alterum B reis ' in B T. Fiat porro utriusque revolutio ea lege, ut intersectio rectae BZ cum latere anguli Ar contingat semper super recta HL . Et intersectio ejusdem rectae BZ cum latere altero . . AX optatam ellipsim in plano delineabit. XI. Nec sane dissicile erit, huius rei te- xl. ritatem os eadem . Ex aliquo enim intersecti nis puncto M ducatur ad diametrum ordinaista MNr quae, quum sit ei perpendicularis, pa- D, T rallela erit ipsi HL:& consequenter duo triam. gula BNM . BHL aequiangula erunt. io ivo Et quoniam rectus est uterque angui . rum BAD, XAT ; iidem erunt aequales inter se: proindeque ablato communi angulo DAVerit etiam angulus B AX aequalis angulo DAY . sive ALH r & propterea duo tria gula MNA, AHLetiam aequiangula erunt. Ulterius MN quadratum est ad rectan-gillum AN B in ratione composita ex MN ad
A N , ' ex MN ad N B . Sed MN est ad AN, ut AH ad HL et itemque MN est ad N B , ut
DL ad BH . Quare erit MN quadratum ad rectangulum AN B in ratione composita ex Ariad HL , ct ex HL ad BH. Jam duae istae rationes componunt patiter rationem,quam habet AH ad BH.Unde erit ex aequali, ut MN quadratum ad rectangulum AN B, ita AH ad BH . Sed ex constructione AH est ad BH , ut AD ad AB . Et igiatur erit rursus ex aequali, ut MN quadratum
ad rectangulum AN B, ita AD ad AB. XII. Dic
125쪽
ies SECTIONUM CONICA Ru MXII. Dissimulandum autem hoc loco non
est , quod alter iste et psim describendi modus
omsino recidat in eum , quem primo loco sitim
limat. Si enim per punctum D ducamus reis ctum DB , diametro AB parallelam , cui latus Ax occurrat in F ; facile erit ostendere , poristionem DF aequalem esie portioni AG , quam ab seindit ex AD. produm si opus, recta BZ Quum enim rectus sit uterque angulorum X AT , DAH ; iidem erunt aequales inter se: proindeque,ablato communi angulo DA T, erit quoque angulus DA aequalis angulo HAT i ct propterea duo triangula AHL , ADF aequi angula erunt; Eritque adeo , ut
AH ad HL, ita AD ad DF. Hinc,quum sit RH ad HL in ratione comis posita ex BH ad AH , & ex AH ad HL , habebit quoque Bri ad HL rationem compositis tam ex BH ad AH . S ex AD ad DF . Sed ex constructione BH est ad AH , ut AB ad AD.
Quare erit rursus BH ad HL in ratione comis
polita ex AB ad AD , S ex AD ad DF.
Jam duae istae rationes componunt pariter rationem, quam habet AB ad DF . Unde
erit ex aequali, ut BH ad HL , Ita AB ad DF. Sed BH est ad HL, ut AB ad AG. Itaque erit rursus ex aequali , ut AB ad DF . ita AB ad AGr ad propterea duae portiones DF , AG -- quales erunt inter se.
126쪽
C A P. V. Ratio describendi hyperbolam in plano per rectas solas
I. - Radita ratione describendi elli. g. a psim in plano per solas longitudines , as hverbolam eodem seribendam gradum nunc facimus itaque in plano aliquo , tum magnitudine, cum positione , rectae duae AB , AD , sibi mu v o a' tuo occurrentes in A . Et oportist, in e dem plano describere hyperbolam , cujus AB sit diameter , AD parameter diametri. ct camdem Ara recta illa , cui omnes diametri ordia natae debent esse parallelae . Ducatur per punctum D recta DE , ipsi BA parallela. Tum capiantur aliae duae rectae Ax . BZ , quae revolvantur circa puncta A sae B in ipso plano rectarum AB . AD . Fiae autem earum revolutio hac lege .ut portio DF , abscissa ex DE per priorem AX, fit perpetuo aequalis portioni AG . quam ex param metro AD , producta si opus , abscindit eo dem tempore recta altera BZ . Dico, curvam, quae in eodem plano rectarum AB. AD deisseribitur continuis intersectionibus ipsariim Ax, BZ . hyperbolam, quam quaerimu . esse. Ex aliquo enim ejus curvae puncto Mducatur recta MN , ipsi AD parallela , quae
127쪽
ro SECTIONUM CONICA RuM conveniat cum AB , producta , in puncto N. Jamque erit punctum M in quaesita hyperbola , si utique ostendi possit, MN quadratum esse ad rectangulum AN B, ut eth AD ad AB . Id vero ostendetur in hunc modum . Quadratum ex MN est ad tectangulum AN Bin ratione composita ex MN ad AN , & ex MN ad N B ; sive etiam in ratione composita ex AD ad DF , & ex AG ad AB . Sed , ob aequales DF. AG , duae istae rationes componunt quoque rationem , quam habet AD ad AB . Itaque erit ex aequali, ut MN quadratum ad rectangulum AN B . ita AD ad AB. n. . II. Non ergo dubitari potest, quin mu-er vetuis in te isectionibus rectarum A X,BZ describatur hyperbola , quam quaerimus. Interim,utis r. ' - descriptio ejus melius intelligatur , notandum primo, quod ubi recta AX fertur circularia xiu', ' tet ex versus A Κ, quam ipsi AB in directum esse suppono ; tunc recta altera BZ ferri debeat circulari etiam motu ex BA versus B I. quam parametro BD suppono parallelam . Et quoniam revolutio harum rectarum ea lege fi ri debet , ut portiones DF , AG , abscissae per ipsas ex tectis DE , AD , fuit perpetuo aequam les inter se et perspicuum est, quod tibi recta Ax pervenit ad AΚ . & infinitam adeo portionem abscindit ex DE ; tunc altera BZ super B I reperiatur , quia hae ratione ipsa pariter ex AD infinitam portionem abscindet. Notandum est etiam , quod quotiescumque eadem Ax pergit moveri circulariter ex
AN versus AH . quam ipsi AD in directum esse suppono ; tuac tecta altera BZ prosequi
128쪽
. E L EMA N T A. idydebeat motum suum circularem ex BI versus B R, in quam AB , quum producitur , cadit.
Et quoniam motus carundem rectarum ea
adhuc lege fieri debet, ut portiones DF, AG, quas abscindunt ex ipsis UE , AD , ex altera parte productis , maneant semper aequales inister se : liquet, quod ubi tecta Ax pervenit ad AH,& nullam adeo portionem ab seindit ex DE; tunc altera BZ supet BR reperiatur , quia hac ratione ipsa etiam ex AD nullam
portionem abscindet. III. Atque hinc luce clarius apparet, Dis III. perbolam consare ex duabus partibus , hinc in . de relate ad diametrum positis , quae simili a tuta estis
junguntur in vertice A , eique aliam oppon/ , Tu uia. duabus itidem ex partibus consantem , qua- Fio. II. rum unio contingit in vertice altero B . Ubi enim recta AX fertur circulariter ex AD velissus A Κ , describitur, primo hyperbolae principalis pars illa , quae existit in angulo DAR , tum ea hyperbolae oppositas, quae jacet in angulo LBR. Quotiescumque vero eadem Axpergit moveri ex AR versus AH . primo quidem describitur pars illa hyperbolae oppositae, quae continetur in angulo I BR ; tum ea hv-perbolae principalis , quae in angulo HAΚ reis
Verum quidem est, quod motus rectae A X continuari possit, usque donec integram circumvolutionem absolvat. Sed , continuando subinde eius rectae motum .haud novae Partes utrique h3perbolarum adduntur . Nam Primo, quotiescumque recta AX fertur ex
AH versus AB ; tunc altera BZ prosequetur
129쪽
rio SE ET IONUM CONICA Ruia motum suum ex BR versus B L , in quam RI, quum producitur , cadit. Quare, quum fiant earum rectarum intersectiones, primo quidem in angulo DAR , tum in angulo LBR ; deis scribentur eaedem utriusque hyperbolae poristiones, quae in angulis illis continentur. Et secundo,ubi eadem recta AX fertur ex AR verissus AD; tunc altera BZ pergit moveri ex BL vetius BA . Unde . quum earundem re Etarum intersectiones fiant, primo quidem in angulo I BR , deinde vero in angulo HAR , deleribentur utriusque hyperbolae portiones illae , quae in iisdem angulis existunt. IV. Ex allata autem hyperbolae deseriis ' , ptione perspicuum est, et id quidem continge-T c. re , ut si per aliquod eius punctum M ducantur ex diametri verticibus A , S B rectae dum Fio. i . A X, BZ portiones DF , AG , quas ipsae abscindunt ex rectis DE, AD , productis si
opus, sint semper aequales inter se . Sed, si eaeisdem Ax, BZ protrahantur , usque donec conveniant cum rectis B L, IE, similiter si opus
productis , in punct s o , ct herunt etiam
aequales portiones Bo, i Q. Quum enim aequales sint Inter se . tam
duae AD . BI , quam duae DF , AG ; erit, ut AD ad DF . ita BI ad AG. Sed , ob trianguinta aequi angula ADF , ABO , AD est ad DF. ut est BO ad AB I itemque , ob triangula aequiangula BlQ, B AG , BI est ad AG, ut est Id ad AB . Itaque erit ex aequali , ut Boad AB , ita IQ ad eandem AB r ct propterea
BO, IQ aequales erunt inter se. . Hinc , per intersectionem rectarum A X ,
130쪽
E L E M E N d II BZ describetur quae sita hyperbola, non s luni, quum rectae illae subinde revolvuntur circa puricta A, S B . ut portiones DF . AG quas abscindunt ex rectis DE . AD , produe is si opus . sint perpetuo aequales inter se verum etiam , quum suas circa puncta illa revolutiones subinde perficiunt , ut sint sequales portiones BO, I f quas abscindunt ex rectis B L. IE, similiter si opus productis. v. Et si autem aequales si ut inter se , tam v. portiones DF , AG . quam portiones BO, I : perspicuum est tamen , minui quidemisias , quam eae augentur I O per contrarium
augeri , quum ea minuactur . Sed . tam incrementam . quam decrementum fit semper ea ri Q
Iege, ut rectangulum ex una illatum DF in unam istarum BO exhibeat ubique magnitudinem figurae ipsius diametri AB . Nam . obtriangula aequiangula ADF , ABO. ut est AD ad DF , ita est BO ad AB et proindeque rectangulum ex DF in BD aequale erit rectangulo ex AD in DB, quod ex superius dicitis constituit diametri figuram. Hinc, quotiescumque aequales fiunt inter se omnes quatuor portiones DF, AG , BO,IQ , necesse est, ut unaquaeque ipsarum meis dia evadat proportionalis inter diametrum AB . & ejus parametrum AD . atque adeo, ut cujusque quadratum aequale fiat rectangulo BAD. Id vero contingit, quum rectae duae Ax . BZ parallelae fiunt inter se ; ct consequenter, ubi earum intersectio in infinitum abite supponitur.