장음표시 사용
141쪽
m SECTIO NuM CONICARUM occurrat in F rectae Ax exhibebit tecta ista SF quasi tam parametri longitudinem. v. v. Secundo definiri potes punctum . ina, quo recta Ax . ducta ex vertice A , secat patest strum' ' rabolam . Nimirum , si ducatur recta GZ, dia--T. et metro AB parallela , quae abscindat ex AD, . - si producta si opus . portionem AG , aequalem ipsi DF . Nam iniet sectio tectatuni AX , GTFio. 2 o. quaesitum punctum exhibebit. Hinc , siquidem recta Ax cadat super AD , quae ducta est per verticem A diametri
ordinatis aequi distanter I continget ea parabolam in solo puncto A . Nam in isto casa portio DF evanescit. Quare . ut etiam evanescat portio AG , ducenda erit recta altera GTper ipsum verticem A.
Per contrarium vero, quotieseumque recta AX angulum constituit cum AD , tunc non solum in A , sed in alio quoque puncto parabolam secabit. Nani , ratione ejus anguli est finitae magnitudinis portio DF : proindeque recta altera GZ per ipsum verticem Atransire non poterit.
Huic autem consequens est , qud si in plano descriptae parabolae detur positione recta aliqua . quae non sit parallela diametti ordinatis , lam per ex vertice A duci possit tecta alia , quae ei parallela parabolam secet in alio puncto , quum non aliter esse queat illi parablela, nisi angulum constituat cum A D. vi. VI. Denique determinari potest punctam, in quo recta GE , ducta aequid istanter diame eritro' parabolam secat. Nimirum , si ex ve sice A ducatur recta AX , quae abscindat ex
142쪽
ELEMENTA. IE DE. producta si opus, portionem DF , aequavi matro parar-lem ipsi AG . Nam intersectio rectarum CZ, et TAX quaesitum punctum exhibebitis Fici. sto. Quemadmodum autein, finita existente portione DF , vel AG , rectae duae CZ , A X semper sese mutuo secant ; ita omnis recta, quae ducitur diametro AB parallela , ad finiis tam ab ea distantiam, omnino necesse est , ut par bolam secet, Et, scuti intersectio rect cum GT, A X contingit in unico puncto 3 se eadem parallela in unaeo quoque puncto para-holam secabieis Hinc veto consequitur, crura duo , quae parabolam constituunt, quo magis a diametri vertice recedunt, eo majorem ab ipsa diametro distantiam sortiti. Unde etiam essicitur , ut parabola sit curva is quae expanditur in infiniatum , ct quae nec ex se tala. nec cum sua di metro spatium comprehendit. VII. Caeterum haud quidem putandum vn. est , parabolam in plano per solas rectarum Angliadixes dumtaxat exposita ratione posse A-- --
deserti. Vix enim ulla est ejus proprietas,ex cet et
qua peculiaris eam describendi modus nobis istieris p. v Mon subnuscitur. Quin saepe ex eadem pro- γ iprietate possunt etiam plures derivariis Ita , si angulus BAD, quem constituit diameter AB cum parametro AD , fuerit reis eius , ope ejusdem illius proprietatis, quae parabolae competit relate ad diametrum, poterit etiam quaesita Parabola descrihi in hunc alium
Extendatur diameter BA usque ad H, ita,ut AH sit aequalia parametro A D. Deinde,
143쪽
ri SECTIO NuM CONICARUM electa super Bri perpendiculari HL , revolvactur circa verticem A angulus rectus XAT :eodemque tempore feratur super AD tecta GT, ipsi AB aequi distanter. Fiat porro utriusque motus ea insuperlege , ut intersectio rectae G Z cum latere anguli AY contingat semper super recta H L. Et intersectio eiusdem rectae GZ cum latero altero AX optatam parabolam in plano deli-neabit .
III. Nec sane dissicile erit, har ut rei ve-Mo au'i' ritatem ostendere. EN aliquo enim intersectionis puncto M ducatur ad diametrum ordinata fer M pq mx-quae, quum sit ei perpendicularis; rectus Fici a T. erit angulus AN M 3 & consequenter aequalis angulo AHL , qui ex constructione similiter est rectus. Et quoniam rectus est uterque angui rum D AH, XAY ; iidem erunt aequales interser proindeque,ablato communi angulo DAT, supererit angulus HAY aequalis etiam angulo
DAX : ct propterea , quum angulus DAX aequalis sit angulo AMN ; erit eidem angulo AMN aequalis pariter angulus HAT. Hinc duo triangula AH L, MNA aequiangula erunt; eritque adeo, ut AH ad HL,
ita MN ad AN . Sed AH est ad HL , ut AD
ad MN; quum sint aequales, tam duae AH, AD , quam duae HL, MN . Itaque erit ex mquali, ut AD ad MN, ita MN ad AN & propterea MN quadratum rectangulo DAN aequale erit.
ix. IX. Dissimulandum autem hoc loco non
, quod alter iste parabolam describendi mo-
144쪽
ELEMENTA. Medus omnino recidat in eum , quem primo loco via MMD-
attulimus . si enim per punctum D ducamus tectam DE, diametro AB parallelam , cui lata preMae Astus Ax occurrat in F ; facile erit ostendere . portionem DF aequalem esse portioni AG, quam abscindit ex AD , producta si opus , te- rio *i cta GT. Quum enim rectus sit uterque angulorum XAT, D AH, iidem erunt aequales inter se: pioindeque,ablato communi angulo DAT. erit quoque angulud DAX aequalis angulo HAT : ct propterea duo triangula AH L . ADF aequiangula erunt; eritque adeo,ut AH
adHL, ita AD ad DF. Et quoniam aequales sunt inter se . tam duae AH, AD, quam duae HL, AG; erit quoque , ut AH ad HL , ita AD ad AG . Unde erit ex aequali, ut AD ad DF, ita AD ad AGrproindeque portiones duae DF , AG aequales
X. Caeterum allatae parabolam describendi rationes fugi ilia eadem , quibus, tum elli- ipsis , cum Operbola descriptionem superius obtinuimus. Quod enim hic recta GZ rectilineo motu feratur super AD, id exinde oritur, quod longitudo ipsus AB sit infinita. Nam
profecto motus circularis in rectilineum veristitur , quotiescumque centrum ejus motus in infinitum abire supponitur. Notatu autem hic dignum existimo, quod altera parabolam describendi ratio , non secus ac prima, obtineat etiam, quum angulus
BAD nequaquam est rectus. Si enim rectam HL subinde inclinemus super Bri, ut angialus
145쪽
Ius AHL aequalis sit angulo DAH ipiumque
angulum XA T , qui revolvitur circa verticem A. assumamus aequalem pariter angulo DAH: adhuc expolita ratione parabola describetur. Ducatur similiter ex aliquo intersectionis puncto M ad diametrum AB ordinata MN. Et quoniam ordinata ista est ipsi AD parallela , erit angulus MNA aequalis angulo DAH . Sed ex constructione angulus D AH aequalis est angulo AH L . Quare erit etiam angulus MNA aequalis angulo AH L. Rursus , quia positi sunt aequales anguli XA Y , DAH i dempto ex iis communi anguisio DAT , supererit angulus DAX aequalis etiam angulo HAT . Sed , ob parallelas AD, MN , angulus DAX aequalis est angulo AMN . Quare eidem angulo AMN erit pariter aequalis angulus HAY.Hinc duo triangula AHL , MNA aequiangula erunt; eritque adeo , ut AH . seu
AD ad HL, ita MN ad AN . Sed, ob aequales angulos D AH , AHL , recta HL est aequalisipli AG, sive MN. Itaque erit quoque, ut AD ad MN, Ita MN ad AN:& propterea MN
quadratum aequale erit rectangulo DAN . Nec silentio praeteribimus , quod altera isthaec parabolam describendi ratio , etiam quum ad suam universalitatem evehitur , reeidat in eam , quae primo loco allata est . Nam
ducta per punctum D recta DE , ipsi AB parallela, cum qua latus A X conveniat in F; adhuc portio DF aequalis fiet portioni AG. LI
146쪽
De Conicarum Sectionum Diametris aliis.
Conicae sectiones , praeter eam diametrum squam in ipso cono sortiuntur,aliis etiam infinitis sunt praeditae, ad quas quum referuntur , iisdem proprietatibus gaudent. De aliis
hisce diametris conicarum sectionum agendum nobis erit hoc libror quas tamen meth do plane nova . nec adhuc ab ullo tentata inis dependenter a tangentibus harum curvarum definire conabimur.
C A P. I. Ellipsis omnes aliae diametriis iuntur.
I. Uemadmodum in circulo quaelim t. bet diameter transit per centrum teius I sic etiam in ellipsi , cujus species quaedam est circulus , diametri omnes transeunt per punctum illud , quod ellipsis centrum a P Fio. 2 3. pellatura Est autem hoc punctum id , quod bifariam disidit diametrum priecipalem, sive quae ex cono deducitur . Ut si AB sit diameter , quam ellipsis AMB lortitur in ipso cono . ea
147쪽
ix SECTIONUM CONICA Ru Mdemque secetur bifariam in puncto C; vocabitur punctum istud C centrum ipsius ellipsis. Sortitum est vero tale nomen istiusmodi punctiim ; quia omnii recta per ipsum ducta,er utrinque ad ellipsim terminata bifariam in eo dividitur. Ducatur enim per punctum Crecta quaevis EF , quae utrinque occurrat ellipsi in punctis E , & F . Dico , rectam istam EF secari hi fariam in puncto C.
Demittantur namque ex punctis E, A Fordinatae ad diametrum EG, FH. Quumque eae inter se sint parallelaesaequiangula erunt trianis
gula C EG, CFH ; proindeque erit , ut CG quadratum ad CH quadratum , ita EG quadratum ad FH quadratum . Sed , propter elliis psim . EG quadratum est ad FH quadratum, ut rectangulum AGB ad rectangulum AH B. Quare erit ex aequali, ut CG quadratum ad CH quadratum , ita rectangulum AGB ad tectangulum AH B.
Hinc, addendo antecedentes consequentibus , erit etiam , ut CG quadratum ad CH quadratum, ita CA quadratum ad CB quadratum; ct consequenter latera horum quadratorum CG , CH , CA, CB pariter proportionalia erunt. Sed, ob eadem triangula aequiangula C EG, CFH , CG est ad CH, ut CE ad CF. Itaque erit ex aequali, ut CA ad CB , ita CEad CF. S propterea, sicuti duae CA, CB inter si sunt aequales se & duae CE , CF similiter
inter se aequaleS er Unt. i. II. Ut autem pateat, quod sit diameternen ipsis recta quaelibet, ducta per centrum . &-la pro A, utrinque ad eam terminata , ostendendum ess
148쪽
prius sequens theorema. Nimirum, quod si EF sit aliqua istarum rectarum , eaque bisecet ino subtensam AM , pertinentem ad verticem
A, & demissa ad diametrum AB ordinata EG, huic per punctum O parallela ducatur OL; si semper, ut CL ad CG, ita CG ad CA. Nec sane dissicile erit theorema istud ostendere . Nam , sicuti AM dupla est ipsiusAO ; ita , ducta ad diametrum AB ordinata alia MN , erit AN dupla quoque ipsius A L. Unde , quum sit etiam diameter AB dupla ipsius AC , erit reliqua N B dupla pariter reliquae LC: & propterea rectangulum AN B erit quadruplum rectanguli ALC . Et quoniam MN dupla est etiam ipsius, OL et ut it MN quadratum quadruplum quam
drati, quod fit ex OL . Quare erit, ut MN quadratum ad rectangulum AN B., ita OL quadratum ad rectangulum ALC . Sed , prodipter ellipsim, MN quadratum est ad rectangulum AN B , ut EG quadratum ad rectangulum AGB . Itaque erit ex aequali , ut OL quadratum ad rectangulum ALC . ita EG quadratum ad rectangulum AGB ; S consequenter Permutando erit quoque , ut OL quadratum ad EG quadratum , ita rectangulum ALC ad rectangulum AGB. Hinc , quum , ob triangula aequiangula
dratum, ut CL quadratum ad CG quadratum; erit rursus ex aequali, ut CL quadratum ad CG quadratum . ita rectangulum ALC ad rectangulum AGB : & propterea, addendo
antecedentes consequentibus , erit etiam , ut
149쪽
sto SECTIO NuM CONECARUM CL citi adlatum ad CG quadratum , ita rectariis
Dum ACL ad AC quadratum , hoc est . ita CL ad AC i proindeque tres rectae CL , CG ,
CA continue proportionaleS erunt.
Iu . III. Inde veso sequitur primo , quod sit eme punctis A,&E ducantur rectae AR, EI. ipsis . par EG . AM paralleta , quarum Prior AΚ conveniat cum EF ia puncto R, & altera Et cum x *''i', in pulicto I ; triangulum EGl sit aequalompetio AGER. Est enim ex ostensis , ut CL ad CG . ita
CG ad CA. Sed CL est ad CG, ut Co ad CEt
sive etiam, ut CA ad CL Quare erit ex aequali, ut CG ad C A , ita CA ad Ct: ct propterea, quum tres rectae CG , CA . Cl sint continue Proportionales; erit quoque, ut CG ad Ct, ita CG quadratum ad O quaiuratum. Jam , propter commvuem altitud nemitiangulorum CEG , CLI, CG est ad C I, ut est triangulum CEG ad triangulum CEI itemque, ob similia triaugula CEG, CRA,CG quadratum ost ad CA quadratum , uo triangulum CEG an itiangulum CXA . Quare erit rursus ex aequali, ut triangulum C EG ad Miangulum C Ei, ita idem triangulum CEGad triangulum CXA . Hinc triangula duo CEI, CRA aequalia erunι inter se et & propterea , dempto ex iis communi triangulo CEG, si1 pererit triangulum EGI aequale trapetio AGEΚ . Et si au&ratur adhuc commune trapetium AGEX ; reis manebit quoque triangulum XA I aequale etiangula XEΚ.
IV. Iisdem Positis, Aquitar fecundo, quod
150쪽
triangulum AOΚ sit aequale trapetio EO AI. v. Est enim ex ostensill , ut CL ad CG, ita . quet'
Quare erit ex aequali, ut CO ad CE , ita CE ad CR : ct propterea, quum tres rectae Co, CE , CΚ sint continue proportionales 3 eri quoque , ut Co ad CR , ita Co quadratum ad CE quadratum. Jam , propter communem altitudinem
ne est triangulum C AO ad triangulum QAΚιitemque, ob similia triangula CAO, CIE, Coquadratum est ad C E quadratum, ut trianguintum C AO ad triangulum CIE . Quare erit rursus ex aequali , ut triangulum C Ao ad triangulum CAR , ita idem triangulum CAO ad triangulum CIE. Hinc triangula duo CA Κ , CIE aequalia
erunt inter se: proindeque,dempto Ex iis comis muni triangulo CA O, sit pererit triangulum AOR aequale trapetio EOAI .. Id vero erui quoque potet ex aequalitate triangulorum X AI, XER superius ollens a . Nam, addito iis communi trapetio AOEx . fiet reapetium
EOA I aequale triangulo AOR. v. Capiatur porro in ollipsi Punctum e s. quodvis aliud P , ex quo ducantur a d diameis p -- ' trum AB duae aliae rectae PS , PQ, ipsis EI. ν' EG parallelae . Et Deile erit ostendere . quod ' *δ'eriangulum P sit etiam aequale eo elemon '' denti trapetio A RΚ. um enim similia sinue trianeula CAR. Eri erit, ut CA quadratum ad CG quadrais