장음표시 사용
151쪽
rga SECTIO NuM CONICARUM tum , ita triangulum CAΚ ad triangulum CGE . Quare convertendo erit etiam , ut CA quadratum ad rectangulum AGB . ita trianis gulum C AΚ ad trapetium AGER. Eadem ratione , quum similia sint trianis
gula CAΚ , CQR ; erit, ut CA quadratum ad CQ quadratum, ita triangulum CAR ad
triangulum mR . Unde convertendo erit quoque, ut CA quadratum ad rectangulum AQB . ita triangulum CAΚ ad trapetium
Hinc autem , per aequalitatem ration sordinatam, erit pariter , ut rectangulum AGBad rectangulum AQB . ita trapetium AGER ad trapetium AQRΚ : adeoque, quia, propter ellipsim , rectangulum AGB est ad rectanguis tum A B , ut EG quadratum ad PQ quadratum , erit ex aequali, ut EG quadratum ad P quadratum , ita trapetium AGEΚ ad trapetium AMRΚ. Et quoniam ex constructione parallelae sunt inter se , tam duae EG . PQ, quam duae EI , PS i triangula duo EGI. PQS similia erunt. Unde, quum sit, ut EG quadratum ad PQ. quadratum , ita triangulum EGI ad triangulum PQS.; erit rursus ex aequali , ut triangulum EGI ad triangulum P .. ita trapetium AGER ad trapetium A QRΚ: & propterea quemadmodum triangulum EGI ostensum est aequale trapetio AGER ; ita quoque erit triangulum PQS aequale trapetio A RΚ. I. Denique , si recta PS, ipsi Et paral-
pii in tela , conveniat cum recta EF in puncto V. cauo negotia ostendemus quoque, quod trian
152쪽
gulum P UR sit aequale correspondenti trape.tio EvSI. Ponamus etenim primo . quod punctum Fio. a g. S sit supta verticem A . A quod punctum P existhi inter A, & E . Quia vigitur triangulum EGI ostensum est aequale trapetio AGEΚ . Setriangulum PQS aequale trapetio AdRΚ i si
ex triangulo auferatur triangulum, ex trape ito trapetium , ex utroque autem commune
trapetium PQGZ ; supererit trapetium EZSI aequale trapetio PZER et proindeque , addito communi triangulo EZU , fiet trapetio EvSI aequale triangulum P UR. Ponamus secundo, quod punctum S sit quidem supra verticem A , sed quod punctum P sit ad alteram partem puncti E relate ad eundem verticem A . Et rursus , quia triangulum EGI ostensum est aequale trapetio AGEΚr adisdito communi trapetio EGQR, fiet trapetium EI QR aequale trapetio A RΚ, sive etiam triangulo PQS : ct proinde , dempto communi trapetio USQR, fiet trapetio E VSI rurissus aequale triangulum P UR.
Ponamus denique , quod punctum s si x pio .
infra verticem A . Et quoniam triangulum ' PQS ostensum est aequale trapetio AQRΚt addito,vel dempto communi trapetio VSQR, fiet triangulum P UR aequale trapetio ASvΚ. Sed, propter aequalitatem triangulorum XER. XAI, su peritis ostensam , trapetium ASVΚ est aequale trapetio EvSI. Quare etiam triau gulum P UR aequale erit trapetio EUSI. VII. Priusquam ulterius progrediamur seratatu hic dignum existimo , quod punctum P
153쪽
rga SECTIO NnM CONICA RuM e eea post ,- ita quidem a nobis sumptu in est inbellipsit , ut ordinata PQ , exinde ducta ad diametrum FaG. 2 g. AB, cadat supra centrum ullipsis. Sed fieri et . quoque potust , ut eadem illa ordinata , vel ad centrum dirigatur , vel etiam cadat infra ce
Quotiescumque ordinata PQ dirigitur ad centrum liquido patet, trapetium A QRΚnon differre a triangulo CAR . Sed, ubi eadem
ordinata cadit infra centrum I tunc loco trapetii AQRΚ sumenda est differentia triangulorum C AR , CQR , quam in omni casu trapetium illud ad aequat. Similitet idem planetum P subinde quidem a no his sumptum est in ellipsi, ut recta PS , exinde ducta aequi distanter ipsi EI, conveniat cum EF supra cunt rum ellipsis Sud fieri quoque potest , ut eadem recta PS conis veniat cum EF , vel in ipso centro , vel etiam
Quotieseumque recta PS occurrit alteri EF in ipso centro ; manifestum est, trapetium EVSI non differte a triangulo CEI . Sed , ubi occursus fit infra centrum lianc loco trapetii EUSI sumenda est differentia triangulorum C EI , CVS , quam in omni casu trapetium illud adaequat.vm. v ΗL His praemissis, facile modo erit ostendere, quod sit diameter ellipsis recta quaelibet,
recta. --t in deseia per centrum , O utrinque ad eam termi-
fle aiata. renata, Ut unim tali S elle potu t, duo quidem p requiruntur. Primum , ut bisecet rectas omisis *3' nes , alicui aequid istanter ductas, S utrinque*q' terminatas ad vilipsim . Deinde , ut quadrata
154쪽
ELEMENTA. s et ex semissibus istarum recta ruin sint, ut recta a gula . quae sub correspondentibus ipsius pota
Jam hurum utrumque facili negotio deis monstrahitur . Quantiam enim ad primum , sit EF rei quaevis ducta per centrum C . eaque hi sedet in o subtensam AM , pertinentem adverticem A diametri principalis . Dieci . canisdem EF secare quoque bifariam in V . quamvis aliam rectam Pue , quae ipsi AM parallela, uteinque ad ellipsim terminatur. Positis enim omnibus . ut supra I erit uiserumque triangulorum Pu R. PvR aequale trapetio E USI. Quare aequalia erunt inter se ipsa duo triangula PUR, PUR. Sed eadem triangula, velut similia . sunt ut quadrata laterum homologorum Pu . PU. Itaque lateis re is haec homologa Pu , PU erunt pariter aequalia i S consequentet totae PP bifariam secta erit in U. IX. Quantum vero ad secundum , clecetiam magost mentit acumine opus est . ad ictis ostendeadum . Maneant enim omnia , adhuc ut mutar' supra. Et dico insuper, quadrata ipsarum Ao. Pu esse inter se , ut rectangula corresponden- F' .a
Quum enim similia sint triangula CEI. COA et erit . ut CE quadratum ad Co quadratum , ita triangulum CEI ad triangulum COA . Quare convertendo erit etiam, ut CEquadratum ad rectangulum EOF, ita tria gulum CEI ad trapeti uni EOAI. Eadem ratione, quum similia sint trianis
aula CEI, Cucta erit, ut CE quadratum ad
155쪽
Fici. stiva or 6 SEETIONUM CONICA Ru MCV quadratum, ita triangulum CEI ad trianis gulum CVS. Unde convertendo erit quoque, ut CE quadratum ad rectangulum EvF , ita triangulum CEI ad trapetium EvSI.
Hinc autem, per aequalitatem rationis ordinatam , erit pariter , ut rectangulum EO Fad rectangulum EvF , ita trapetium EO AIad trapetium EvSI: adeoque , quia trapetiat sta ostensa sunt aequalia triangulis AOR , PVR ; erit ex aequali, ut triangulum AOΚad triangulum P R , ita rectangulum EO Fad tectangulum EvF., Quoniam vero ex constructione paralle Iae sunt inter se, tam duae AX PR, quam duae
AO, Pu 3 triangula duo AOΚ , PVR similia
erunt. Quare , quum sit, ut AD quadratum ad PU quadratum , ita triangulum AOΚ ad triangulum P VR , erit rursus ex aequali, ut AO quadratum ad P v quadratum , ita re elangui uni EOF ad rectangulum EvF. X. Non ergo dubitari potest, quin recta EF . ducta per centrum C, ct utrinque ad elliis
sim terminata, sit ejus diameter . Nam & hi fatariam dividit rectas omnes, quae subtenta AMaequid istantes , utrinque ad curvam terminanis tur . Et quadrata ex semissibus istarum recta. rum servant inter se eandem rationem , quam habent ree angula , sub correspondentihut ipsius EF portionibus contenta. Sed facile erit etiam ostendere , quod prater eas, quae triunseunt per centrum elumis, nulla alia re a linea possit esse diameter ejus. Ut enim recta aliqua esse queat diameter elliis
psis, illud primo requiritur . ut bifariam se-
156쪽
ELEMENTA.eet rectas omnes , alicui aequi distanter ductas ct ut linque ad ellipsim terminatas . Unde , si ostendi possit, accidens istud iis tantummodo rectis competere . quae transeunt per centrum ellipsis ; iam veritas ejus , de quo agitur , liquido constabit. Id vero ostendetur in hunc modum . Sit TY tecta positione data , cui debent esse parallela: eae omnes, quae bifariam a diametro dividuntur. Jamque, si ea parallela est ordinatis diametri principalis AB s secabit diameter ista AB bifatiam rectas omnes, quae ipsi TY aequid istantes , utrinque ad ellipsim termi
Quod si autem tecta TY non sit peralleis lis ordinatis diametri principalis AB ; per ea, quae superius ostensa sunt, semper ex vertice hujus A duci potetit recta alia AM , quae illi parallela, ellipsim secet in alio puncto . At rectas omnes ipsi AM aequi distanter ductas , ct
utrinque ad ellipsim terminatas , ut modo vi dimus, non alia bisecat recta , quam quae transit per centrum C , & bifariam dividit subtensam ipsam A M. XI. Caeterum circa diametros ellipsis iI. lud notare sedulo oportet , quod si aliqua exta qheae a natuerit diameter, ordinatir alterias parallela , a sicissim illitis ordinatis aequidis avs esse orat nam debeat. Sit enim AB ellipsis diameter aliqua, eiusque ordinatis parallela sit diameter alia /φ 'flEF . Dico, vicissim diametrum AB parallelhm 'esse oldinatis ipsius EF. Fio .a s. Ducatur siquidem recta VP. ipsi AB M-xallela, quae utrinque ad ellipsim terminata
157쪽
Ga SECTIO NuM CONI eARuM conveniat cum EF in v. Jamque.actis ad eanisdem AB oldinatis MN .PQ, erunt istae misquales inter se , velut parallelogrammi M atera opposita; & consequeuter erunt etiam aequalia rectangula AN B, AQB , quae illarum quadratis proportione correspondent. Hinc . detractis tecta ligulis istis ex aetaqualibus quadratis CA . CBE; aequalia erunt pariter reliqua quadrata CN , CQ s atque adeo aequalia quoque ipsa horum quadratorum latera CN , C . Sed, propter parallelois eramma CM , CP . duae CN , C sunt aequales duabus MU , PU . Itaque Mu , Pu etiam inter se aequales erunt : & proptera tota PM hi secta erit in v. XI. Secat igitur EF bifariam rectas omisnes , quae ipsi AB aequi distantes , utrinque astellipsim terminantur . Unde , at veritas claris a Ma- - de quo agitur, omnimode corestet, ostendendum' quoque . quadrata ex semissibus ist Fici. a s. rum rectarum esse , ut rectangula . quae sub
correspondentibus portionibus ipsius EF continentur a hoc est . AC quadratum esse ad Mu quadratum , ut est rectangulum ECF ad rectangulum EvF. Id autem ostendetur hae ratione . - - niam EC. MN sunt ordinatae diametri AB .etit EC quadratum ad MN . seu CU quadratum , ut est retangulum ACB . seu AC quadratum ad rectangulum AN B . Itaque conis vertendo erit etiam . ut EC quadratum , seu rectangulum ECF ad tectangulum EvF . ita AC quadratum ad CN . seu MU quadratum. Nulli ergo dubium esse potest, quod si aliis
158쪽
x L E M E N T A, et gyaliqua ellipsis diameter parallela sit ordinatis alterius diametris ista per contrarium aequid iis satis esse debeat ordinatis illius . Binae autem Istae diametri, quarum altera alterius ordinatis aequi distat. saepius deinceps sub contem. plationem venient. Et ut commodius distilia gui possint, vel amba3 simul coniueatas, vel alteram alterius cotiugatam appellabimus.
Diametrorum eli sis communia quadam Ostenduntur.
I. v T id imus praecedenti capite . elli- r. v psim . praeter eam diametrum o quam in ipso cono sertitur. alias etiam innuis meras habete , quarum quaelibet transit percentium ipsius ellipsis . Sed communia harum era-Hometrorum, operae pretium est . ut paulo di- 2'. ' stinctius prosequamur . Quem ui finem elisis Fio. 26.
piis AMB sit AB diameter principalis, cenis erum puninim D , & EF alia quaevis diameter. Primo igitur , quemadmodum diameter principalis AB suas habet ordinatas i ita fuisquSque refertur ordinatis diameter alia EF. Sunt autem ex ostensa ordinatae istae rectae illae omnes, quae ducuntur aequid istanter sub
tenta AM . quam ab ipsa EF suppono biseis diam in puncto O.
Deinde . quemadmodum quadrata ordiis
Ratarum diametri principalis AB sunt inter
159쪽
I o SECTIONUM CONICA Ru Mse, ut rectangula . sub correspondentibus ejus portionibus contenta.ita & quadrata ordinatarum alterius diametri EF sunt proportionalia rectangulis , quae continentur sub porti nibus correspondentibus ipsius EF. Unde porro , si per verticem E ducatur recta Eld ordinatis aequidistanter , quae sit talis longitudinis , ut quadratum unius ordin
tae Ao sit ad tectangulum EoF , veluti est
Eld ad EF ; erit in hac eadem pariter ration quadratum cujuslibet alterius ordinatae P
ad reetangulum EvF. Et quemadmodum rectam istam EH appellare licebit parametrum diametri EF ; ita si jungatur FH , cum qua conveniat in X ordiis nata quaevis P v ; erit P U quadratum aequato
rectangulo EUX , & consequentet minus re-etangulo , quod fit ex parametro EH in abisscissam correspondentem EU-Quin & defectus ipsius PU quadrati a
rectangulo HEU erit similiter rectangulum aliud , quod habens pro sua latitudine eandem abscissam EU , est simile , similiterque positum et , quod fit ex parametro EH in ipsam diametrum EF . est..., HRc quum ita sint, perspicuum est. - omnes illas proprietarer, qua ellipsi competant et ret 2 relate ad diametrum principalem , obtinere
fm etiam , quum ad aliam quamvis diametrum e
, -- simi apsa refertar.FIG. 26. Hinc ulterius , sicuti delati bitur ellipsa in plano, per solas rectatum longitudines, data magnitudine . Sc positione , tam diametria
Principali AB, quam parametto ejus AD; sic
160쪽
etiam describi poterit eadem ellipsis , ubi magnitudine , & positione datur , tum alia quaevis diameter EF , cum illius parameter EH. Et si euti recta AD , ducta per verticem A ipsius diametri principalis AB , aequi distanter suis ordinatis , contingit ellipsim in solo puncto A i ita etiam recta EH, ducta per ver- .licem E alterius cujuslibet diametri EF , simi- ' iter ordinatis suis aequi distanter, dumtaxat in puncto E tanget ellipsim . . Quin imo , sicuti omnis alia recta , quae ducta ex eodem vertice A,angulum constituit eum AD , non solum in A , sed in alio quoque puncto secat ellipsim; sic paritet quaelibet
alia recta , quae ducta ex eodem vertice E angulum continet cum EH , non modo in E. verum etiam in puncto alio occurret eidem
ellipsi. Unde etiam, si in plano ipsius ellipsis deis' tur positione recta aliqua , quae non sit parallela ordinatis cujuslibet alterius diametri EF, semper ex vertice Educi poterit recta alia,quae
ei parallela, ellipsim laeet in alio puncto;quum non aliter esse queat illi parallela, nisi angulum
III. Sed his ita se habentibus, liquet quo- iiDque,quod sicuti ex diametro principali transire coit ad alias diametros ; sic vicissim ex quoli- 'hei alia diametro , tum ad ipsam principalim, iis .is,
eum ad alias omnes progredi licebit. uM Nam semper ac eaedem sunt diametro ue id cum omnium proprietates , theorema illud fundamentale , quod praecedenti capite ostensum est relate ad diametrum Principalem, pomterit