장음표시 사용
161쪽
. I s SECTIONUM CONICA Ru Mierit eadem omnino ratione demonstrari de quavis alio diametro EF.
itaque, si per rentrum ellipsis C dueatur. Ae-i-rma alima , citiae in C subtensam PE, pertinentem ad verticem E 3 ct demista ad Sametrum EF ordinata Pu , huic per pun
Unde , quum omnes alae aequalitates triangulorum , trapetiorumque , quas supe-- prolaetiti sumus relate ad diame
dij cmmi principalem, obtineant quoque respectu in ipsius diametri EF ; facile erit ostendere , r Etam illam AB esse diametrum quoque ipsius ellipsis. Inde enim contaime , ipsem AB stea rohssariam rectas omnes, aequidistanter ductas subtensae PE , is utrinque terminatas ad ellipsim itemque quadrata ex, semissibus istarum rectarum proportionalia esse rectangulis, quae' sub correspondentibus portionibus ipsius AB
iv. IV. Habent igitur omnes aliae ellipsis dia-aiis di et metri easdem omnino proprietates cum diami prop=ιν metro principali , ct ex qualibet earum , tun et , ad ipsem principalem , cum ad alias omnes aure rectis. progredi licet. Sed ellipseos diametri, praeter hactenur recensitar proprietates , plures aliarcommvns habent, quas non abs re erit hio breviter ostensas exhibere.
Ac principio quidem illud nobis est
ostendendum , quod quaelibet diameter elliis psit more alias remi, utrinque ad curvam ter minatas,dividat Hfarim, qum qxa, vel trum
162쪽
ELEMENTA. 2 δ 'unt per centrum, vel ordiuatim ad ipsam dia.
Sit enim AB ellipsis AMB diameter Fio .a .
quaevis , sit que etiam AD recta ilia, cui omnes ejus diametri ordinatae limi parallelae. Ducatur in via ipsi recta P P. quae utrinque ad
eurvam terminata , nec transeat per centrum
et, nec sit ordinatim applicata diametro AB. Dico , eam ab ipsa diametro AB non posse s cari bifariam. Si enim fieri potest , sexetur recta PP a diametro AB hintiam in S. Et quoniam ea non est parallela ordinatis ipsius AB i, ex su- petius ostensis duci poterit per verticem Apeeta alia , quae ipsi PP parallela ellipsim secet M alio puncto . Ducatur itaque recta ista , &sit AM . Tum, bisecta ea in puncto o, jungatur Co, quae extendatur usque donec occursati ellipsis in punctis E . & F. Quia igitur recta EF transit per centrum C , & hi secat in o subtensam AM , pertinentem ad verticem A per superius ostensa secabit quoque bifariam in v tectam P P , ipsi AM parallelam . Sed ex hypothesi recta st Placatur bifariam in X. Quare eadem P P hilacta erit, tam ire puncto S , quam in puncto v . Quod fieri non potest.
v. Ex eo autem, quod quaelibet diameter mellipsis eas tantum rectas, utrinque ad curvam terminatas, bifariam dividat, quae vel transis ran eunt per centrum , vel Ordinatim ad ipsam apis aviista, 'is.
Plicantur sequitur per contrarium, ut se aliena ellipsit diameter bisecet rectam aliquam , a transeuntem per centrum , O utrinquo
163쪽
r SpCTIO NuM CONIO ARuM terminatam ad ellipsim , hac me debeat diameis iri illius ordinata. Unde ulterius consequitur , ut si rem aliqua bisecet alias duas aequid antes , Stitrinque ad ellipsim terminatat, ea me debeat diameter ipsius ellipsis, atque adeo transire per centrum . Nam aliter , ducta per punctum bisectionis unius ex rectis aequid istantibus . ¢rum recta alia . haec velut diameter bisecabit quoque rectam aliam aequid istantem . Quod fieri non potest. Id vero quum ita sit, facile erit, cujuslibet datae ellipsis , e centrum . sive diametrum aliquam reperire. Neque enim aliud fieri debet , quam ducere intra datam ellipsim rectas duas aequid istantes, S utrinque ad curvam terminatas . Nam , sicuti recta, quae eas hi fariam dividit, diameter erit ellipsis I si e &Punctum , quod bisecat diametrum istam , eiusdem centrum exhibebit. vl. VI. Speciatim in omni eIlipsi reperire licet diametrum , qua cum fuit ordinatis remi cuis e o. gulos constituat. Inveniatur si quidem ipsius v. - datae ellipsis diameter quaevis EF, sitque Eri 2β' 'recta illa , cui omnes istius diametri ordinatae eam debent esse parallelae . Iamque . si angulus FE HR. ,- fuerit rectus, erit ipsa EF diameter optata .
Quod si secus contieetit, inveniemus diametrum . quam quaerimus, sequenti ratione.
Super diametro EF describatur semicirisculus EPF. qui necessario secabit ellipsi m in ptincto aliquo P . Jungantur deinde rectae PE . PF , quae secentur bifariam in punctis G , & I. Agantur porro per puncta ista
164쪽
ELEMENTA. I Tdiametri XL, AB . Et utraqtie harum diameistrorum eam, quam quaerimus, exhibebit.
Ob rectas enim PE, EF bisectas in punis Eiis G.& C UE est ad GP,ut CE ad CF. a te diameter ΚL ipsi PE parallela erit ; adeoque angulus CGE aequalis erit angulo FPE . Sed,
propter semicirculum , angulus FPE est rectus . Itaque etiam angulus CGE rectus erit;& coniequenter diameter XL cum suis ordiis natis rectos angulos conitituet.
Eadem ratione, ob rectas EF , PF bise elas in punctis C, S I, CE est ad CF . ut Pi ad I F. Itaque diametet AB ipsi PE parallela ei it; atque adeo angulus C IE aequia is erit angulo EPH. Sed, propter circulum, angulux EPE est tectus . Quare rectuS erit quoque angulus CIF : S propterea diameter Ad eum ordinatis tuis rectos angulos continebit. VII. Neque vero dissicile erit ostendere vit. id, quod in constructione assumptum est, nimi-
runt , quod lemicirculus a dei criptus luper oris 3 inndiametro EF, occurrere debeat ellipsi in pun- ' 'eho aliquo P. Quum enim recta EH non sit /--ais, perpendicularis i pli EF , utique semicirculus FIG. 2 ille , necesse est , ut secet , vel ipsam EF , vel eam , quae ducitur per punctum F eidem EHaequi dii anter. Ponamus . semicirculum illum secare rectam Eld . Id itaque fiet, quia recta Eld constituet cum diametro EF angulum acuis tum versus eam partem , in qua semicirculus describitur . Quare recta , quae ducitur per
punctum F , ipsi Eri parallela , essiciet cum eadem EF angulum obtusum: & propterea Tom. I. Κ per-
165쪽
SECTIO NuM CONICARUM perpendicularis , quae ex eodem puncto F erigitur super EF, lecabit ellipsim versus campartem, in qua semicirculus reperitur. Jam semicirculus , deseriptus super diata metro EF , ut ellipsim secare nequeat, nece si oplane est , ut cadat totus, vel intra , vel existra eam . Sed horum utrumque fieri nequit. Non enim primum ; quia sic minime conveniret cum recta EH. quam tamen necessario secare debet. Nec item secundum quia eo Pacto occurreret perpendiculari, ex puncto F erectae super EF, quae tamen tota extra
D. III. In qualibet igitur ellipsi existunt, ., et . r. binae diametri, quae rectos cum suis ordinatist in angulos constituunt . Hujuscemodi diame- tros , quas liquet esse conjugatas, vocabimussim at Me . in posterum axet ipsius ellipsis , eosque non
aliter inter se mutuo aquolei me pose , quam ubi ellipsis ipsa abit in circulum , facile erit
Fio .a . Sint enim AB , XL axes ellipsis AMBDico, ellipsim ipsam circulum fieri, ubi aequales sunt inter se duo illi axes AB, XL. , Ducatur ad axem unum AB ordinata quaevis MN . Et quoniam XC , MN sunt orisclinatae binae ipsius AB ; erit, ut ΚC quadratum ad MN quadratum , ita rectangulum ACB , sive AC quadratum ad rectangulum A N B . Sed, ob axium aequalitatem , Κ C quadratum est aequale AC quadrato. Quare etiam MN quadratum erit aequale rectangulo AN B. Est igitur curva A, B talis naturae , ut demisia ex aliquo ejus puncto M perpendiculari
166쪽
lari MN su per AB , sit semper MN quadra
tum aequale rectangulo AN B , contento sub correspondentibus portionibus ipsius AB. Unde, quum hac sit circuli proprietas essentialis , ipsa curva AMB circulus erit. IX. Quemadmodum axes ellipsis aequales inter se mutuo esse non possunt, nisi , quum ellipsis ipsa abit in circulum ; ita , descriptis super iis, Telut diametrii, circulir duobus, carit totur intra ellipsim , qui describitur super axe minore , O vicissim totos extra eam , qui describitur super axe majore. Sint enim AB . XL axes ellipsis AMB; sique etiam AB axis major ,& XL axis m
nor . Describantur super iis, velut diametris, circuli duo . Dico, eum, qui describitur superAB . cadere totum eAtra ellipsim; per contrarium vero illum , qui describitur super XL,
Sumatur in ellipsi punctum quodvis M,
ex quo ducantur ad axes ordinatae MN , MO, quae conveniant cum circulis, descriptis super
iis, in punctis P , de Q. Ostendendum est igi
tur , PN quidem majorem esse , quam MN ;QO vero minorem , quam MO . Id autem ostendemus in hunc modum. Quoniam XL minor est , quam AB; erit quoque R C quadratum minus rectangulo ACB . Sed, ob ellipsim, R C quadratum est ad MN quadratum, ut rectangulum ACB ad reis ctangulum AN B. Quare etiam MN quadratum minus erit rectangulo AN B i ct propterea , quum, propter circulum, PN quadratum sit aequale rectangulo AN B ; erit PN major, quam MN. Κ a Ea
167쪽
Fici. et Sor 8 SECTIONUM CONICA Ru MEadem ratione , quoniam AB maior est,
quam XL ; erit quoque AC quadratum majus rectansulo XCL . Sed , ob ellipsint , AC quadratum est ad Mo quadratum . Ut rectangulum RCL ad rectangulum XOL . Quare etiam Mo quadratum maius erit rectangulo ROL : Si propterea , quia, Propter circulum, quadratum est aequale rectangulo X OL ierit QO minor, quam MO.X. Jam , tit aliqua dicamur de angulis. quos a ta et ipsis diametri eum ordinatir fuisconsituunt, sit AB axis major ellipsis; & diructa ex vertice ejus A subtensa quavis AM, si EF diametet , quae bisecat in O istam
subtensam , eamque velut matri ordinatam
agnoscit I iungaturque B M. Quia igitur AC est ad CB, ut AD ad OV ; erit B M ipsi EF parallela : proindeque angulus AMB erit aequalis angulo AOC .
quem diameter cum ordinata ad plagam unam constituit . Linde aliae ellipsis diametri cum ordinatis suis saltem ad partem unam noti alios angulos continebunt, quam quos suscipere possunt portiones, in quas dividitur e I. lipsis ab axe majore. Nullum vero horum angulorum rectum esse posse, sed quemlibet obtutum existereuam exinde consequitur , quod circulus , qui deis feribitur super AB, velut diametro , totus cadat extra ellipsim . Eosdem autem majores sumper , atque majores fieri , prout ipsorum vertices magis, atque magis ad axem minois rem accedunt, tandemque maximos evadera
168쪽
Si enim, demissa ad axem majorem Ad ordinata MN, capiatur CQ aequalis CN , mad punctiim Q ducatur ordinata alia PQ, ob aequalia rectangula AN B, AQB , erant etiam aequalia qua diata ordinatatum MN , PQ: proindeque segmentum circuli , transiens per tria puncta A , M , B , transibit quoque per punctum P. Unde, sicuti segmentum istud eo minoris fit latitudinis, quo puncta M, & t ad
axem minorem magis accedunt; fie & ipsi anguli AMB, APB eo majores evadunt, quo minor est suorum verticum ab axe minore distantia h. XI. Sed, ut ad communes diametrorum Proprietates rursus revertamur, illud etiam omnibus accidit, ut ordinatae , qua ad duas quascumque diametros ab alternis earum veritis
cibus ducuntur, dividast ipsas diametros in
Sint enim AB , EF duae quaevis diametri ellipsis AMB. Et ducatur ex vertice E ordiis nata EG ad diametrum AB , & ex vertice Aordinata AO ad diametrum EF . Dico , fore,
Extendatur ordinata una AO usque clois nee occurrat ellipsi ad partem alteram in M; tumque agatur per punctum O recta OL, ip iEG parallela , quae conveniat cum diametro AB in puncto L- . iEt quoniam subtensa AM pertinet adverticem A , eaque dividitur hilariam per rectam EF, transeuntem per centrum C, erit ex
169쪽
reto SECTIO NuM CONICA pure superius ostensis, ut CL ad CG, ita CG ad CA . Unde, quum CL sit ad CG , ut est Coad CE ; erit ex aequali , ut CG ad CA , ita CO ad CR. Quoniam vero invertendo CA est ad CG, iit CE ad Co et erit, per conversionem rationis, ut CA ad AG, ita CE ad EO; & sua
mendo antecedentium dupla , erit etiam , ut
AB ad AG , ita EF ad EO . Unde demum diis videndo erit, ut BG ad AG, ita FO ad EO. esu XII. Huius autem proprietatis ope, facile erit, cuiuscimque ellipseos diametri positio- et nemfuarum ordinatarum demire.
umem, Sit enim AB diameter , cujus ordinataem ui quaeruntur. Ducatur intra ellipsim recta quae-Fio .ap. vis P P , quae non transeat per centrum. Tum,
secta ea bifariam in v , iungatur CV , quae extendatur in A, & F. Agatur porro ex vertice A repa AM , ipsi P P parallela , quae diametro EF occurrat in O . Et siquidem AB subinde secetur in G, ut BG sit ad AG , veluti est FO ad EO ; erit EG ordinata una ipsius AB . Si enim EG non sit ordinata ipsius AB isit ejus ordinata recta EH . Et quoniam ad diametros Ab , EF ex alternis earum vertietis
hus dlictae sunt ordinatae EF , AO ; per proprietatem iam ostensam , erit , ut Bri ad AH, ita FO ad EO. Hinc , quum ex constructione Fo sit ad Eo, ut est vG ad AG ; erit ex aequali, ut BG ad AC, ita BH ad AH : Sc propterea , quum componendo sit, ut AB ad AG , ita AB ad AH ; crunt duae AG , AH aequales inter se .
170쪽
ELEMENTA. Ir1 Quod fieri non potest. XIII. Omnium quoque diametrorum et Iipsis commune est, ut cujusque conjugata diameter sit media proportionalis inter ipsam , , parametrum eius. Ellipsis enim AMB sit AB diameter aliqua ; sitque etiam AD ejus parameter , & ΚLejusdem diameter coniugata. Dic , fore , ut AD ad XL, ita XL ad AB. Quoniam enim XC est ordinata una ipsus AB erit, ut AD ad AB , ita XC quadratum ad rectangulum ACR , sive AC quadratum . Sed , ob rectas AB . ΚL , hi sectas incentro C . R C quadratum est ad AC quadratum , ut RL quadratum ad AB quadratum. Quare etit ex aequali, ut AD ad AB , ita XL quadratum ad AB quadratum: & propterea tres rectae AD , RL, AB continue proportionales eriant.
Hine, siquidem RR sit parameter diametri XL , cum iisdein AD , ΚL , AB erit etiam continue proportionalis X R. Nam, sicuti R Lest coniugata ipsius AB , ita AB coniugata est ipsius ΚL . Unde, quemadmodum RL media est proportionalis inter AD , & AB ; ita erit AB media proportionalis inter XL . & RR: Proindeque quatuor AD,R L, AB, RR continue proportionales erunt.
XIV. Commune itidem est accidens diametrorum omnium , ut reme , ex cujusque verticibus per punctum aliquod ellipsis ductae, abscindant ex qualibet ejus urdinata portionet duas, quae rectangulum continent, aquale qua
diametr m a, parama et in sit m o ia propor egonalia viais meter eoniae sata