Elementa sectionum conicarum conscripta ad usum Faustinae Pignatelli ... auctore Nicolao De Martino ... tom. 1. 2.

171쪽

rra SECTIONUM CONICA Ru MSit enim AB diameter aliqua ellipsisFise Jo' AMB . Et, ductis per punctum quodvis E ipsius et ii piis rectis A X, BZ , conveniant eae cum aliqua ejus diametri ordinata MN in punctis P , S Q. Dico, rectangulum PNQaequale esse quadrato ipsius MN. Ducatur si quidem ex puncto E ad eandem diametrum AB ordinata alia EG; eritqtie EG quadratum ad rectangulum ACB in rati ne composita ex EG ad AG, ct ex EG ad BG; sive etiam in ratione composita ex PN ad

Jam duae istae rationes componunt pariter rationem, quam habet rectangulum P Ne ad rectangulum AN B . Quare erit ex aequali, ut EG quadratum ad rectangulum AGB , ita rectangulum PNQ ad rectangulum AN B. Ob ellipsim autem, EG quadratum est actrectangulum AGB , ut MN quadratum ad rectangulum AN B . Itaque erit riirsuS ex aequat , ut MN quadratum ad rectangulum AN B, ita rectangulum PNQ ad idem rectangulum AN B : ct propterea MN quadratum aequale erit rectangulo PNQ.

C A P. III.

H perbolae omnes aliae diametri determinantur.

, I. Uemadmodum in ellipsi, ita et am in hyperbola omnes aliae diamemtri

172쪽

3ti transeunt per punctum illud , quod hyper- - rvm v bola: centrum appellatur. . Est autem hoc punctum id , quod bifa- - -e Reee

niam dioidit diametrum priucipasim , sive quae F o. di taex cono deducitur . Ut, si AB sit diametet . 'quam hyperbola sortitur in ipso cono, eadem quo secetur bifariam in puncto C ; vocabitur punctum istud C centrum ipsius hy rbolae. Sortitum est vero tale nomen istiusmodIPunctum, quia omnis recta per ipjum ducta, Sutrinque ad bdiperbolas oppositas terminata, b fariam in eo dioiditur. Ducatur enim perpune tum C recta quaevis EF , quae hyperbolis oppositis occurrat in punctis E,& F. Dico, rectam istam EF secari bifariam in puncto C. Demittantur namque ex punctis E, S Fordinatae ad diametrum EG, FH. umque eae inter se sint parallelaesaequiangula erunt trianis

gula CEG, CFH: proindeque erit, ut CG quadratum ad CH quadratum, ita EG quadratum ad FH quadratum . sed, propter hyperbolam. EG quadratum est ad pH quadratum , ut re Etangulum AGB ad rectangulum AH B. Quare erit ex aequali, ut CG quadratum ad CH quadratum , ita rectangulum AGB ad rectan. gulum AH B. Hinc , subtrahendo terminos secundae rationis ex terminis primae, erit etiam, ut CG quadratum ad CH quadratum,ita CA quadra. tum ad CB quadratum; ct consequenter latera horum quadratorum CG, CH,CA,CB paritee Proportionalia erunt. Sed,ob eadem tri gulatequiangula CEG, CFH . CG est ad CH . ueCE ad GF . Itaque erit ex aequali i ut CA ad

173쪽

ir SECTIONUM CONICA Ru MCB, ita CE ad CF r & ptopterea , sicuti duae CA , CB inter se sunt aequales.sie & duae CE , CF similiter inter se aequales erunt. IL II. Vetum quidem est, illud hic a nobist

Aricia a. assumptum esse , ut recla , per centrum ducta,' una hyperbolarum oppositarum occurrit,..is debeat quoque eum altera convenire . Sed faciis Ie erit, tum istud ostendere , tum alia etiam LM ratione probate , quod recta, per centrum dumeta, & ud hyperbolas oppositas terminata , bis

Fio .gi. fariam in ipso centro secetur. Ducatur enim ex centro C ad unam ex

hyperbolis oppositis recta CE . Tum, demissa ad diametrum AB ordinata EG , capiatur Creaequalis CG . Eligatur deinde ad partem conistrariam ordinata alia H F.Ac denique jungatur recta CR. Quia igitur aequales sunt Inter se, tam duae CA, CB, quam duae CG, CH ; erunt pariter aequales duae AG , B H . Unde aequalia itidem erunt inter se , tam rectangula AGBA HB , quam quadrata ordinatarum EG , FH, quae rectangulis iis proportionalia sunt. Hinc , quum duo triangula CGE , CHRhabeant duo latera CG , EG aequalia duobuylateribus CH , FH , alterum alteri, & aequalet

etiam angulos, sub iis lateribus contentoS; omnia alia patiter aequalia habebunt .

Duae igitur CE , CF aequales erunt inter se . Sed eaedem , ob aequales angulos ECG, FCH, jaeent etiam in directum . Quare recta

CL. producta versus centium, conveniet cum

hyperbola opposita in F, totaque EF bifariarni abitur in ipso centro.

III. Ut

174쪽

E L E M E N T A. Ite III. Ut autem pateat , quod sit diameter m.

hyperbolarum oppositarum recta quaelibet,dueta per centrum, S ad eas terminata; ostendeuis mdam est prius sequens theorema. Nimirum squod si EF sit aliqua istarum rectarum , eaque hisecet in o iubie illam AM , pertinentem ad F1- Si verticem A,& demissa ad diametrum AB ordinata EG . huic per punctum O parallela ducatur OL ; sit semper , ut CL ad CG , ita CG ad C A . Nec sane dissicile erit theorema istud ostendere . Nam, sicuti AM dupla est ipsi uxAO et ita , ducta ad diametrum AB ordinata alia MN , erit AH dupla quoque ipsius A L.

Unde , quum sit etiam diameter AB dupla ipsius AC, erit tota N B dupla pariter totius LC : propterea rectangulum AN B critquadruplum rectanguli ALC.

Et quoniam MN dupla est etiam ipsius OL ; erit MN quadratum quadruplum quam drati, quod fit ex OL . Quare erit, ut Muquadratum ad rectangulum AN B, ita OL quadratum ad rectangulum AL Sed, propter hyperbolam, MN quadratum est ad rectangulum AN B, ut EG quadratum ad rectangulum ACB . Itaque erit ex aequali, ut DL quadratum ad rectangulum ALC , ita EG quadratum ad rectangulum AGB ; S consequenter Permutando erit quoque, ut OL quadratum ad EG quadratum , ita rectangulum Ain adrectangulum ACB. Hinc , quum . ob triangula aequiangulam L , CEG , OL quadratum sit ad EG quais acatum , ut CL quadlatum ad CG quadrais

175쪽

SECTIO NuM CONICA Ruritum, erit rursus ex aequali, ut CL quadraturri ad CG quadratum, ita tectangulum ALC ad rectangulum AGB: & propterea, subtrahendo terminos secundae rationis ex terminis primae, erit etiam , ut CL quadratum ad CG quadrais

tum , ita rectangulum ACL ad AC quadra. tum, hoc est . ita CL ad AC i proindeque tres rectae CL , CG , CA continue proportionales

iv. IV. Inde vero sequitur prsmo , quod si ex Prate tu punctis A , & E ducantur rectae AR, EI, ipsis T T EG , AM parallelae, quarum prior AΚ conae veniat cum EF in puncto Κ, & altera EI cum ri* δ 'AB in puncto I; triangulum EGI sit aequa latrapetio AGER . Est enim ex ostensis , ut CL ad CG , ita CG ad CA. Sed CL est ad CG, ut Co ad CEi sive etiam , ut CA ad Cl. Quare erit ex aequali, ut CG ad CA , ita CA ad CI: & propterea,

quum tres rectae CG , O, CI sint continua proportionales; erit quoque, ut CG ad CI, ita CG quadratum ad CA quadratum. Jam , propter communem altitudinem

triangulorum C EG , CEI, CG est ad CI , ueest triangulum CEG ad triangulum CEI iitemque, ob similia triangula C EG, CRA, CG quadratum est ad CA quadratum , ut trianguis tum C EG ad triangulum CRA . Quare erit rursus ex aequali, ut triangulum CEG ad triangulum C EI, ita idem triangulum CE Gad triangulum CRA . Hinc triangula duo CEI, CRA aequalia erunt inter se i ct propterea , dempto ex iis communi triangulo CEG , supererit triangu lum

176쪽

ELEMENTA. Ict . Ium EGI aequale trapetio AGEΚ . Et s ausearatur ad hiac commune trapetium AGEX ; remanebit quoque triangulum XA I aequale triangulo XEΚ. V. Iisdem positis, sequitur fecundo, quod itiangulum AOΚ sit aequale trapetio EOAI.' ν -- f. Est enim ex ostensis , ut CL ad CG , ita dira

CG ad C A . Sed CL est ad CG , ut Co ad CE ; itemque CG est ad CA , ut C E ad CR.

Quare erit ex aequali , ut Co ad CE, ita CE ad CR : & propterea, quum tres rectie CO, CE , CΚ sint continue proportionales 3 erit quoque , ut Co ad CR , ita CO quadratum ad CE quadratum. Jam , propter communem altitudinem triangulorum CAO, CAR , Co est ad CR, ut est triangulum CAO ad triangulum C A sitemque, ob similia triangula CAO, CIE, COquadratum est ad CE quadratum, ut trianguis tum C AO ad triangulum CIE . Quare erit rursus ex aequali, ut triangulum C AO ad triangulum CAR , ita idem triangulum CADad triangulum CIE. Hinc triangula duo CAΚ , CIE aequalia

erunt inter se: proindeque,dempto ex iis communi triangulo CA O , supererit triangulum AOΚ aequale trapetio EOAI. Id vero erui quoque potest ex aequalitate triangulorum X AI, XEΚ superius ostenta . Nam, addito iis communi trapetio AOEX , fiet trapetium EOA I aequale triangulo AOΚ. l. Capiatur porro in hyperbola punctum vi. quodvis aliud P, ex quo ducantur ad diame

177쪽

reti SECTIONUM CONICARUM EG parallelae . Et facile erit ostendere , quod triangulum P sit etiam aequale correspondenti ita petio AQR R. Quum enim similia sint triangula CAR. CGE ; erit, ut CA quadratum ad CG quadratum , ita triangulum CAN ad triaugulum

CGE. Quare , subtrahendo antecedentes ex consequentibus, erit etiam, ut CA quadratum

ad reetangulum AGB, ita triangulum CARad trapetium AGER. Eadem ratione, quum similia snt triangula CAR , CQR ; erit, ut CA quadratum ad CQ quadratum , ita triangulum C AR ad

triangulum CQR . Unde, subtrahendo anteis cedentes ex consequentibus, erit quoque , ut

CA quadratum ad rectangulum AQB , ita triangulum CAR ad trapetium A QR R.

Hinc autem , per aequalitatem rationis ordinatam, erit pariter , ut rectangulum AGBad rectangulum AQB , ita trapetium AGER ad trapetium A QRΚ : adeoque, quia, propter hyperbolam, rectangulum AGB est ad rectangulum Ad , ut EG quadratum ad PQ quadratum , erit ex aequali, ut EG quadratum ad P quadratum , ita trapetium AGEΚ ad tra. petium A QR R. Et quoniam ex constructione parallelae sunt inter se , tam duae EG , PQ, quam duae EI, PS ; triangula duo EGI, PQS similia erunt. Unde, quum sit, ut EG quadratum ad PQ quadratum, ita triangulum LGl ad triangulum PQS , erit rursus ex aequali , ut triangulum EGI ad triangulum PQS , ita tra

178쪽

ELEMENTA Jpterea,quemadmodum triangulum EGI osten

sum est aequale trapetio AGER ; ita quoque erit triangulum PQ S aequale trapetio AQRΚ. Notetur autem hic velim . quod si punctum P sumatur in hyperbola opposita , quae

transit per verticem alterum B ; tunc loco trais

petii AQRΚ capienda sit disserentia trianguisiorum C AR , CQR , quam in omni casu traretium illud ad aequat. Et demonstratio adhuc est eadem,

VII. Denique , si recta Ps , ipsi EI parat.

Iela , conveniat cum recta EF in puncto V, νι-- sullo negotio splendemus quoque , quod trian- tulum P VR iit aequale correspondenti trapello E SI. Ponamus etenim primo , quod punctum Fio. gr. E sit supra verticem A ,' quod punctum P existat inter A, S E . Quia igitur triangulum EGI ostensum est aequale trapetio AGER . ct triangulum PQS aequale trapetio AQRΚ t fiex triangulo auferatur triangulum , ex trapcllo trapetium , ex utroque autem commiane

trapetium PQGZ ; supererit trapetium ETSI aequale trapetio PZER : proindeque , addito communi triangulo EZu , fiet trapetio EVSI aequale triangulum Pu R. Ponamus secundo , quod punctum Ssit Fiosi, quidem supra verticem A , sed quod punctum P sit ad alteram partem puncti L relate ad eundem verticem A . Et rursus , quia triangulum EGI ostensum est aequale trapetio AGER: addito communi trapetio EG QR, set trapetium EI QR aequale trapetio AQRΚ, sive etiamttiangulo PQS : dc proinde, dempto comm

179쪽

sus aequale trianguJum PUR.

Fio .r a. Ponamus denique , quod punctum S sit

insta verticem A . Et quoniam triangulum

PQS ostensum est aequale trapetio AQRΚ:

addito,vel dempto communi trapetio vSQR, siet triangulum P R aequale trapetio ASvΚ. Sed, propter aequalitatem triangulorum XER, XAI, superius ostensium, trapetium ASVΚ est aequale trapetio EVSI. Quare etiam triangulum Pu R aequale erit trapetio EUSI. Hic quoque notare oportet , quod upunctum P capiatur tu hyperbola opposita stune loco trapetii EvSI sumenda sit disserenistia triangulorum CEI, CVS , quam in omni casu trapetium illud adsequat. Nec diversa erit demonstratio. vi II. VIII. His praemissis, facile modo erit osten- ... --e dere , quod sit diameter bperbolarum opposita-

Trum reba het,ducta per centrum,S ad easti ad DF terminata . Ut enim talis esse possit , duo quidem requiruntur . Primum, ut hi secet rectas eas arames omnes,alicui aequi distanter ductas, S utrinque PA ' terminatas ad earule in hyperbolam. Deinde, ut quadrata ex semissibus illarum rectarum sint, ut rectangula , qtrie sub correspondentibus ipsius portionibus continentur.

Fio Jam horum utrumque facili negotio de ' monstrabit tir . Quantum enim ad primum , sic EF recta quaevis ducta per centrum C, eaque hi secet in O subtensam AM , pertinentem adverticem A diametri principalis . Dico , candem EF secare quoque bifariam in U , quamvis aliam rectam P P , quae ipsi AM parallela,

180쪽

r E et x M ENT A. ictu trinque ad unam hyperbolarum terminatur Posi cis enim omnibus , ut supra ; erit uistrumque triangulorum P R, PvR aequa latrapetio E USI. Quare aequilia erunt inter se ipsa duo triangula PUR , PUR. Sed eadem triangula , velut similia . sunt, ut quadrata laterum homologorum Pu , P . Itaque late re isthaec homologa PU, PU erunt pariter ae qualia I Sc consequenter tota PP hilariam secta erit in v. IX. Quantum vero ad secundum , nec Ix. etiam magos mentis acumine opus est, ad tuus et et 'ostendendum . Maneant enim omnia adhuc , ut tu u i Maea

supra. Et dico insuper, quadrata ipsarum AO, unu

P U esse inter se , ut rectangula correspondenis

tia EO F, EUE. FIG. 3 I. rQuum enim similia sint triangula CEI, 23'CoA ; erit, ut CE quadratum ad CD qua-

dratum , ita triangulum CEI ad triangulum COA . Quare , subtrahendo antecedentes ex consequentibus, erit etiam , ut CE quadratum

ad rectangulum EOF , ita triangulum CEI ad trapetium EoAI. Eadem ratione, quum similia sint tr anagula CEI . CvS ; erit, ut CE quadratum ad CU quadratum, ita triangulum CEI ad itiai, gulum CVS . Unde,subtrahendo antecedentes ex consequentibus , erit quoque, ut C E quadratum ad rectangulum EvF , ita triangulum CEI ad trapetium EvSI.

Hinc autem, per aequalitatem rationis oradinatam , erit pariter , ut rectangulum EO Fad rectangulum EvF, ita trapetium EOAsad trapetium EvSI: adeoque , quia trapeti - Tom. I. I. ista