장음표시 사용
181쪽
aga SECT FONuM CONICA Ru Mista ostensa sunt aequalia triangulis AOR. PvR 3 erit ex aequali, ut triangulum AOR ad triangulum Pu R . ita rectangulum EOFad rectangulum EvF.
Quoniam vero ex constructione paralleis Iae sunt inter se, tam duae AR,PR, quam duae
Ao, Pu , triangula duo AOR. PUR similia
runt. Quare , quum sit . ut Ao quadratum ad PU quadratum , ita triangulum AOR ad triangulum PVR 3 erit rursus ex aequalunt Ao quadratum ad P v quadratum . ita rheiangulum EGF ad rectangulum EvF.
T. X. Non inscior . illud hic a nobis assum ptum esse . ut recta , qua intra unam merM-luram subtensa ducitur aquidista ter, utrim ... ...' que ad eandem h=perbolam terminetur. Sed dissicile erit, tum istud ostendere. tum M ...... alia etiam ratione probare, quod rectae omnes. Fia. I . ipsi AM aequid istantes, & ad eandem hype holam utrinque terminatae , bifariam secentura recta EF. Jam enim de rectis . quae ducuntur inir segmentum hyperbolicum AEM, rea est extra omnem dubitationis aleam posita . Itaque ducatur extra illud segmentum recta quaevi
P v, ipsi AM parallela . Et, si fieri pote, , ocis
eurrat hyperbolae tantum ex una parte in P. Extendatur ea ad partem aliam versus V , Se
fiat VP aequalia ipsi Pu . Ostendendum est igitur, hoc aliud punctum P esla etiam in hyperbola. Ponantur omnia , ut supra . Et quoniam duae PV. v P inter se sunt aequales, erit trian
aulum P VR, ad unam partem eat stem. quam
182쪽
te itiangulo PUR, quod existit ad partem , , alteram . Sed illud , propter hyperbolum . est aequale trapetio EVSi, sive etiam ASUR. Quste eidem trapetio ASUR hoc etiam te. quale erit: & propterea utrumque triangulorum Pin erit aequale correspondenti trapetio
AQRR ; eritque adeo , ut triangulum P Sad triangulum PQS . ita trapetium A RHad trapetium Adest. Jam , ob limilitudinem triangulorum PQS, Pin . triangulum P S est ad trianguis tum PQS , ut PQ quadratum ad PQ quadratum. Itemque . ob diametrum AB, biseeiam incentro C , trapetium AQRΚ est ad ita petium A QRR . ut rectangulum Ad ad rec anguis tum AQB . Quare erit ex aequali, ut PQ qua dratum ad PQ quadratum , ita rectangulum AQB ad tectangulum Aseli: & propterea, sicuti punctum unum P est in hyperbola , sic. Miam locabitur in hyperbola punctum aliud P:Verum quidem est , quod recha PU duocia sit a nobis intra eandem illam hyperbolam , in qua re ritu e subtensa A M. Sed fa-.oile erit . earumdem demonstrationem ad eas etiam rectas transferre , quae intra hyperbolam aliam ducuntur aequid istanter ipsi AM . si recordemur , quod in eo casu loco trapetii AORR capienda sit differentia triangulorum CAR. CQR ; & loco trapetii EUSI differsis, tia triangulorum CEI, CVS . XI. Non eroo dubitari potest, quin recta Ti,
EF . ducia per centrum C, de ut inque ad hy- ,-- perbolas oppositas terminata , sit diameter ipsarum. Nam n bifariam dividit rectas om- si viis ista L a neS.
183쪽
dic ST CTIONUM CONICARUM nes, quae subtenta AM aequidi stantes , utrinisque ad unam ex ipsis hyperbolis terminanis tur . Et quadrata ex semissibus istarum recta. rum servant inter se eandem rationem, quam habent rectangula . sub correspondentibus ipsius EF portionibus contenta . Sed facile erit etiam ostendere , quod prater eat, quintramunt per centrum , O ad perbolas oppositas terminacltur, nulla alia
recta linea po it esse diameter iliartimast enim
re et a aliqua esse queat diameter hyperbolarum oppositarum , illud primo requiritur , ut bifariam fecet rectas omnes, alicui aequi distanterduitas, & ut linque ad unam ex ipsis hyperbo-lls terminatas . Unde , si ostendi posse , accidens istud lis tantummodo rectis competere squae transeunt per centrum , & ad hyperbolas oppositas terminantur jam veritas ejus , de quo agitur , liquido constabit. Id vero oblidetur in hunc modum . Sit TY recta positione data . cui debent esse parallela: eae omnes , quae bifariam a diametro dividuntur. Jamque, si ea parallela est ordin
iis diametri principalis AB s secabit diameter ista AB bifariam rectas omnes , quae ipsi TY
aequi distantes , utrinque ad unam hyperbolaruns oppositarum terminantur.
Quod si autem recta TY non sit parali ra ordinatis diametri principalis AB ; utique ejus positio debet esse talis , ut quae ei intra
unam hyperbolarum ducuntur parallelae , ad eandem hyperbolam utrinque terminentur. Aliter enim nulla erit diameter, cujus ordia
natae parallelae terunt rectae TY 3 quum ordia
184쪽
natae cuiusque diametri debeant ut linque ad eandem hyperbolam terminari. Id vero quum ita sit, necesse est, ut recta A M. ducta ex vertice A te id istanter ipsi TY , secet hyperbolam, transeus item Rer evntidem verticem A, in alio puncto M. At, rectaso innes , ipsi AM parallelas , Sc utrinque ad eandem hyperbolam terminatas , ut modo vidimus, non alia bisecat recta, quam quae tran-st per centrum C, ct bifariam dividit subtensam ipsam A M. XII. Sed non abs re erit, hic paucis in- vir. nuere, qualis esse debeat datae recta positio,
ut quae es ducuntar aquidistanteI ictro unom recta , -
ε=perbolaram, utrinque ad eandem perbin
Sit igit ut Tu recta data . quae non stparallela ordinatis diametri principalis AB. Et oporteat, positionem desilire, quam ea debet rum
habere , ut rectae , eidem aequi distanter ductae intra unam hyperbolarum , possint ad eandem hyperbolam utrinque terminari. Dueatur ex vertice A tecta Ag,ipsi TY parallela . Et siquidem ista hyperbolam, tranc Euntem per eundem verticum A , secet in alio puncto M s per ea, quae paulo ante ostens sunt, omnes rectae, quae intra unam hyperbo Iarum durantur aequid istanter ipsi AM . cum eadem hypeihola utrinque convenient. Jam ex superius ostensis recta Ax secata. hit in puncto aliora hyperbolam, transiuit temPer verticem A . quotiescumque portio D p, . quam ea abscindit ex recta DE , diametto RA. Parallela , minor est ea, quae media est proporis
185쪽
ivc s Rc ro NuM COMICA Ru Milonalis inter diametrum AB , ct parametrum ejus AD. Unde non alia esse debet positio ipsi ua TY , quam ut rem AX , ei aequid ista nister ducta , ejuscemodi portionem ex ipsa DE
XIII. Neque veto arduum erit, veritatem Atius determixationis ofendere . Ponamus etenim primo , portionem DF mediam illam proportionalem adaequare , punetiimque adeora, in quo recta Ax Iecubat hyperbolarn, et ranseuntem per verticem A , in infinitum
Si fieri potest , recta HR , ipsi Ax aequiis
distanter ducta , secet aliquam hyperbolarum, puta eandem illam . quae transit per verticem
A. in duobus punctis H, S Κ , ex quibus or-d natae ad d ametrum demittantur GI , R L. Et producatur eadem HR , usque donec conveniat cum diametro A R in puncto R. Quia igitur DF est media proportionalis inter AB , S A D; erit DF quadratum aequale sectangulo DAB: ct propterea AD quadratum erit ad DF quadratum , ut est idem AD quadratum ad reetangulum ADB I sive etiam,
ut est AD ad AB. Jam AD quadratum est ad DF quadra
tum , ut est HI quadratum ad RI quadratum; itemque AD est ad AB . ut est idem HI quadratum ad rectangulum AIB . Quare , quum sit RI quadratum aequale rectangulo AIB serit, ut BI ad Ri, ita Ri ad Al; Adividendo, ut BR ad RI, ita AR ad AI. Simili ratione ostendemus , R L quadratum esse aequale re elangulo ALBiatq;adeo re, esse
186쪽
alle ad RL . ut est RL ad AL, sive etiam diis videndo, BR esse ad RL , ut est AR ad A L.
Inde, quum ordinando sit, ut RI ad RL . ita AI ad AL s erit convertendo , ut Rl ad I L. . ita AI ad eandem IL. Quod fieri non potest. Ponamus secundo . portionem DF ma- solem esse ea, quae media est proportionalia inter diametrum Ap.& ejus parametrum AD: lta, ut punctum M migret in hyperbolam opis positam . Quumque in hoc casu tecta Ax mais is ad diametrum inclinetur, multo minus reis em HR , ei aequidistanter ducta , secare pote- it in dilobus punctis eandem hyperbolam. XIV. Hine autem inad prono alveo sequn xiv.8ur , quod si intra aliquam hyperbolarum op
positarum, velut intra eam , quae transit perverticem A , ducatur recta HR utrinque ad 'o eam terminata , nec aequid istans Ordinatis diam pio. g g.
metri AR a semper ea vertiee A duci possit reisoa alia Ax , quae et parallela, secet in puncto dio eandem hyperbolam. . si enim fieri potest , re&a Ax non se era n puncto alio hyperbolam, transeuntem preverticem A . Itaque per ea quae mox ostensa unt, etiam recta HR, quae ei est parallela . secabit in unico puncto eandem hyperbolam. Sed ex hypothesi recta HR utrinque ad hy-yerbolam illam terminatur; adeoque eam secat in duobus punctis. are etiam recta Ax conis veniet cum hyperbola illa in puncto alio . oid veto quum ita sit, perspicuum est quoque , non posse rectam aliquam utrinque ad mam hyperbolarum terminari , nisi omnes liae. quae ei ducuntur aequid istantes, utri
187쪽
ist 6ECTI IN uM CONICA Ru M.que etiam conveniant, vel cum eadem hype hola , vel cum ejus opposita. Quod tamen intelligi debet, ubi aliae istae rectae intra aliis quam ipsarum hyperbolarum ductae fuerint. .
Diametrorum hyperbolae communia quaedam demon
P.. L . .. i T Mimus praecedenti capite, hypertamiam. v holam , praeter eam diametrum,squam in ipso cono sortitur , alias etiam innu- Mo Miameis meras habere, quarum quaelibet transit per
centrum, S tum ad ipsam, cum ad ejus oppo-T sitam terminatur. Sed communia harum diat se s metrorum, operae pretium est, ut paulo distinctius prosequamur. Quem in finem sit AB diameter principalis hyperbolae, centrum Pu elum D, S EF alia quaevis diameter. . Primo igitur, quemadmodum diameter principalis AB suas habet ordinatas ; ita suis. quoque refertur ordinatis diameter alia EF. Sunt autem ex ostensis ordinatae istae rectae ilis Iae omnes, quae ducuntur aequid istanter subistense Aia, quam ab ipsa EF suppono his Etam in puncto O. . Deinde , quemadmodum quadrata ordia, ratarum diametri principalis AB sunt inter .s . ut rc tangula . sub correspondentibus ejus Fortionibus contenta, ita st quadrata ordinas
188쪽
ELEMENTA, Icstarum alterius diametri EF sunt proportionalia rectangulis , quae continentur sub portionibus correspondentibus ipsius EF. Unde porro . si per verticem E dueat uerecta Eld ordinatis aequid istanter, quae sit talis longitudinis , ut quadratum unius ordinatae Ao sit ad tectangulum EoF , veluti est Eld ad EF i erit in hac eadem pariter ratione quadratum cujuslibet alterius ordinata: PUad reetangulum EVF. Et quemadmodum rectam istam EH ap. pellare licebit parametrum diametri EF , ita si jungatur FH , cum qua conveniat in X ordiis nata quaevis P v ; erit P v quadratum aequale rectangulo EVX , ct consequenter majus rectangulo , quod fit ex parametro EH in ahis
scissam correspondentem Ev-Quin & excessus ipsus PV quadrati s
per rectangulum HEU erit similiter rectangulum aliud quod habens pro sua latitudine eandem abscissant Eviest simile, similiterque positum et , quod fit ex parametro EH in ipsam diametrum EF . II. Haec quum ita sint, perspicuum est, en
omnes illas proprietates, qua Dperbola compe- ψ- - μὰ tuni relate ad diametrum principalem , obtinere etiam . quam ad aliam quamvit diametrum-
perbola ipsa refertur .Hine ulterius, sicuti describitur hyper- F1s. 3
hola in plano. per solas rectatum longitudines, data magnitudine . ct positione, tam diametro Principali AB, quam parametro ejus AD; sci etiam describi poterit eadem hyperbola , ubi
Magnitudine' positione datur, tum alia quae
189쪽
im SECTIO NuM Conie Axu Muis diameter EF, cum illius pata meter EH. e. t. Et sicuti recta AD , ducta per vertice A ipsius diametri principalis AB, aequi distam te e suis ordinatis , contingit hyperbolam inlato puncto A I ita etiam tecta EF , ducta preverticem E altersus cuiuslibet diametri EF, similiter ordinatis suis aequid istantet, dumtaxat in puncto E tanget hyperbolam. in imo , sicuti omnis alia recta , quae ducta ex eodem vertice A,angulum constitute eum AD , non solum in A , sed in alio quoque puncto serat aliquam hyperbolarum o positarum; sic pariter quaelibet alia recta , quae ducta ex eodem vertice E angulum continet eum Eld , non modo in E , verum etiam in puncto alio oecurret alicui ex iisdem hypet holit .
Unde etiam . si ;n plano ipsarum hypeta
holarum detur positione recta aliqua,quae non sit parallela ordinatis cujuslibet alterius dia metri ER, semper ex vertice R duci poterit tecta alla, quae ei parallela, unam ex iis hyperbolis secet in alio puncto g quum non aliter esse queae illi parallela, nisi angulum contineat
ni. III. sed,his ita se habentibut, liquet quo. T: pre,quod secati ex diametro principali trans
vi. uetat ad alias diametrat, se Pisissim ex quolnistis diametro, tam ad ipsam principalem,
-- ad M. cum ad aliat omnes progredi licebit .
Nam sempee ac eaedem sunt diamet totarum omnium proprietates , theorema illud fundamentale, quod praecedenti capite ostenis Cum est relate ad diamet tum principalem , pos- terit
190쪽
HEMENTA. 'terit eadem omnino ratione demonstrari de
quavis alio diametro EF. Itaque , si per centrum hyperbolae C dum Fio. ea catur recta aliqua AB , quae hilaret in G sub- tensam PE . pertinentem ad verticem E; ct de missa ad diametrum EF ordinata Pu . huic per puninim G parallela agatur GR , erit , ut
Unde , quum omnes illa: aequalitater triangulorum , trapellorumque . qtias superiori capite prosecuti sumus relate ad diametaetrum principalem, obtineant quoque respecta ipsius diametri EF ; facile erit ostendere , reueham illam AB esse diametrum quoque ipsi urtyperbolae. inde enim conficitur , ipsam AB seeare hisariam rectas omnes , aequidistanter due alliubtensae PE, ct utrinque terminatas ad unam hyperbolarum;itemque quadrata ex semissibus istarum rectarum proportionalia esse rectangu- Iis . quae sub correspondentibus portiouihua ipsius AB continenturi Iv. Habent igitur omnes at de hyperbo- Iob diametri easdem omnino proprietatessicum diametro principali 3 de ex qualibet ea- - --rum , tum ad ipsam principalem , cum ad -- - alias omnes progredi licet . Sed hyperbolae Ita diametri, praeter hactenui reeensitat proprie- i later, plures alias commmes issent, quas non abs re erit hic breviter ostenses exhibere.
Ac principio quidem illud nobis est ostendendum , quod quaelibet diameter muallar rectat, aetrixque ad unam hyperbolarum