장음표시 사용
191쪽
ira, SECTIO NuM EONIO A utitdinatim ad ipsam diametram applicant r. v Sit enim AB hyperbolae diameter quas . vis, sitque etiam AD recta illa, cui omnes Flo. ga. ejus diametri ordinatae sunt parallelae . Ducatur intra unam hyperbolarum recta P P , quae uti inque ad hyperbolam illam terminata, non sit ordinatim applicata diametro AB. Dico, eam ab ipsa diametro AB non poste secari hia
Si enim seri potest , secetur recta P P a
diametro AB hi fatiam in S . Et quoniam ea non est parallela ordinatis ipsius AB i, per ea quae ostensa sunt in calce capitis praecedentis, duci poterit per verticem A reeia alia, quae ipsi P P parallela, secet in puncto alio hyperbolam, transeuntem per eundem verticem A. Duacatur itaque recta ista, & sit A M. Tum,hi sectaea in puncto o, jungatur Co, quae extendatur usque donec occurrat hyperbolis oppositis in punctis E , & F. Quia igitur recta EF transit per centrum C , & bisecat in o subtensam AM , pertinen tem ad verticem A ; per superius ostensa , scacabie quoque bifariam in v rectam P P , ipsi AM parallelam . Sed ex hypothesi recta P Psecatur bifariam in S . Quare eadem P P hi secta erit, tam in puncto S , quam in puncto V . Quod fieri non potest . iv. eo autem, qliod quaelibet diameter eas tantummodo rectas,utrinquo ad unam hypeiholarum terminatas, bifariam dividat, quaeve diameter ordinatim ad ipsam diametrum applicanturi se-
, quitur per contrarium, ut si aliqua diamet r. . erat rectam aliquam, utrinque terminata
192쪽
ad unam hyperbolarum , haec este debear diam iri illius ordinato. Unde ulterius consequitur , ut si retpa aliqua bisecet alias duas aequidistanter , quarum quaelibet ad unam hyperbolarum sit utrinisque terminata , ea este debeat diameter , atque adeo trans me per centrum . Nam aliter , ducta per punctum bisectionis unius ex rectis aequid istantibus , & centrum recta alia , hae evelut diameter bisecabit quoque rectam aliam aequid istantem . Quod fieri non potest. Id vero quum ita sit, facile erit , catu libet datae perbolae , site centrum . sive diametrum aliquam reperire. Neque enim aliud fieri debet, quam ducere intra datam hyper-holam , vel etiam intra ejus oppositam recta duas aequid istantes, & utrinque ad eandem terminatas. Nam,sicuti recta, quae eas bifariam
dividit, diameter erit; sic & punctum, quod
hi secat diametrum istam , ejusdem centrum exhibebit., VI. Speciatim in omni hyperbola reperire vilicet diametram , qua cum fuit ordinatis re ctor angulos constituat . Inveniatur si quidem ipsius datae h3perbolae diameter quaevis EF , sitque EH recta illa , cui omnes istius diametri 2,. I . ordinatae debent esse parallelae . Jamque , si angulus FE H metit rectus, erit ipsa EF diameis statuae. ter optata . Quod si secus contigerit , inventis Fio. a C. emus diametrum, quam quaerimus, sequenti
Super diametto EF versus eam partem, in qua recta EH constituit cum eadem EF anissulum acutum, describa,ur semiclaculuS EPFt ' . .
193쪽
SECTIONUM CONI LARUM qui necessario secabit hyperbolam , transeunta tem per verticem E . in puncto aliquo P . sun-gatur deinde recta PE , quae secetur bifariam in puncto G . Agatur porro per pumctum istud G diameter AB , atque haec eam quam quaerimus, exhibebit.
ob rectas enim PE, EF bisectas in punisseis G, ct C,GE est ad GP, ut CE ad CF. Quare , iuncta resta PF. erit diameter AB ipsi PE
parallela ; adeoque angulus CCE aequalis erit angulo FPE . Sed, propter semicirculum , an gulus FPE est reetus . Itaque etiam angulus CGE rectus erit: ct consequenter diameter AB cum suis ordinatis rectos angulos constituet .. Quod autem semicirculus, descriptus suis per diametro EF verius eam partem , in qua recta EH constituit cum ipsa EF angulum acutum,secare debeat hyperbolam transeuntemper verticem E , in puncto aliquo P ; facili. quidem negotio ostendetur Quum enim angulus FE H non sit mami omni angulo acuto rectilineo . potest quidem ex puncto E duci recta alia , quae constituat cum eadem EF angulum acutum , majorem angulo FEH . Sed recta ista secare debet, tum hyperbolam, transeuntem per verticem E. cum ipsum semicirculum . Quare semicirculus.& hyperbola etiam inter se mutuo convenient. v II. In qualibet igitur hyperbola existit.
diametet . quae rectos cum suis ordinatis angulos constituit . Diametrum istam vocabimmus in posterum axem ipsius hyperbolae . Et facile erit ostendere, quod circulus, super axeψelut diametro descriptas, mediar cadat inter
194쪽
E L EMENT AM E divstramque hyperbolam, nec ulli ipserum occumrere possit. Sit enim AB axis hyperbolarum opposi- - --
garum , super quo velut diametro circulus deis scribatur. Dico .circulum istum nulli earum hyperbolarum occurrete . Quoniam enim axis AB rectos eum fuit ordinatis angulos constituit perpendicula. res , quae super ipso eriguntur ex punctia A, de B, velut parallela: ejus ordinatis, dumtaxat in punctis illii contingent hyperbolas. Sed eaedem perpendiculares cadunt etiam existra circulum . Quare mediae erunt inter cirisculum , dc hyperbolas . circulo adjacentes: Proindeque ipse circulus cum neutra hyperis volarum conveniet.. VlII. Jam , ut aliqua di mur de angulis. -m. quoi alia Dperbolae diametri cum ordinatu De m ni.
Dii constituant, sit AB axis ipsi ui hyperbolae; de ducta ex vertice ejus A subtensa quavisAM, sit EF diametet, quae bisecat in o istam . vi. .. . . subtensani , eamque velut main ordinatam Fio. 3 . agnoscit i iungaturque B M.
Quia igitur AC est ad CB. ut AG ad OM ; etit B M ipsi EF parallela et proindeque angulus AMB erit aequalis angulo AO C.
quem diameter cum ordinata ad plagam unam, constituit . Unde aliae hyperbolae diametricum ordinatis suis . saltem ad partem unam, non alloi angulos continebunt, quam quos continent rectae, quae ex verticibus axis ad ipsa hyperbolae puncta ducuntur. . Nullum vero horum angulorum rectum
j se posse, sed quemlibrumi ucutum existere 3 Jam
195쪽
et g SECTIO NuM CONICARUM exinde consequitur , quod circulus , qui dea scribitur super AB , velut diametro , medius cadat inter ipsas hyperbolas , nec ulli earum
occurrat . Eosdem autem minores sum per sac minores fieri , prout ipsorum vertices maingis . atque magis ab ipso axe recedunt . tanisdemque prorsus evanescere , quum infinite distant ab eodem axe; haud dissicile erit ostenderes
Si enim , demissa ad axem illum AB oris dinata MN , capiatur CQ aequalis CN ,&ad punctum Q ducatur ordinata alia PQ; ob. aequalia rectangula AN B, AQB . erunt etiam aequalia quadrata earum ordinatarum MN, P proindeque segmentum circuli, transiens Per tria puncta A, M, B, transibit quoque per punctum P. Unde, sicuti segmentum istud eo majoris fit latitudinis , quo puncta M.&Pmagis ab axe recedunt , sic & ipsi anguli
AMB, APB eo minores evadunt, quo minor est suorum verticum ab eodem axe diastantia.... IX. Sed , ut ad communes diametrorum' proprietates rursus revertamur, illud etiam omnibus accidit, ut ordinata, qua ad duarisu earum quoscumque diametros ab altern i earum verti-
et, cibar ducantur, dividant ipsar diametros in
ae eadem rarum eodem ratione .
Fio.ν,. Sint Cnim AB , EF duae quaevis diametri - hyperbolae . Et ducatur ex vertice E ordinata EG ad diametrum AB, & ex vertice A o di nata AO ad diametrum EF. Dico , fore , ut BG ad AG, ita FO ad EO. Extendatur ordinata una Ao, usque do, nec Diuitipod brum Coos e
196쪽
RLE M E N T A. Ir nec occinrat hyperbolae ad partem' alteram in
M; tumque agatur per punctum O tecta OL. ipsi EG parallela, quae conveniat cum diameistro AB in puncto L. Et quoniam subtensa AM pertinet adverticem A , eaque dividitur bifariam per rectam EF , transeuntem per centrum C; erit exsuperius ostensis , ut CL ad CG , ita CG ad CA . Unde, quum CL sit ad CG , ut est Coad CE ; etit ex aequali, ut CG ad CA , ita CO ad CE. Qusniam vero invertendo CA est ad CG . ut C E ad CO ; subductis antecedentatibus ex consequentibus, erit, ut CA ad AG, ita CE ad EO; & sumendo antecedentium duis pla , erit etiam , ut AB ad AG, ita EF ad EO . Unde demum componendo erit , ut BG
X. Huius autem proprietatis ope , facile x. erit, in h=perbolis oppositis cujuscumque diametri positionem fuarum ordinatarum definire, ios pomis Sit enim AB diameter . cujus ordinatae
quaeruntur . Ducatur intra tinam hyperbolarum recta quaevis P P . Tum , secta ea binis bio, Thriam in V , iungatur Cu, quae extendatur in E, &F. Agatur porro ex vertice A recta AM . ipsi PP parallela , quae diametro EF occurrat in o. Et siquidem AB subinde protrahatur in G, ut BG sit ad AG,ves uti est FO ad EO; erit EG ordinata una ipsius AB . Si enim EG non sit ordinata ipsius AB , sit ejus ordinata recta EH . Et quoniam ad diametros AB , EF ex alternis carum vertiei. Tomi. I. M hus
197쪽
idit SECTIO NuM CONICA Ru Mhus ductae sunt ordinatae Eri , AO ; per proin Ptietatem jam ostentam , erit , ut Bri ad AH,
ita FO ad Eo. Hinc , quum ex constructione Fo se ad EO , ut est BG ad AG I erit ex aequali, ut BG ad AG , ita BH ad AH : & propterea , quum dividendo sit, ut AB ad AG , ita AB ad AH ; erunt duae AG , AH aequales inter se .
Quod fieri non potest . . - t. . XI. Commune itidem est accidens diametrorum omnium , ut rectae s ex cujusque' verticibus per punepam aliquod hyperbolae du- . . ab Aiae dant ex qualibet ejus ordinata por-- . riones daat, quae rectangulam continem, aqua-
e quadrato ipsius urditiata. Fio -g Sit enim AB diameter aliqua huperbolae. - Ee , duetis per punctum quodvis E ipsius hyperbolae rectis A X. BZ, conveniant eae cum aliqua ejus diametri ordinata MN in punctis P , & Q. Dico . rectangulum PNQaequale esse quadrato ipsius MN. Ducatur liquidem ex puncto E ad eandem diametrum AB ordinata alia EG; eritque EG quadratum ad rectangulum AGB in rati ne composta ex EG ad AG, & ex EG ad BGisve etiam in ratione composita ex PN ad
Jam duae istae rationes componunt patia ter rationem, quam habet rectangulum P Ne ad rectangulum AN B . Quare erit ex aequali. ut EG quadratum ad rectangulum ACB . ita rectangulum PNQ ad rectangulum AN B. Ob hyperbolam autem , EG quadratum
est ad rectangulum AGB , ut MN quadratum
198쪽
ELEM SNTA. et 'pud rectangulum AN B . Itaque erit rursiis exaequali, ut MN quadratum ad rectangulum AN B, ita rectangulum PNQ ad idem rectangulum AN B: & propterea MN quadratum aequale erit rectangulo PNQ.
De conjugatis diametrorum bis perbolae s , de curvis , ad
I. N hyperbola, non secus ac in ell psi, r. I unaquaeque diameter suam habet
conjugatam . Sed conjugatae istae diametri, etsi transeant per centrum aequi distanter ordiis notis diametrorum , ad quas velut conjugatae / referuntur ; ad hyperbolas tamen oppolitas vi, minime terminantur, sed extremitatibus suis hinas alias hvperbolas constituunt, qum PriOrum conjugatae dicuntur. iQuod igitur hae in re primo nobis est ostendendum , illud est , quod si per centrum
perbolaram oppositarum recta ducatur , pu-rallela ordinatis alicujus diametri , ea cum neutra hyperbolarum possit convenire. Id vero facili quidem negotio ostende- FIG. 3'. mus. Sit enim AB hyperbolarum oppositarum diameter aliqua . sitque etiam C centrum Euria milem. Ducatur per centrum C rem R L, parallela ordinatis ipsius diametri AB . Dico, tectam istam XL cum nulla hyperbolarum posse convenire. M a Nam,
199쪽
etto SECTIONUM CONICARUM Nam,si per vertices diametri A . & B duis cantur duae aliae rectae , iisdem ordinatis aequiis distantes ; eae, per superius ostensa,contingenthyperbolas in iis tantummodo punctis, ct tmiae cadent e tra eas . Sed recta XL interjicitur inter binas illas rectas , & velut iis parallela, easdem numquam egreditur. Quare etiam recta XL cum nulla earum hyperbolarum pO-
Ex ipsa autem demonstratione perspiacuum est,accidens istud non tantum competere rectaeΚL , quae ducitur per centrum C aequi distant et ordinatis diametri AB ; sed cuiliis het alteri rectae , quae parallela adhuc iisdeniordinatis , transit per quodvis aliud punctum intermedium ipsius AB. Nam, non secus ac recta EL . illa quoque interjicitur inter rectas, quae per vertices A , & B ducuntur aequidiis stanter ordinatis diametri AB, nec unquam
II. II. Ostendemus deinde . quod etsi recta,
ducitur per centrum hyperbolarum op- omnel . . .' positarum aequi distanter lordinatis alicujus vita diametri , cuni neutra earum hyperbolarum possit convenire ; dividat tamen ossariam re- ...isinis ... Hai omneῖ , diametro parallelas, O ad Operha. Fio. 3 p. las oppositas terminatas. Maneant enim omnia, ut supra , & ducat ut recta VP , ipsi AB parallela , quae conveniat cum hyperbolis oppositis in punctis M,S P . Dico , rectam istam MP secari bifariam in V ab ipsa XL. Demittantur si quidem ex punctis M , &P ordinatae ad diametrum MN , PQ . Et quoniam
200쪽
ELEMENTA. a In am istae , velut parallelogrammi M atera opposita , inter se sunt aequales ; erunt aequalia pariter tectangula AN B . A B , quae illarum quadratis proportione corrui pondent. Hinc, addendo tectangula ista aequalibus quadratis CA , CB , aequalia erunt quoque tota quadrata CN , CQ I atque adeo aequalia etiam ipsa horum quadratorum latera CN,
Co. Sed, propter parallelogramma CM, CP. duae CN , C sunt aequales duabus M v,P U. itaque M v. P v etiam inice te aequales erunt:& propterea tota PM bisecta erit in v. III. verum quidem est , illud hic a nobis m.
assumptum esse , ut recta , diametro parallela, R : H quae uni hyperbolarum opposit rum occurreti s ris Iota debeat quoqme com altera convenire. Sed haud dissicile erit, tum istud ostendere, tum alia etiam ratione probare, quod recta , quae ducitur aequi distanter diametro AB , Sc ad hyper- venise. holas oppositar terminatur . bifatiam secet ut F --δ'
Sumatur enim in altera hyperbolarumpunetiim quodvis M . Tum,demissa ad diame-ertim AB ordinata MN , capiatur CQ aequalisCN . Erigatur deinde ad eandem patiem ordinata alia QP , ct jungatur M P . Dico, rectam istam MP , quae ad hyperbolas oppositas terminatur , parallelam esse diametro AB , & Q- cari bifariam in V a tecta ΚL. Nam, quum mit aequales inter se, tam
duae CA , CB , quam duae CN , C. erunt
Pariter aequales duae AN , BQ. Unde aequalia itidem erunt inter se , tam rectangula AN B.