장음표시 사용
201쪽
illi SECTIO NuM CONICARUM quae rectangulis iis proportione correspo dente & propterea , quum duae MN , PQ inter se sint aequales . & parallelae erit etiam VP diametro AB parallela. Deinde . Propter parallelogramma C M.
CP, duae CN, Ciuunt aequales duabus M Pu . Sed ex constructione duae CN , C Inter se sunt aequales . Quare etiam inter se aequales erunt duae M V , P v et proindeque recta VP , non modo parallela erit diametro AB, sed bifariam quoque secabitur in v a recta XL. - IV. Et si autem recta . quae ducitur percis; --.ai centrum aequidistanter ordinatis alicujus dia, Zm . metri , bifariam dividat eas omnes , quae diametro parallelae , utrinque ad hyperbolas opis positas terminantur; attamen, nisi ei vertices, suamque adeo longitudinem praescribamus, multum abest , ut conjugatae diametri vices ' subire possit, quemadmodum contingit in e
Praescribendi vero sunt ei tertices ea lege , ut bificta tu ipso centro, media evadat proportionalis inter diametrum , ad quam referetur , , parametrum ejus. Nam meminisse oportet, in ellipsi conjugatam cujusquc diametri esse rectam illam , quae ducitur per cem trum ordinatis ejus aequid istanter, quaeque bifariam ibidem secta , media est proportionalis inter ipsam diametrum, & parametrum suam. Itaque , maneutibus omnibus , ut suprae,
Fici. 3 p. dicetur recta RL conjugata diameter ipsius AB . siquidem duae CX. CL sint aequales imter se , tumque etiam tota XL media sit sto.
202쪽
ELEMENTA. iii portionalis inter diametrum AB , ct paramettum ejus AD. qua ratione quadratum cuis jusvis ordinatae MN ad rectangulum ei cor . respondeus AN B a non modo erit, ut AD ad AB , verum etiam , ut RL quadratum ad AB
v. Praescriptis verticibus conjugatae diametro . si velut ejus ordinatas habere velimus semisses earum rectarum , quae ad hyperbolas oppositas terminatae, bifariam ab ipsa secantur; proprietat ejur alia quidem erit ab ea , quae competit diametro, ad quam ipsa velut con. iugata refertur.
Nimirum accidens ipsius AB est, ut quadratum cujusque ordinatae MN sit ad rectan. gulum AN B . sive etiam ad disserentiam quadratotum CN , CA , ut est XL quadratum ad AB quadratum . Sed proprietas conjugatae ΚL est , ut quadratum cujuslibet ordiuatae MU sit ad summam quadratotum C U , C Κ, veluti est AB quadratum ad ΚL quadratum. id vero ostendetur in hunc modum. Quadratum ex MN est ad rectanguluin AN B, ut est UL quadratum ad AB quadratum a sive etiam . ut est CR quadratum ad CA quadratum . Quare invertendo erit, ut rectangulum
AN B ad MN . sive CU quadratum . ita CA
quadratum ad CR quadratum . Et , addendo terminos secundae rationis terminis primae, erit quoque . ut AN . sive M v quadratum ad summam quadratorum CV. CR , ita CA quadratum ad CΚ quadratum; sive etiam, ita AB quadratum ad T L quadratum. VI. Id autem mirum esse non debet. Ne
203쪽
vi que enim semisses ea tum rectarum, quae ad hyaperbolas oppositas terminatae, bifariam a conisse ne Cim jugata diametro dividuntur , sunt vera eius
ordinatae : sed te ut tales haberi debent femis' 'A fer illarum , quae Dot habeWt terminos in iistri . ,-g. dem ruis camis , an qnibus ipsius confugata. 'im' vertices locantur.
xi se' *' Plane enim ad easdem illas hyperbolas, in quibus existunt vertices diametri AB, teris minantur quoque diametr us ordinatae. Sed aliter obtinet in coniugata diametro XL. Rectae siquidem, quas hi secat,ae quarum seniisses ut ordinatus ejus habuimus, suos habent termitanos in hyperbolis oppost s ; at in iis vertices ipsius XL minime consistunt.
Hi ne non abs re erit , earum cum arum,
in quibus coniueatae diametri tertices locanis tur, determinationem hic aggredi . Hunc in finem, sit EF alia quaevis diameter hyperbo istarum oppositarum. Et sicuti ipsius AB est XL coniugata diameter; ita alterius hujus EF si P R diameter eonjugata . Inquirendum est ergo , cujus naturae sint curvae illae , quae transeunt per extremitates ipsarum ΚL , PR. I. VII. i Jam in hac inquisitione , osseudendam es prius sequens theorema. Nimirum, Die prρ ὰ, qtiod sicuti diametri hyperbolarum opposita- rum AB , EF dividuntur in eadem ratione ab ordinatis EG, AO, quae super iis demittuntue M' Q ex alternis earum verticibus .; ita ipta ordina
tae EG , AO sint tuter se , ut conjugatae RL ,
P R ea tundem diametrorum. . Id vero ostendemus In hunc modum.
Quoniani BG est ad AG , ut FO ad Eo ; erit
204쪽
dividendo, ut AB ad AG, ita EF ad Eo . Unis de , quia permutando AB est ad EF , tam ut AG ad Eo , quam ut BG ad FO ; compositi grationibus, erit quoque, ut AB quadratum ad EF quadratum, ita rectangulum AGB ad rectangulum EOF ; Sc rursus permutando , AB quadratum erit ad rectangu jum AGB , ut est EF quadratum ad rectangulum EO F. Quia autem, propter hyperbolam . R Lquadlatum est ad AB quadratum, ut EG quadratum ad rectangulum AGB erit etiam permutando , ut ΚL quadratum ad EG quadratum , ita AB quadratum ad rectangulum ACB . Et similiter , quia ratione ejusdem hyperbolae . PR quadratum est ad EF quadratum,ut AO quadratum ad rectangulum EOF; erit adhuc permutando , ut PR quadratum ad AO quadratum, ita EF quadratum ad rem nis
Hinc , quum ex aequali quadratum fit ad EG quadratum , ut est PR quadratum ad AO quadratum latera horum quadratorum ΚL, EG, PR , Ao erunt patiter proportionalia. Erit igitur, ut XL ad EG, ita PR ad AO : Sc propterea permutando ordinatae duae EG. Ao erunt inter se , ut conjugatae diameistrorum ΚL. PR.
VIII. Inde vero plara colligi possunt
quae ad Cas, quod quaerimat, determinationem fraesim nos manusicet t.
Nimirum sequitur primo, quod dircta ad
coniugatam RL rem PQ , ipsi AB patallela , sit ad C , ut est CE ad Co . Nam CR ad CQ rationem habet compositam ex CΚ ad
205쪽
XL ad PR; sive etiam ,ex theoremate ostensos
ut EG ad AO . Et, ducta OS . ipsi EG patalis tela, CP est ad CQ. ut AD ad OS . Itaque erit CR ad CQ in ratione composita ex EG ad AO , & ex AO ad OS ; hoc est in simplici ratione , quam habet EG ad OS , vel etiamCE ad CD. Sequitur secundo , quod ducta ad conjugatam PR recta XH, ipsi EF parallela. CP sit ad CH , ut est CA ad CG . Nam CP ad Crirationem habet compositam ex CP ad W . Sex CΚ ad CH. Sed CP est ad CR, ut PR ad
XL ; sive etiam, ex theoremate ostenta , ut
AD ad EG . Et, ducta GU. ipsi Ao parallela.CΚ est ad CH , ut EG ad Gu . Itaque erit CP ad CH in ratione composita ex Ao gaEG , & ex EG ad Gu ; hoc est in simplici ratione, quam habet AG ad GV . vel etiam CAad Cc. Ex quibus sequitur ulterius , CP esse ad CH, ut est CΚad CQ . Quum enim ordinatas EG , Ao dividant diametros AB , EF in eadem ratione , erit, ut BG ad AG , ita FO ad EO ; & dividendo . ut AB ad AG , ita EF ad
Eo. Sed,capiendo semisses antecedentium.CAest ad AG, ut CE ad EO. Itaque, addendo an tecedentes consequentibus, erit etiam, ut CA ad CG, ita CE ad Co Jam vero , ex ostensis.
CA est ad CG. ut CP ad CH; itemque CE est ad Co . Ut CΚ ad CQ. Quare erit ex aequam li. ut CP ad CH, Ita CR ad CQ.
ix IX. Ducatur nunc , tam ad diametrum
206쪽
iugatam ejusΚL recta PT , aequid istans ipsi is----MER . Et sicuti ex eo, quod CA sit ad CG , ve- et tuti est C E ad CD, oit endemus . rectangulum Fio. o. AGB aequale esse reet angulo CGI , ita quoque ex eo, quod CΚ sit ad c Q, ut est CP ad CH. facili negotio demonstrabimus , reeiangulum X esse aequale rectangulo CQT. Quoniam enim eidem P R parallela est, tam recta El , quam recta AO , erunt duae EI, AO parallelae etiam inter se et proindeque erit
ut Ct ad C A , ita CE ad Co . Sed CE est ad
m, ut CA ad CG . Quare erit ex aequali, ut C I ad C A. ita C A ud CG : S propterea
CA quadratum aequale crit rectangulo IC G. Huic, addito communi rectangulo AGB. erit etiam CG quadratum aequale duobus retactangulis ICG , AGB . Sed CG quadratum aequale est pariter duobus rectangulis I CG, CGI . Itaque duo ista rectangula ICG , CGlduobus illis ICG , AGB aequalia erunt et &proinde, ablato communi rectangulo ICG, remanebit rectangulum CGI aequale rectangulo AGB. Eadem autem ratione , quoniam eidem EF parallela est , tam recta PT . quam recta. RH ; erunt duae PT, RH parallelae etiam inter
se i proindeque erit, ut CT ad CΚ , ita CP ad CH . Sed CP est ad CH , ut CR ad CQ. Quare erit ex aequali, ut CT ad CR , ita. CRad CQ : & propterea CR quadratum aequale erit rectangulo TCQ. Hinc, addito communi rectangulo RQ
erit etiam C quadratum aequale duobus re
ctangulis Tm, ΚQL. Sed CQ quadratum
207쪽
i s SECTIONUM CONICA Ruri aequale est pariter duobus rectangulis TCQ . CQT . Itaque duo i sta rectangula TCQ. CQT duobus illis re R L aequalia erunt rct proinde,ablato communi rectangulo TCQ. remanebit rectangulum CQT aequale rectanis gulo ΚQL. X. Atque hinc modo , sicuti EG quadra. tum est ad rectangulum AGB , vel et aequale rectangulum C GI, ut est XL quadratum ad AB quadratum ; ita quoque nullo neBotio ostendemus, P quadratum esse ad rectanguis lum ΚQL , vel ei aequale rectangulum mn ut est AB quadratum ad XL quadratum. Nam EG quadratum ad rectangulum CGI rationem habet compositam ex EG ad CG, ct ex EG ad I G . Sed, ob triangula aequia
angula CGE , PQT, EG est ad CG , ut T
ad P . Itemque , ob triangula aequiangula
EGI , CQP , EG est ad I G, ut CQ ad PQ .
Quare EG quadratum ad rectangulum CGIerit in ratione composita ex TQ ad PQ, dc ex
Jam duae istae rationes componunt pariter rationem . quam habet rectangulum CQT ad PQ quadratum . Itaque erit ex aequali, ut EG quadratum ad rectangulum CGI, ita re
elangulum CQT ad PQ quadratum. Sed EG
quadratum est ad rectangulum CGI, sive AGB, ut T L quadratum ad AB quadratum . Quare erit rursiis ex aequali, ut rectangulum CQT ad PQ quadratum , ita XL quadratum ad AB quadratum; adeoque invertendo PQ quadratum erit ad rectangulum CQT , ut AB qua diatum ad XL quadratum.
208쪽
Ex eo autem , quod PQ quadratum sit ad tectangulum CQT , sive RQL, ut est Ad quadratum ad ΚL quadratum liquet, punetum P locari in hyperbola, cujus XL est diameter primaria . A AB ejus conjugata. Sed in ejusdem opposita locabitur quoque punctum R, quandoquidem , ducta RZ , eidem AB parallela, ostendemus eadem ratione, R Z quadratum esse ad rectangulum EZL , ut est AB quadratum ad ΚL quadratum . XI. Quod quum ita sit, manifestum est . per . extremitsites earum rectarum , quae sunt conjugata diametrorum in Operbolis oppositis, vore alias curvas transire , quam binar aliaroppositas hyperbolas. Atque hinc est , ut aliae istae binae hyperbolae priorum conjagat et dicantur ; quia scilicet diametri priorum hyperbolarum non alias rectas , velut suas conjugatas , agnoscunt, quam quae ductae per centrum, ad alias istas hyperbolas terminantur. Jam in aliis hisce binis hyperbolis , quae priorum conjugatae dicuntur,ΚL est diameter primaria . S AB ejus conjugata . Unde eadem ratione hyperbolae,quae ipsarum conjugatae dicendae sunt,necesse est,ut habeat AB velut diametrum primariam, &ΚL velut ejus conjugatam: & ea propter non aliae erunt, quam ipsae priores hyperbolae . Ex quo patet, quod sicuti priorum hyperbolarum conjugatae diametri ad aliat isos terminantur, sic per contrarium con-jagatae diametri is aram in iis suos terminos debeant habere. Quin etiam , si deseriptis ali s hisce duabus hi perbolis, fuerit cujus is alterius diameis tri
209쪽
DO SECTIO NuM CONICARUM tri EF priorum hyperbolarum P R conjugata diameter erit per contrarium EF diameter conjugata ipsius P R in aliis Istis hyperbolis. Jam enim per id, quod modo ostentum est . ad Priores hyperbolas terminari debet istiusmodi coniugata diameter . Itaque, si ostendi possit, ipsi EF parallelas esse ordinatas diametri PR, proculdubio erit EF diameter eius conjugata. Id vero demonstrabimus in hunc modum. Quoniam,ex superius ostensis, CΚ est adm , ut CP ad CH; subducendo antecedentes ex consequentibus, erit quoque, ut CT ad
L Ita CP ad PH. Sed , sumptis antecedentium duplis , Κ L est ad Rhut PR ad PH . Quate componendo erit pariter , ut LQ ad RQ, ita RH ad PH r & propterea , quemadmodum PQ est ordinata diametri RL i ita &RH , quae est ipsi EF parallela , ordinata erit diametri P R. Patet igitur, quod sicuti duae hyperbolae
nequeunt esse conjugatae duarum aliarum hyperbolarum, nisi & istae etiam sint illarum conis iugatae ; sic in quatuor hisce hyperbolis nequeat diameter una conjugata esse alterius
diu metri, ni s S ista pariter sit conjugata illius. Hinc, quum duae hiijusmodi diametri fit bcontemplationem venient , non modo alteram
alterius conjugatam , sed ambas simul conjugatas diametros appellabimus. XII. Caeterum , priusquam hule capiti finem imponamus . notetur velim . Ibeorema Iclud, superius ostensam in se perbola, de ordinatis , qtia ducuntur ad binas diametros ex coernii eorum verticibus, obtinere etiam in ellipsi.
210쪽
Ellipsis enim ALB sinit AB, EF duae.
quaevis diametri, ad quas ex alternis earum verticibus ducantur ordinatae EG, AO; sintque hi et ' i' etiam ΚL, P R earum diametrorum conjugatae.
Dico, oldinatas EG . Ao habere inter se eandem rationem, qua habent conjugatae XL,PR. Quoniam enim ordinatae EG , Ao divi- clunt diametros AB, EF in eadem ratione;
erit, ut BG ad AG , ita FO ad Eo i proinde que componendo AB erit ad AG, ut est EF ad Eo . Sed permutando AB est ad EF . tam tit AG ad EO . quam ut BG ad FG. Quare,
compositis rationibus, erit quoque , ut AB quadratum ad EF quadratum, ita rectangulum AGB ad rectangulum EOS; & rursus
permutando erit, ut AB quadratum ad rectangulum AGB . ita EF quadratum ad rectangu-
Quia autem , propicr ellipsim . ΚL quadratum est ad AB quadratum , ut EG quadratum ad rectangulum AGB , erit etiam permutando . ut ΚL quadratum ad EG quadratum, ita AB quadratum ad rectangulum ACB . Et similiter , quia ratione ejusdem ellipsis , PRquadratum est ad EF quadratum, ut A O qua dratum ad rectangulum EOF erit adhuc permutando . ut PR quadratum ad AO quadratum, ita EF quadratum ad rectangulum EO F. Hinc, quum ex aequali ΚL quadratum sit ad EG quadratum , ut est PR quadratum ad AO quadratum, latera horum quadrat rum XL, EG, PR, AO erunt pariter proportionalia. Erit igitur, ut XL ad EG, ita P Rad Ao : & Piopterea permutando ordiuatae duae