장음표시 사용
211쪽
rsi SECTIO NuM CONICA Ru MEG, Ao erunt incer se in eadem omnino ratione, quam habent conjugatae diametro.
Parabolae omnes aliae diametri
I. Tsi parabola, perinde ae ellipsis, &s . hyperbola, praeter eam diametrum, quam in ipso cono sortitur, infinitas alias diametros haheat; in ea tamen omnes aliae istae diametri, non convergunt ad punctum ullum.
ut contingit in hyperbola , ct in ellipsi ; sed sunt omnes tam inter se , quam cum Ipsa diametro principali parallelae. Ut autem pateat, quod sit diameter parabolae recta quaelibet . ducta aequid istanter diametro principali; meudendum est prius si quem theorema . Nimirum, quod si AB sit parabolae diameter principalis , ct aliqua ejus parallela EF bisecet in O subtensam AM , pertinentem ad verticem A; quod ,inquam, demissa ad diametrum ordinata EG, ct ducta per punctum O recta OL, ei parallela , si semper A Gaequalis ipsi GL. Nec sine dissicile erit, theorema illud ostendere . Nam, scuti AM dupla est ipsus AO; ita , demissa ad diametrum ordiis nata alia MN, erit quoque, tum AN dupla ip
sus AL, cum MN dupla ipsius OL, sive EG:
212쪽
proindeque MN quadratum erit quadruplum quadrati, quod fit ex EG . Sed, ob parabolam, MN quadratum est ad EG quadratum, ut A Nad AG . Quare etiam AN quadrupla erit ipsius AG et & propterea , quum sit AL dupla ejusdem AG, duae AG, GL aequales erunt inter se.
II. Inde verosequitur primo, quod si eT ν, . ..,o punctis A, & E ducantur rectae AR, EI, ipsis bis emisti, EG, AM parallelae , quarum prior AR conveniat cum EF in ptineto Κ ,& altera Et cum Fio. a. AB in puncto I; triangulum EGI sit aequale parallelogrammo AGER. Est enim, ex theo temate ostenta , AG aequalis G L. Sed GL est aequalis ipsi EO , se ii Al. Quare duae AG , AI etiam inter se aequales erunt: proindeque tota GI dupla erit ip-s us A G. Jam triangulum EGI , & parallelogram mum AGER sunt in iisdem parallelis . Quare, quum basis itianguli GI dupla sit basis parallelogrammi AG ; erit triangulum EGI aequale Parallelogrammo AGER. Et hinc patet, aequalia esse etiam triangula XAt, XER quandoquidem, si ex triangulo EGl, & ex parallelogrammo AGER auferatur commune trapetium AGEX , nonnisi duo illa triangula remanebunt.
III. Iisdem positis, sequitur fecundo,quod triangulum AOΚ sit aequale parallelogrammo EOAI,
Est en mi ex theoremate ostenso, AG T- Fio. a.
qualis GL . Sed AG est aequalis ipsi ER , &GL est aequalis ipsi EO. Itaque duae EΚ . EO. Tora. I. N etiam
213쪽
Sor' SECTIONUM CONICARUM etiam inter se aequales erunt: proindeque tota RO dupla et it ipsius EO. Jam triangulum AOR, & parallelogram-mum EO AI sunt in iisdem parallelis . Quare, quum basis trianguli RO dupla sit basis parallelogrammi EO; erit triangulum AON aequale parallelogrammo EOA I. Potest etiam id erui ex aequalitate trianis gulorum X At, Xh Κ, superius ostensa . Nam, si eis addatur commune trapetium AO EX.fiet parallelogrammum Eo Al aequale trianis gulo AOΚ. IV. Capiatur porro in parabola punctum quodvis aliud P , ex quo ducantur ad diameistrum AB duae aliae rectae PS , PQ, ipsis EI, EG parallelae . Et Deile erit ostiaedere , quod triangulum P sit etiam aequale correspondenti parallelogiam mo AvΚ. Quum enim , ex constructione, parallelae sint inter se , tam duae EG , PQ , quam duae El, PS; triangula duo EGI, PQS similia erunt: Proindequv erit, ut EG quadratum ad PQ quadratum , ita triangulum EGI ad triangulum PQS . Sed , propter parabolam , EG quadratum est ad PQ quadratum , ut AG ad A Q. Itaque erit ex aequali, ut AG ad A Q, ita triangulum EGI ad triangulum PQS. Jam parallelogramma duo AGER, A QRΚhabent eandem altitudinem . Unde, quum sint inter se in eadem ratione rectarum AG , A Qierit rursus ex aequali, ut triangulum EGI ad triangulum PQS , ita parallelogrammum
AG LX ad parallelogrammum A QRΚ: & pro- Pterea,quemadmodum triangulum EGI osten,
214쪽
sum est aequale parallelogrammo AGER ; ita quoque erit triangulum PQS aequale parallelogrammo AQRΚ. . Denique, si recta PS, ipsi EI parallela. v. conveniat cum recta EF in puncto U , nullo negotio ostende mai qtioque , quod triangulum taem. PUR sit aequale correspondenti parallelogrammo EvSI. Ponamus etenim primo , quod punctum Fio. a. S sit supra verticem A , & quod punctum P existat inter A, & E . Quia igitur triangulum EGI ostensum est aequale parallelogramm AGEΚ , ct triangulum P aequale parali Iogrammo AQRΚisi ex triangulo auferatur
triangulum , ex parallelogrammo parallelogrammum , ex utroque autem commune trapetium P Z ; superetit trapetium ETSI aequale trapetio P ZER : proindeque , addito communi triangulo EZv. fiet parallelogrammo EvSI aequale triangulum PUR. Ponamus secundo , quod punctum S sit Fio. a. quidem supra verticem A , sed quod punctum P sit ad alteram partem pune i E relate ad eundem verticem A. Et rursus, quia triangulum EGI ostensum est aequale parallelogrammo AGEΚ:addito communi trapetio EGQR, fiet trapetium EIQR aequale parallelogramin AQRΚ , sive etiam triangulo PQS r & proinde , dempto communi trapetio vSQR, fiet parallelogrammo EvSI rursus aequale triangulum P VR. Ponamus denique , quod punctum S sit Fio. g. infra verticem A . Et quoniam triangulum
215쪽
SECTIONUM CONICARUM A QRΚr addito , vel dempto communi tramistio VSOR. fiet triangulum P VR aequale trapetio ASVΚ. Sed , propter aequalitatem triangulorum XEΚ , X AI, superius ostensam , trapetium ASVΚ est aequale parallelogrammo EUSI. Qua te etiam triangulum P VR aequatale erit parallelogrammo EUSI. vi. VI. His praemissis, facile modo erit,oliendere , quod sit diameter quoque parabola reis
Ea qualibet , dulpa aquidistanter diametror: T principali . Ut enim talis esse possit, duo qui-
dem requiruntur. Primum , ut bisecet rectas
omnes , alicui aequi distant et ductas , & utrinisque ad parabolam terminatas . Deinde ut quadrata ex semissibus istarum rectarum sint, ut ipsius portiones correspondentes. Jum horum utrumque facili negotio deis x monstrabitur. Quantum enim ad primum , sit
Fi*' ''I tecta quaevis , ducta aequidistanter diame-- tto prinei pali AB ; eaque bisecet in O subtemsam A M. pertinentem ad verticem A ejusdem diametri . Dico, eandem EF secare quoque hiis fariam in v quamvis aliam rectam P P , quae ipsi AM parallela , utrinque ad parabolam teris
Positis enim omnibus, ut supra erit
utrumque triangulorum P VR , PVR aequalel parallelogrammo EUSI. Quare aequalia erunt inter se ipsa duo triangula PUR, PUR . Sed, eadem triangula , velut similia , sunt, ut quadrata laterum homologorum P v, PV. Itaque
latera isthaec homologa Pu , PU erunt pariter aequalia ; S consequenter tota P P bifariam secta erit in v.
216쪽
ELEMENTA. Is VII. Quantum veto ad secundum , nec m. etiam maeuo labore opus est, ad illud ostenderedum . Maneant enim omnia adhuc , ut supra.
Et dico insuper , quadrata ipsarum AO . P veste inter se . quemadmodum sunt portiones correspondentes EO , EV. TIG. asinu in enim triangulum AOΚ ostensum δ' sit aequale parallelogrammo EOAI ,& trianis gulum P VR aequale parallelogrammo EVSI; erit . ut triangulum AOΚ ad triangulum PUR , Ita parallelogrammum EOA I ad paralis is logrammum EVS l. Iam vero,ob similitudinem triangulorum
AOR , PUR , triangulum AOΚ est ad triangulum P UR , ut AD quadratum ad PU quadratum. Itemque, ob communem altitudinem
parallelogrammorum Eo AI, EUSI, parallelogrammum EORl est ad parallelogrammum EvSI, ut Eo ad EU . Quare erit ex aequali. ut Ao quadratum ad P v quadratum, ita Eo ad Evis VIII. Non inficior, illud hic a nobis assumis vrii. Ptum esse, ut rem, quae intra parabolam sib- '. et 'ien' dueitar aequidistanter intrinque ad ipsam DM-- -- 'parabolam terminetar. Sed facile erit , tum : is istud ostendere , tum alia etiam ratione probata trinque 'die, quod recta omnes . ipli AM aequid istantes , ct utrinque ad parabolam terminatae , bi- FIO. δ fariam se centur a recta EF. Jam enim de rectis , quae ducunt ut intra . segmentum parabolicum AEM , tes est. extra omnem dubitationis aleam posita . Itaque ducatur extra illud segmentum recta quaevis
217쪽
ist StCTIO NuM CONICARUM currat parabolae tantum ex lina parte in P . Extendatur ea ad partem aliam versus V , Scfat P aequalis ipsi P V . Ostendendum est, hoe aliud punctum P esse etiam in parabola. Ponantur omnia , ut supra . Et quoniam duae P vi v P inter se sunt aequales; erit trianis gulum Pu R. ad unam partem existens, aequale triangulo PVR , quod existit ad partem alteram. Sed illud propter parabolam , est aequale parallelogrammo EvSI, sive etiam trapetio ASvΚ. Quare eidem trapetio ASvΚ hoc etiam aequale erit : & propterea utrumque triangulorum P S erit aequale corresponis denti parallelogrammo AQRΚ ; eritque adeo,
ut triangulum PQS ad triangulum PQS , ita parallelogrammum AvΚ ad parallelogram. mum A QRΚ. Jam , ob similitudinem triangulorum
PQS , P , triangulum PQ est ad trianguis tum PQS , ut PQ quadratum ad PQ quadratum; itemque, ob eandem altitudinem paralle
logrammorum AQRΚ, AQRΚ, parallelogrammum A QRΚ est ad parallelogrammum A QRΚ, ut est A Q ad A Q. Quare erit exaequali, ut PQ quadratum ad PQ quadratum. ita Adad AQ: S propterea , scuti punctum unum P est in parabola , sic etiam locabituriae in p/rabola punctum aliud P.
I. a .. IX. Non ergo dubitari potest,quin recta EF.
et ducta aequi distanter diametro principali AB.Wistata inis sit etiam diameter parabolae . Nam, S bifariam . .mia dividit rectas omnes, quae subtensae AM aequiis distantes , utrinque ad parabolam terminantur. Et quadrata ex semissibus istarum rectatarum
218쪽
ELEMENTA. , sprum servant inter se eandem rationem , quam habent correspondentes portiones ipsius EF. Sed facile erit etiam ostendere , quod
prater eos, qua ducuntur aqui distanter diametro priticipali, valla alis recta linea post eis se diameter parabola . Ut enim recta aliqua ense queat parabolae diameter , illud primo requiritur, ut bifariam secet rectas omnes,alicui aequi distanter ductas , Eli utrinque ad pacabolam terminatas. Unde, si ostendi possit accidens istud iis tantummodo rectis competere . qua ducuntur aequidistanter diametro principalii jam veritas ejus , de quo agitur, liquido comstabit. Id vero ostendetur in hunc modum . Sit pio . a. TY recta positione data , cui debent esse Parallelae eae omnes, quae bifariam a diametro di- , viduntur. Jamque , si ea parallela est ordinatis
diametri principalis AB ; secabit diameter ista AB bifariam rectas omnes, quae ipsi TY aequi-
distantes, utrinque ad parabolam terminantur
Quod si autem recta TY non sit parallela ordinatis diametri principalis AB; per ea, quae ruperius ostensa sunt, semper ex vertice Aduci poterit tecta alia AM , quae illi parallela, parabolam secet in alio puncto. At rectas omnes, ipsi AM aequid istanter ductas,& utrinque
ad parabolam terminatas , ut modo vidimus.. non alia hi secat recta , quam quae parallela est
diametro principali AB , & bifariam dividit subtensam ipsam A M.
X. Caeterum theorema , hoc capite a Nobis x. Uressam pro determinaudis aliis parabola dia- ,Σ -- metrii, colligi etiam potest ex eo, quod superiu=-. i.-
219쪽
aco SECTIONUM CONICA Ruripum eo, C demonstravimus, tum in ellipsi , cum iu h,perbola , pro definiendis harum curvarum diameis
Iis. M. Tam enim in ellipsi, quam in hyperbola, ιν - φ/- posito, quod AB sit diameter principalis , Scri- a 3 eentrum punctum C, si EF sit recta quaevis 3 ' per centrum ducta , quae bisecet in O subtensam AM , pertinentem ad verticem A , & deis missa ad diametrum AB ordinata EG, huic per punctum O parallela agatur OL; erit,ex superius ostensis, ut CL ad CG , ita CG ad CA;
atque adeo subducendo , vel antecedentes ex consequentibUS , vel consequenteS ex antecedentibus , erit etiam, ut CL ad GL, ita CG ad AG.
Jam,abeunte in infinitum puncto B, altero diametri vertice, tam ellipsis , quam hyper-hola vertitur in parabolam . Et, quia in infinitum etiam abit centrum C , quod hi secat diametrum AB r quemadmodum duae AC, ECparallelae fiunt inter se s sic utraque ipsarum CC, CL infinita evadet. Unde, quum earum differentia CL sit finita , eaedem erunt aequales inter se: Sc propterea , quum sit, ut CL ad
GL , ita CG ad AG; etiam AG ipsi GL aequalis erit,c- ,... conscctoria ejusdem theorematit correspondent quoque iis , quae in ellipsi , O re. u. Dperbula ex eodem illa theoremate deduximar. - ..ia is Nam,ubi centrum C in infinitum abire suppo- usui , Initur , quemadmodum parallelae fiunt duae . ιι- AC , EC ; sic omnia illa trapetia , quibus ae- . p . . . quali demonstravimus correspondentia trianis 3 gula, in parallelogramma totidem vertuntur.
220쪽
ELEMENTA. aol Atque hinc etiam vera ratio elucescit,cuae
in parabola diametri omnes inter se sint paralis
lae . Nimirum, quia in ea centrum est in infinita distantia a vertice principalis diametti, adeoque ejus diametri convergunt ad punctuna, insinite distans ab eodem vertice. Sed ex eo , quod centrum in parabola stin infinita distantia avertice diametri principalis, liquet quoque, tu eadem curva non posse locam habere conjugatorum diametrurum conis semplationem ; quippe quae suas positiones hahent similiter in infinita ab eodem vertice diastantia. In posterum ergo considerabimus parabo istam , non modo , ut ellipsim , ct hyperbolam, cujus diameter est infinitae longitudinis v rum etiam, ut e lipsim , , onerbolam , cujureentrum est in in ita distantia a vertice diametri . Nam, utraque consideratione parabomiae proprietates ex iis , quae ellipsi, & hyper-holae competunt, deducuntur.
Diametrorum parabolae communia quaedam o enduntur.
I. V X ita, quae ostensa sunt in capite
s a praecedentis abunde liquet, para-holam , praeter eam diametrum, quam in ipso cono sortitur , alias etiam innumeras habere,' quae omnes Parallelae sunt, iam inter se, quam