장음표시 사용
221쪽
ao, SECTIONUM CONICA Ru M ... cum ipsa diametro principali. Sed communi, harum diametrorum operae pretium est . ut
* --' paulo d istinctius piosequamur. Quem in finem parabolae AM sit AB diameter principalis , & EF alia quaevis diameter. Primo igitur , quemadmodum diameter principalis AB suas habet ordinatas ; ita suis
quoque refertur ordinatis diameter alia EF. Sunt autem , ex ostensis . ordinatae istae tectae illae omnes , quae ducuntur aequi distanter su histensae AM, quam ab ipsa EF suppono bis eiam in puncto O.
Deinde , quemadmodum quadrata ordia natarum diametri principalis AB sunt inter
se , ut portiones ejus correspondentes , a vertice sumptae , ita & quadrata ordinatarum alterius diametri EF proportionalia sunt correis spondentibus ejus portionibus, similiter a veristice sumptis. Unde porro, si per verticem E ducatu erecta Eld ordinatis aequidistanter, quae sit talis longitudinis , ut quadratum unius ordinatae AO sit aequale rectangulo HEO , vocari poterit recta ista EH parameter diametri EF , &erit quadratum cuiusvis alterius ordinatae Pusimiliter aequale rectangulo HEU. c.--- Haec quum ita sint, perspicuum est.
- - ni cmner illas proprietates , quae parabola competunt relate ad diametrum principalem , obtine ara pia adi re etiam . quum ad aliam quamvis diametrum
a T. . parabola ipsa refertur. Fio. g. Hinc ulterius , sicuti describitur parabola in plano . per solas rectarum longitudines
data diametro principali AB cum magnitudi-
222쪽
ELEMENTA. xo ine, & positione parametri AD , quae ad ipiam
refertur ; sic etiam deseribi poterit eadem parabola , ubi una cum alia quavis diametro EF magnitudine, & positione datur illius parameter EH. Et si euti recta AD , ducta per verticem A ipsius diametri principalis AB aequi distanter suis ordinatis, contingit parabolam in solo puncto A, ita etiam recta EH ducta per vertiis eum E alterius cujuslibet diametri EF , similiis ter ordinatis suis aequi distanter , dumtaxat in puncto E tanget parabolam. Quin imo , sicuti omnis alia recta , quae ducta ex eodem vertice A, angulum constituit cum AD, non solum in A, sed in alio quoque puncto secat parabolam et sic pariter quaelibet alia recta , quae ducta ex eodem vertice E, anis gulum continet cum EH, non modo in E , verum etiam in puncto alio occurret eidem parabolae,
Unde etiam , si in plano ipsus parabola detur positione recta aliqua . quae non sit parallela ordinatis cuiuslibet alterius diametri EF , semper ex vertice Educi poterit recta alia , quae ei parallela , parabolam secet in alio Puncto , quum non aliter esse queat illi parallela, nisi angulum contineat cum EH. III. Sed his, ita se habentibus, liquet quom ni. que, quod sicuti ex diametro primipali transire licuit ad alias diametros; sic vicissim ex qua- Iibet alia diametro, tam ad ip am principalem, sum M. i. cum ad alior omnes progredi licebit. . 'Π' Nam semper ac eaedem sunt diametrorum x *' 'omnium Proprietates, theorema illud funda
223쪽
ae SECTIO NuM CONICA Ru Mmentale , quod praecedenti capite ostensum est relate ad diametrum principalem, poterit eadem omnino ratione demonstrari de quavis alia diametro EF. Itaque, si ducat ut recta at qua AB, diameisito EF aequid istanter , quae bisecet in G subtensam PE, pertinentem ad verticem E; & deis missa ad diametrum EF ordinata PU, huic per punctum G parallela agatur GR; duae ER,
R aequales erunt inter se. Unde , quum omnes illae aequalitates triangulorum . parallelogrammorumque, quas superiori capite prosecuti sumus relate ad diametrum principalem, obtineant quoque respectu ipsi iis diametri EF ; facile erit ostendere, tectam illam AB esse diametrum quoque i
sus parabolae. Inde enim conficitur, ipsam AB secare bl-fariam rectas omnes,aequi distanter ductus subistensae PE , ct utrinque terminatas ad parabo Iam I itemque quadrata ex semissibus istarum rectarum proportionalia esse correspondentibus portionibus ipsius AB, sumptis a termino A. iv. IV. Habent igitur omnes aliae parabolaratis diametri easdem omnino proprietates cum diam Hera. metro principali 3 R ex qualibet earum,tum au' ipsam principalem , cum ad alius omnes pro- . M/ gredi licet. Sed parabolae diametri, praeter' hactenus recensitas proprietates , plures a uox communes habent, quas non abs re erit hic breviter ostensas exhibere.
Ac principio quidem illud nobis est ostendendum, quod qualibet diameter para
224쪽
ELEMENTA, Eorboia rumore alias rectus, utrinque ad curvam rerminatas. dividat bifariam , quam qua ordinatim ad ipsam diametrum applicantur. Sit enim AB parabolae AM diameter quaevis , sitque etiam AD recta illa , cui omnes ejus diametri ordinatae sunt parallelae. Ducatur in parabola recta P P , quae utrinque ad
curvam terminata , non sit ordinatim applicata diametro AB . Dico , eam ab ipsa diametro AB non posse secari bifariam. Si enim fieri potest , secetur recta PP a diametro AB bifariam in S . Et quoniam ea non est parallela ordinatis ipsius AB; ex superius ostensis, duci poterit per verticem A recta alia . quae ipsi P P parallela , parabolam secet in alio puncto . Ducatur itaque recta ita , &st A M. Tum, bisecta ea in puncto O, ducatur per punctum istud recta ER, ipsi AD parallela. Quia igitur recta EF ducta est aequid iis stanter diametro AB , S hi secat in O subtenissam AM , pertinentem ad verticem A ; per superius ostenta . secabit quoque bifariam in Urectam PP, ipsi AM parallelam . Sed ex hypothesi recta P P secatur bifariam in S. Quare ea dem P P bisecta erit, tam in puncto S , quam in puncto V. Quod fieri non potest.
V. Ex eo autem , quod quaelibet diameter parabolae eas tantum rectas , utrinque ad curvam terminatas, bifariam dividat, quae ordinatim ad ipsam diametrum applicantur; sequitur Per contrarium, ut si aliqua parabolae diameter hisecet rectam aliquam , utrinque terminatam ad parabolam , hac esee. debeat diametri illius ordinat .
225쪽
1 es SECTIONUM CONICA Ru MUnde ulterius consequitur , ut si recta liqua hisecet alias duas aequi flantes . erutrinque ad parabolam terminatat , ea me debeat diameter ipsius parabolae , atque adeo cui cumque alteri diametro parallela . Nam aliter, ducta per punctum hi sectionis unius ex rectis te quid illantibus recta alia, cuivis diametro parabolae parallela , haec velut diameter bisecabit quoque rectam allam 'se quid istantem . Quod fieri non potest. Id veto quum ita sit, facile erit, cujuslibet datae parabolae diametrum ali quam reperiis
re, O consequenter positionem determinare omisnium aliarum diametrorum . Neque enim aliud fieri debet, quam ducere intra datam parabolam re et as duas aequi distantes , ct utrinque ad curvam terminatas . Nam, sicuti recta, quae eas bifariam dividit, diameter erit parabolae; ita & eadem positionem omnium alia rum diametrorum exhibebit. vi. VI. Speciatim in omni parabola reperire M/ licet diametrtim , quae cum fuit ordinatis restor
δoia remiso angulor conjltitiat. Inveniatur liquidem ipuus
datae parabolae diameter quaevis EF , sitque ramis ava- EH recta illa , cui omnes istius diametri ordi- ... r- natae debent esse parallelae . Jamque, si angulus Du ----- FEH fuerit rectus, etit ipsa EF diameter opta-kio. s. Quod si secus contigerit, inveniemus diametrum, quam quaerimus, sequenti ratione. Super diametro EF ex vertice ejus E perpendicularis erigatur EP . Et quoniam ea angulum continet cum EH, cui parallelae sunt ipsius EF ordinatae I per superius ostensa, necessatio secabit parabolam in puncto alio P.
226쪽
Seeetur ergo PE bifariam in G , S ducta per punctum illud recta AB, ipsi EF parallelas erit
AB diameter, quam quaerimus. Quod enim AB sit diameter parabolae; id liquet ex eo, quod parallela sit ipsi EF, quae ex constructione est parabolae diameter. Quod
autem cum suis ordinatis reEtos angulos consti tuat; patet etiam abunde. Nam ordinatae ejus
parallela: sti ni tectae PE, quam ipsa dividit hiis fariam :& propterea . sicuti rectus est angulus P EF ; sic etiam , propter parallelas AB , EF, rectus erit angulus PGB. VII. In qualibet igitur parabola existit vir.
diameter, quae rectos cum suis ordinatis anguisios constituit. Diametrum istam vocabimus- .isonis
in posterum axem ipsius parabolae . Et facile erit ostendere , quod in omni parabola nonnisissicut axis reperiatar. Si enim fieri potest , parabola AM , prae- Fio. s. ter axcm AB, habeat quoque axem alium , qui sit EF . Et quoniam duo isti axes, velut para-holae diametri, inter se sunt parallelis illae eae isdem rectae , quae uni axi perpendiculares sunt,
erunt etiam normales ad axem alterum. Id vero fieri non potest . Quum enim uterque axis cum ordinatis suis rectos anguis Ios constituat; eaedem erunt utriusque axis ordinatae . Quare illa eadem recta , quae utrinisque ad parabolam terminata , dividitur hi fariam ab axe uno , hi secabitur quoque ab axe altero. Quod plane repugnat. VIII. Jam , ut aliqua dicamur de angulis, um. quos alia parabula diametri cum ordieatir fuiseoasii tuam , sit AB axis ipsius Parabolae . Et
227쪽
1 et StCTIONUM CONICARUM in mi eaem diicta ex vertice ejus A subtensa quavis AM, sit EF diametet , quae bisecat in O subtensam
earumne. istam, eamque velut suam ordinatam agnoscit.
Fio, S. Quia igitur AB, EF, velut parabolae diametri , inter se sunt parallelae, erit angulus BAM aequalis angulo AOE , quem diameter
cum ordinata ad plagam unain constituit. Unis de aliae parabolae diametri eum ordinatis suis, saltem ad partem unam , non alios angulos continebunt, quam quos subtensae, pertinentes ad verticem axis,cum ipso axe constituunt. Nullum vero horum angulorum rectum esse posse, sed quemlibet acutum existeret jam exinde consequitur,quod perpendiculariS,ere- et a super axe ex vertice eius . velut parallela ordinatis ipsius axis , tota extra parabolam camdat . Eosdem autem minores semper, ac minores fieri, prout longitudo earum subtensarum maior semper , atque major evadit a notius est, quam ut ulla egeat demonstratione. IV IX. Sed , ut ad communes diametrorum proprietates rursus revertamur , illud etiam omnibus accidit, ut ordinatae, quae ad duas,ti vim quascumque diametros ab alternis earum ver-
si licibus ducuntur, aquales ex ipsis diametria
is pore; .is a portiocles abscindant.
Sint enim AB , EF duae quaevis diametri' parabolae AM . Et ducatur ex vertico E ordinata EG ad diametrum AB , & ex vertice Aordinata AO ad diametrum EF. Dico, portionem AG aequalem esse portioni EO.
Extendatur ordinata una AD usque donec occurrat parabolae ad partem alteram in
M ; tumque agatur per punctum D recta OL, ipsi
228쪽
ELEMENTA. ,oyipsi EG parallela , quae conveniat cum diameistro AB ut punito L. Et quo mam iii bienti AM pertinet adverticem A , eaque dividitur bifariam per rectam EF, ductam aequi distanter diametro AB; duae AG , GL, ex luperius ostensis , aequales erunt inter se. Sed, ob parallelogrammum EL, aequales quoque sunt duae GL, EO. Quare etiam AG ipli Eo aequalis erit. X. Huius autem proprietatis ope , facile erit, cujuscumque parabola diametri positio-uem suarum ordinatarum definire. Sit enim AB diameter , cujus ordinatae quaeruntur. Ducatur intra parabolam recta quaevis PP , quae utrinque ad ipsam terminetur . Tum , lecta ua bifariam in V, agatur per
punctum istud V reeta EF , diametro AB pa
Dueatur porro ex vertice A recta AM, ipsi P P aequi distanter , quae diametro EF occurrat in o. Et, siquidem ex AB abicindatur portio AG aequalis portioni EO, jungat utque EG, erit EG ordinata ipsius AB. Si enim EG non lit ordinata ipsius AB, sit eius ordinata recta EH. Et quoniam ad diametros AB, EF ex alternis earum verticibus ductae simi ordinatae Eld, AO; per proprietatem jam ostensam, portiones duae AH , Eo aequales erunt inter se. Sed ex consstructione eidem Eo aequalis est portio AG . Quare erunt Piriter aequales inter se duae AG, AH . Quod
fieri non potust. XI. Omnium quoque diametrorum Para
bolae commune est, ut si per aliquod parabolae m. I. O pun
229쪽
38. xio SECTIONUM CONICARUM ponetam recta dua dueantur , quarum uua pertineat ad terticem alicujus diametri, altera sit ei parallelari eae abscindant ex qualibet diametri ordinata portiones duas , qua rectanea in um cout incat,aequale quadrato ipsius ordinatae. Sit enim AB diameter aliqua parabolae
A M. Et, ductis per punctum quodvis E ipsius parabolae rectis A X , EZ , quarum prior Axpertineat ad verticem A , altera is ipsi diameistro parallela , conveniant eae cum aliqua ejusdem diametri ordinata MN in punetis P , &o. Dico, rectangulum PNQ aequale esse quadrato ipsius MN. Ducatur si quidem ex puncto E ad ea nisdem diametrum AB ordinata alia EG; eritque, propter parabolam , ut EG , sive QN quadratum ad MN quadratum , ita AG ad AN . Sed
que erit ex aequali, ut QN quadratum ad MN quadratum, ita QN ad PN: & propterea, quum tres rectae QN , MN, PN sint continue
proportionales 3 erit MN quadratum aequale rectangulo PN Q. Patet autem , hujusmodi communem diametrorum omnium parabolae proprietatem correspondere ei, quam postremo loco, tum in ellipsi, cum in hyperbola superius demonstravimus . Nam , ubi punctum B , alter diametri vertex , in infinitum abire supponitur, quemadmodum , tam ellipsis , quam h vperbola vertitur in parabolam , ita recta Bx , conis vergens ad punctum B , abit in rectam aliam, diametro AB parallelam. XII. Denique omnibus etiam parabolae
230쪽
RLEMENTA. a II diametris accidit, ut si ad aliqdiam ex iis trer xv. ordinata continue proportionalet demittantur, quarum extremae tendunt ad contrarius partes ,
recta, conjungens terminor istarum, transire de- iabeat per punctum diametri , cui ordinata me. M .dia correspondet. Fi Q. T. Sit enim AB diameter aliqua parabolae Aia, ad quam demittantur tres ordinatae E G. MN , HL , ita ut ipsarum extremae EG , HL tendant ad partes contrarias . Dieo , rectam Ela , conjungentem terminos istarum, transire per punctum N . cui correspondet ordinata media MN. Est namque , propter parabolam , ut EG quadratum ad MN quadratum , ita AG ad AN. Et similiter , ut MN quadratum ad HL quadratum , ita AN ad A L. Quare, sicuti tret ordinatae EG, MN, HL sunt continue proportionales I ita erunt etiam in continua proportione tres abscissae AG , AN . AL, quae cum
quadratis earum ordinatarum eandem habenerationem
Quum ergo AG sit ad AN, ut est AN ad AL ; erit dividendo , ut G N ad AN, ita LN ad AL et & permutando , ut G N ad L N. ita AN ad A L. Sed AN est AL , ut MN quadratum ad HL quadratum . sive etiam , ut EG ad HL . Quare erit ex aequali , ut G N ad LN, ita EG ad HL: proindeque , quum duae EG .HL parallelae sint inter ie , reeta Eld transibit Per punctum N. XIII. Sed conversum hujus proprietolis xiii
pariter obtinet. Nimirum, quod si ducatur intra parabolam recta quaevis Eri , quiae oco a curis