Elementa sectionum conicarum conscripta ad usum Faustinae Pignatelli ... auctore Nicolao De Martino ... tom. 1. 2.

231쪽

Fio. Eix SECTIONUM CONICA Ruri currat parabolae quidem in punctis E , Se H, alicui autem ex ejus diametris AB in puncto N; ordinata MN, huic puncto correspondens, sit media proportionalis inter ordinatas EG. HL , quae ex iis punctis super diametro AB

demittuntur.

Si enim EG non sit ad MN , ut est MN

ad HL; capiatur ad eandem partem cum H Lordinata alia XI, quae sit tertia proportionalis post duas EG, MN . Itaque, per proprietatem jam ostetissem, recta RE transibit per planctum Ni ct propter ca, vel idem habebit segmentum cum dicta EF , quae similiter transit per punctum N , vel cum ea spatiunt comprehendet. Quorum utrumque reptignat.

Non igitur esse potest , ut EG ad MN, ita MN ad XI. Quare erit, ut EG ad MN, ita MN ad HL : ct propterea tres ordinatae EG,

MN, HL continue proportionales erunt. Sed, quemadmodum sunt continue proportionales tres ordinatae EG, MN,HL; ita quoque erunt in continua proportione tres ab se istae AG , AN, AL: quippe quae , ob parabolae naturam, cum quadratis earum ordinatarum eandem habent rationem. Ll-Disilip Cooste

232쪽

ELEMENTA. Ei

LIBER IU.

De Mutua Diametrorum, Parametrorumque Compa

ratiorae. BEmonstravimus praecedenti libro , coni

cas sectiones , praeter eam diametrum, quam in ipso eo no sortiuntiar, innumeras alias habere . quarum quaelibet , ad instar principatalis, suam quoque parametrum habet. Sed non abs re erit, inter se mutuo conferre, tum ipsasseetionum conicarum diametros, cum param metros earundem . Itaque de mutua ista diametrorum , parametrorumque comparatione agendum nobis erit hoc libro.

Ellip iae diametri omnes interis mutuo compararatur.

I. v T idimus superius , in qualibet et I - g. v psi hinas diametros extare , quae

cum ordinatis suis rectos angulos constituunt. Binas hasce diametros vocavimus axes ipsius ellipsis . Et demonstravimus quoque, elis minia

lipsim abire in circulum , quum duo Ljua Qxes p i is sinter se sunt aequaida.

233쪽

id SECTIO NuM CONICA Ru MId quum ita sit , omnino necesse est , ut ex duobus axibus ellipsis unus quidem sit major, alter vero minor. Sed facile erit etiam ostendere. diametrorum omxium ellipsis maximam quidem esse axem majorem , mi imam v

ro axem minorem,

Ellipsis enim AR BL sit AB axis major.& ΚL axis minor. Sit autem EF alia eius diameter . Dico , allam istam diametrum EF minorem esse axe majore AB, majorem vero axe minore XL.

Demissa siquidem ad axem majorem Asordinata EG ; erit. ob naturam ellipsis, ut ΚL quadratum ad AB quadratum , ita EG quadratum ad rectangulum AGB. Sed XL quadratum minus est quadrato ex AB . Quare etiam EG quadratum minus erit rectangulo AGB. Hinc . apposito communi quadrato ex CG . erit pariter CE qu dratum minus quais drato , quod fit ex CA : ' propterea , sicuti CE minor est, quam C A ; ita quoque erit EF

minor, quam AB. Eadem ratione , demissa ad axem minois

rem XL ordinata EI; erit, propter ellipsim, ut AB quadratum ad XL quadratum , ita EI quadratum ad rectangulum Ri L . Sed AB quadratum majus est quadrato ex ΚL . Quare etiam EI quadratum majus erit rectanguis

Hinc, apposito communi quadrato ex Ct, erit pariter CE quadratum majus quadrato, quod fit ex CR : ct propterea . scuti CL major est , quam CR . ita quoque erit EF m ior, quam XL. II. Nul-

234쪽

RLEMENTA. RITII. Nullo itidem negotio ostendi pote stiquod omnium aliarum diametrorum illa quidem sit major , quae vel minus di flat ab axe maiore, vel magis recedit ab axe minore. Quum enim CA quadratum sit aequalere ingulo AGB una cum CG quadrato , &CE quadratum sit aequale duobus quadratis EG, CG ; erit excessus , quo CA quadratum superat CE quadratum, aequalis excessui . quo rectangulum AGB superat EG quadratum. Quia autem rectangulum Ata B ad EG

quadratum datam habet rationem , habebitidem rectangulum AGB datam quoque rationem ad excessum ejus supee EG quadratum: proindeque , quum minuitur rectanguintum AGB, necesse est, ut ille pariter excessus

minuatur.

Hinc etiam excessus , quo CA quadratum superat CE quadratum, minor fiet, quotiescumque minuitur rectangulum AGB . Et inde liquido patet , diamet tum EF eo esse majorem , quo minus distae ab axe majore AB. Nam minui nequit distantia ista . nisi simul minuatur quoque rectangulum AGB.

ostendi id ipsum potest , adhibito axe minore XL . Quum enim CE quadratum sit aequale duobus quadratis El, CI; & CR quadratum sit aequale rectangulo NIL una cum CI quadrato i erit excessus . quo CE quadratum superat CR quadratum, aequalis excessui, quo quadratum ex EI superat tectangulum RIL Quia autem data est ratio inter EI quadratum . Sc rectangulum RIL , dabitur etiamo rari Ea diam is pia alli avia maior

235쪽

diis SECTIONUM CONICA RuM ratio inter excessuin, quo EI quadratum superat rectangulum XIL . & ipsum rectangulum Et L et pro indu que , quum augetur rectangulum illud , necesse est, ut ille pariter excessus

augeatiar.

Hinc et om excessus , quo CE quadratum iu perat CR quadratum , major i ut, quo tiescumque augetur rce angulum RI L. Et inde liquido patet , diametrum EF eo esse majorem , quo magis distat ab axe minore R L. Nam augeri nequit dillantia illa , nisi simul liugeatur quoque rectangulum Ri L. iri, Id. Ellinsis ivitur diametri in recessu ab

tiuntur diminutionem , quum maxime distant Nisi ex ver. ab axe majore, hoc est , quum ad axem minorem perveniunt. Interim , dum eae minuuix e M tu ' tur , augentur ipsarum conjugator . Quod ut

liquido constet . ostendendum est prius se-F1G. I. quens theorema. Nimirum, quod si copia utur in ellipsi bina quatis contogatae diametri , eae dividantur in eadem ratione ab ordinatis, qua super iit demittunt tir ex Terticibas duartim quarumvis aliartim similiter coniugatartim diametroriam. Neque vero dissicile crit, theorema istud ostendere, si eorum recordemur, quae superius ostensia sunt. Ellipsis enim AR BL sint AB. XL duae quaevis conjugatae diametri . De mittantur ad eas ordinata: EG , PQ ex verticibus duarum quarumvis ali avium similiter conjugatarum diametrorum EF , PR . Dico,

fore, ut AG ad AG. ita LQ ad Κ Q. Ducatur si quidem ad diametrum EF oris

236쪽

dinata AD. Tum per punctum O agatur recta OS , ipsi EG parat: ela . Et jam CN ad CQ rationem habebit compositam ex CN ad CP , Scex CP ad C Sed CH est ad CP . ut l(L ad PR, sive etiam , ut EG ad AO ; itemque CP est ad CQ, ut AO ad OS . Itaque erit CT ad CQ in ratione composita ex EG ad AO, & ex AO ad OS.

Et quoniam duae illa: rationes componunt Pariter rationem , quam habet EG ad

OS, sive etiam CE ad CO ; erit ex aequali, ut CX ad CO. ita CE ad CD ; & convertendo, ut CΚ ad N ita CE ad Eo . Sed , sumptis antecedentium duplis , XL est ad N Q , ut EF ad EO . Quare dividendo erit, ut L ad XQ. ita FO ad EO : & propterea, quum FG sit ad EO . ut est BG ad AG ; erit rursus ex aequali,

IV. Ex isto autem theoremate prono alis iv.-o fuit , quadratum quidem ordinatae EG es- , se aequule rictangulta mL quadratum vero ordi iratae P aequale esse rectangulo AGB. 25, 2 Quum enim BG sit ad AG , ut est Lo ad

N erat Componendo, Ut AB ad AG, ita natar M.

XL ad RQ. Unde , quia permutando AB est Fio. i. ad XL . tam ut AG ad X , quam tit BG ad LQ ; compositis rationibus, erit . ut AB quadratum ad XL quadratum , ita rectangulum ACB ad tectangulum Κ L. Jam, propter elliplim, AB quadratum est ad XL quadratum , tam ut rectangulum AGE ad EG quadratum , quam ut PQ quadratum ad rectangulum X . Quare ex aequali , Priamo quidem erit, ut rectangulum ACB ad te

237쪽

x t SECTIONUM CONICARUM ctangulum ROL, Ita idem rectangulum AGBad EG quadratum . Deinde vero . ut rectanis gulum ACB ad rectangulum X L , ita PQquadratum ad idem rectangulum X e &Propterea rectangulo quidem ΚQL aequale erit EG quadratum, rectangulo vero AGBerit aequale PQ quadratum. v. Atque hinc ulterius nullo etiam negotio deducitur, quadrata, quae fiant ex Hesreui eos diametris conjugatis . simul fumpta eandem abique summam consitaere . hoe est eam, quam quadrata duorum axium conficiant. Referant enim AB . XL axes ipsius elliapsis , ita ut ordinatae EG , PQ rectos cum iis angulos constituant. Ostendendum est igitur, quadrata , quae fiunt ex axibus AB , Κ L .aeis qualia esse quadratis , quae fiunt ex aliis coniugatis diametris EF, PR. Id vero ostendenius in hunc modum.

Quadratum ex CA est aequale rectangulo AGB una cum CG quadrato . Pariterque quadratum ex CR est aequale rectangulo XQL una cum CQ quadrato . Duo igitur quadrata CA . CΚ aequalia erunt duobus rectangulis AGB . ΚQL una cum duobus qua-d talis CG, C Quum autem rectangulo AGB ostensum sit aequale quadratum ex PQ. S rectangulo XQL aequale quadratum ex EG; erunt duo quadrata PQ . EG aequalia duobus rectanguisiis ACB . RQ Li ct ideo quadrata duo CA . CR aequalia erunt quatuor quadratis , quae

fiunt ex PQ. EG, CG , CQ. . dam ex quatuor hisce quadratis duo P

238쪽

ELEMENTA. t tyC iunt aequalia quadrato ex CP t alia vero duo EG, CG sunt aequalia quadrato ex CE. Quare eadem quadrata CA,CΚ aequalia erunt duobus quadratis CE . CP , atque adeo quadrata ex totis AB . XL, aequalia erunt pariter iis . quae fiunt ex totis EF, PR. I. Ex eo autem , quod quadrata , quaesiuet ex binis e lipseos diametris conjugatis,

semul sumpta, ea tam ubique summam consilia mimis in . tuant, facile modo erit ostendere id, quod no- his ab initio proposuimus et nimirum , quod ero inaes '

dum primaria diametri minuantur in ruma ab axe majore , via sim coriagata ipsaram astis

grantur. Maneant enim omnia . ut iupra, adeo

nempe, ut AB sit axis major ellipsis, XL avia minor, & EF diameter quaevis . Sit autem PReonjugata diametri hujus EF . Dico, non pota se diametrum EF minorem fieri , nisi ipsius conjugata PR vicissim augeatur. Nam quadrata ex ipsis EF . PR smul sumpta debent ubique aequalia esse quadratis, quae fiunt ex axibus AB . ΚL . Quare excessus . quo AB quadratum superat EF quadratum , erit semper requalis excessui, quo vicicsm PR quadratum superat XL quadratum S propterea nequit excessus ille augeri , nisi

iste pariter augeatur. Iam . tibi per recessum ab axe maiore Au minor evadit diameter FF . tunc augetur exincessus , quo AB quadratum superat EF quadratum . Quare in eodem recessu necesse est, Ut augeatur etiam excesim , quo PR quadra-

eum superat RL quadratum i S propterea ipsa PIL maje evadet. VII. Non

239쪽

SECTIO NuM CONICARUM vii. VII. Non igitur dubitari potest . quin in-2A -' terea ac primariae diometri minuuntur in re- et M e cessu ab hxc majore , vilissim conjugatae ipsarum augeantur . Inde autem , sicuti clare Pa- fmam eo irum tet accedere conivatos d. amet ror ad axem Fio. 8. mi Io fui uo primoria , ad quai Pelut convatin referuntur , ab eodcm axe recedunt , sic

etiam non obscure colligi possunt festientia

duo theore muta.

Nimirum primo, quod axis major AB ad axem minorem XL majorem d- beat rationem , quam diame er quaevis alia EF ad suam conjugatam PR.Quum enim AB major sit, quam EFf ha-hebit AB ad ΚL majorem rationem , quam EF ad ΚL . Sed XL minor est . quam PR atque adeo EF majorem habet rationem ad XL , quam ad PR . Itaque ratio , quam habet AB ad XL multo major erit ratione , quam habet EF ad PR. Secundo , quod diameter EF, axi majori

propinquior . maiorem habeat rationem ad suam coniugatam PR, qua in diameter L H, eodem illo axe remotior, ad conjugatum tuam

a Quum enim ER major sit, quam DH;

- habebit EF ad PR majorem rationcm , quum D H ad PR. Sed PR minor est, quum QS ; atque adeo DH majorem habet rationem ad PR, quam ad QS . Itaque ratio , quam habui EF ad PR multo major erit ratione , quam habui

VIII. Caeterum , ut alia quam plurima , locum habent in comparatione diametro

240쪽

ELEMENTA. mrum ell ssis, tum hic , cum iu sequentibus se. cilius prole qui valeamuS , juvat hic advertere, quod locus diametrorum omulum e ipsis perdati cujusdam circuli portionem piissit exhibe, i. Referant namque rectae duae AC , BC axes ellipsis , hoc est AC axem majorem , ScBC axem minorem ; junctisque iis ad angulos rectos , describatur su per AB semicircillus ACB , & agatur per punctum C recta CD,

ipli AB parallela , quae occurrat circumserenistiae ad partem alteram in D . Dico, portionem eiusdem circumferentiae CED considerati posse veluti locum omnium diametrorum elislipsis . Primo enim ex superius ostensis,quaelibet ellipsis diameter debet esse minor uxe majore AC , & major axe minore BC , vel A D . Sed omnes rectae , quae ducuntur ex puncto A ad portionem circumferentiae CED , minores sunt recta AC , majores vero ructa AD . Itaque poterunt rectae istie omnes ellipsis diametros exhibere . Deinde , ostensum est quoque . quadrata ex binis ellipseos diametris conjugatis , simul sumpta , tequ dia esse quadratis axium AC.

BC . Sed , inclinatis ad punetiam quodvis Eejusdem portionis CED rccitis AE , BE , qua

drata istarum , vellit aequalia quadrato ex AB, nil aequant quadrata , quae fiunt ex ipsis AC, BC. Itaque, si AE referat diametrum aliquam primatiam ellipsis, erit BE ejuS conjugata. IX. Hoc Jacto principio , iam circa comparationem diametrorum ellipsis duo alia theoremata facillime licebit ostendere. Horum