Elementa sectionum conicarum conscripta ad usum Faustinae Pignatelli ... auctore Nicolao De Martino ... tom. 1. 2.

241쪽

Eas SECTIO NuM CONICA Ru M tne - -- primum est, quod rectangulum ex binis ecty---,o Deos diametrii conjugatis eo majus evadat, quop-- - magis ipse diametri ad aequalitatem accedantIF Q. f. En maximam si, ubi omniao inter se fuat

Ut enim rectae AC, BC reserunt axes elisi ipsis . sic rectae A E . BE referant binas ejus

diametros conjugatas . Dico, rectangulum AEB eo majus esse relate ad rectangulum

ACB, quo duae AE , BE minus a se mutuo differunt ; ct maximum fieri , quum eaedem AE, BE inter se sunt aequales. Demittantur si quidem super AB perpendiculates CF , EG . Iamque istarum quadrata Proportionaliis erunt rectangulis AFB . AGB, quae iis quadratia sunt aequalia. Sed rectangu- Ium AFB est ad rectangulum AGB in ratione composita ex AF ad AG . & ex BF ad BG. Itaque in hac eadem compolita ratione erit Pariter CF quadratum ad EG quadratum. Jam , assumpta communi altitudine AB, AF est ad AG. ut rectangulum B AF ad rectangulum B AG . sive etiam , ut AC quadratum ad AE quadratum. Et similiter, assumpta eadem communi altitudine AB , BF est ad BG, ut rectangulum ABF ad rectangulum ABG, sive etiam , ut BC quadratum ad BE quadratum. ouare CF quadratum ad EG quadratum habebit rationem compositam ex AC quadrato ad AE quadratum , ct ex BC quadrato ad BE quadratum. Hinc, capiendo latera omnium horum quadratorum , habebit quoque CF ad EG rationem compositam ex AC ad AE. S ex

242쪽

E L E M E N T A. BC ad BE . Sed duae istae rationes componunt itidem rationem , quam habet rectanguis tum ACB ad rectangulum AER . ouare erit ex aequali , ut CF ad EG , ita re et angulum ACB ad rectangulum AE B i ex quo facili negotio propositi theorematis veritas constat . . Alterum theorema est . quod summa T. qtioque ex binis ellipseos diametris conjugatis Aret 'eo major evadat , quo magit ipsa diametri ad .i. aequalitatem accedunt; ct maxima itidem sat, ubi om vino inter se fani quales. Maneant enim omnia. ut supra . Dico , F o. ao. summam ex diametris conjugatis AE , BE eo majorem esse relate ad summam axium AC . BC, quo ipsae AE . BE minus a se mutuo diseserunt 3 Sc maximam fieri, quum eaedem AE, BE inter se sunt aequales. Ex praecedenti theoremate rectangulum AEB relate ad rectangulum ACB ea quidem lege augetur. Itaque etiam duplum illius retae anguli eadem lege augebitur relate ad duo plum istius . Et, addendo iis commune quadratum ex AB , eadem pariter erit lex incrementi quadrati ex AB una cum duplo rectanguli AEB relate ad idem AB quadratum , auctum duplo rectanguli ACB. Guoniam autem AB quadratum est deis quale duobus quadratis AE . BE ; erit AB quadratum una cum duplo rectanguli AEBaequale quadrato , quod fit ex summa ipsarum

AE, BE . Et similiter. quia AB quadratum est aequale duobus quadratis AC, BC; erit AB quadratum una cum duplo rectanguli ACB aequale quadrato, quod fit ex ipiis AC, BC simul sumptis. Id

243쪽

a1 SECTIONUM CONICA Ru MId vero quum ita sit, necesse ost, ut eadem illa lege augeatur quoque quadra intum , quod fit ex summa iplarum AE , BE, relato ad quadlatum , quod fit ex ipsis A C. BC sinui sumptis i ct propterea eadum erit Pariter lex, qua summa ex coniugatis diameis tris A E, BE augetur relate ad summam axium AC, BC. xl. XI. Neque vero dissicile erit ostendere, dari in qualibet empsi /inas diametros conju--entiae clais Baias aequales inter se , ad quas quo motis accedunt stinae aliae conjugata, eo minui a se mutuo

-- disserant.. Ellipsis namque ARBL sit AB axis ma-Fio. 8. jor, & ΚL axis minor . Jungantur subtensae AN, AL , Et, bisectis iis in punctis O , ct v, agantur per puncta ista diametti EF, PR. Dico primo, diametros istas aequales esse inter se. Quoniam enim axis major AB secat ordinatas suas, non modo bisarium , vcrum ut iam ad angulos rectos ; idem axs adeo qu dem diis

videt ellipsim in duas partes ARB , ALB , ut

una alieti superimposita , congruent omnino. Sed in hac superimpositione congruunt etiam,

tum subtensae AΚ , AL , cum diametri EF, PR . Itaque binae istae diametri EF , PR aequales erunt inter se. Dico secundo earundent diametrorum EF, PR alteram alterius conjugatam esse. Jungatur enim subtensa alia B L. Et, ob axes AB,

XL bisectos in centro C , duae AΚ , BL parallelae erunt inter se. Sed , quum sit, ut A Uad V L, ita AC ad CB; eadem BL parallela est

244쪽

ELEMENTA. ab

Iola erit; & consequenter PR conjugata erit

ipsius EF. Dico denique , quod si DH . QS fuerint

binae aliae ellipsis conjugatae diametri; eae tanto minus a se mutuo differant, quo magis a

cedunt ad ipsas EF, PR . Nam , ex superius ostensis , si una DH minuatur in accessu ad EF , altera augebitur accedendo ad PR.

Et per contrarium si illa augeatur , hanc minui oportebit. 3XII. Nolim autem hoc loco reticere, quod is 3 S:. etsi tectangulum ex binis ellipseos diametris . coniugatis eo majus evadat , quo magis ipsae diametri ad aequalitatem accedunt , ct maximum fiat, ubi omnino inter se sunt aequales; attamen parallelogrammum, circa binas ellipsis equi , -- ooniugatas diametros descriptum , sit Uufrim vi.

tibique magnitudiuis , hoe est aequale femper Fio. so rectangulo , quod sub ipsis axibur coutinetur. Ellipsis enim AΚBL sit AB axis major, & ΚL axis minor. Sint autem EE , PR binae

eius conjugatae diametri. Ducantur per Pundia E. & F rectae QS , TU, ipsi PR parallelae; tum item per puncta P , Se R tectae TS.

aequid istantes ipsi EF : ita , ut circa diametros conjugatas EF , P R descriptum sit parallelogrammum QSTV . Dico, parallelogrammum istud aequale esse rectangulo, quod sub axibus AB. ΚL continetur. Demittatur , tum ad axem AB ordinata EG, cum ad diametrum EF ordinata AO. Et, ex superius ollensis , erit, ut EG ad AO , ita

XL ad PR; sive etiam , ita CR ad CP . Sed, demissis super CE,CP perpendicularis A I. EH, Tm. I. P. EG

245쪽

o g SECTIONUM CONICA Ru MEG est ad AO in ratione composita ex EG ad AI, & ex AI ad AO , hoc est in ratione comis

posita ex CE ad CA, & ex Eri ad CB . Quare

etiam CΚ ad CP rationem habebit compositam ex Eld ad CB , ct ex CE ad C A. Jam duae istae rationes componunt pariter rationem , quam habet Eld ad C A . Quare erit ex aequali, ut CΚ ad CP, ita Eri ad GA , ct propterea rectangulum ex CP in Eri , hoc est parallelogrammum PCEQ, erit aequale rem

eiungulo, quod fit ex CA in CR. Sed parallelograminiim QSTu est quadruplum parallelogramini PCE Q. & rectangulum sub axibus AB, Κ L est quadruplum rectanguli ACR.

Quare etiam parallelogrammum QSTV aequale erit rectangulo sub axibus AB , XL. xIir. XIII. Hinc vero plura deducuntur circa angulos, quos elii eos coujugatae diametri ocis

causae' cursu mutuo in centro constituunt.

: Nimirum primo , quod sinus anguli , sub

Mi Ohim duobus quibuslibet conjugatis diametris conis

no T. tent/ , sit radium , ut est rectangulum sub axibus ad id, quod sub ipsis diametris contiis

setur.

Postis enim omnibus, ut supra , sinus anguli ECP est ad radium, ut EH ud CE ; sive etiam , ut rectangulum ex CP in EH ad reisingulum ex CP in CE . Sed rectangulum ex CP in Eri ostensum est aequale rectangulo ACΚ : quod quidem est ad rectangulum ex CP in CE , ut rectangulum eae AB in ΚL ad rectangulum ex EF in P R . Quare erit ex inquisti, ut situs anguli ECP ad radium , ita rheiangulum ex AB in XL ad rectangulum ex EF in P R. Se-

246쪽

ELEMENTA. 25 3

Seeundo , quod sinus angulorum , quot coniugatae diametri occursu mutuo is centro constituunt, stat reciproce, ut rectasgula , quaesurumi ex ipsis diametrii cotiugatit. Jam enim ostensum est . quod sinus anguli , quem duae quaevis coniugatae diametri continent , sit ad radium . ut est rectangulum

sub axibus ad id, quod sub ipsis diametris

continetur. Quare , ex aequo perturbando. sinus anguli duarum conjugatarum erit ad sinum anguli, quem aliae duae conjugatae comis Prehendunt , ut est rectangulum illarum ad

id , quod ex iis efficitur. Denique , quod angulus acutus , sub M-nii ellipseos diametrii conjugatis comprehen- fur , eo minor evadat . quo magis ipfae diametri ad aqualitatem accedast; S minimus St, ubi omnino inter se funt aquales.

Nam, ex superius ostensis, rectangulum, quod binae ellipseos coniugatae diametri continent, eo majus evadit, quo magis eae diameistri ad aequalitatem convergunt. Sed ei rectangulo est reciproce proportionalis sinus anguli , sub iisdeni diamettis contenti. Quare per contrarium, tam sinus, quam ipse angulus acutus, ad quem sinus refertur, necesse est, ut eo minor fiat, quo magis conjugatae diametri ad aequalitatem accedunt,

247쪽

C A P. II.

Parametri diametrorum eluis Alta inter se mutuo coram

runtur. I. Comparatis inter se mutuo d a me. --. o tris ellipsis , sequitur, ut para meisitos i piartim ad invicem conferamus . Et primet ino quidem,q σm co*jugata fuerint eae diam tri, quarum poromctroi simul couferre oportet, T Tet: sacile erit, de iis parametris dijudicare.

uve sistis In parametris enim , quae ad duas diame

tros conjugatas referuntur , istud obtinet Flo. si . theorema, quod ipsae diametri continuam eum eis proportionem consituont, ubi inverso umdine inter illas collocautur.

nae ejus diametri conjugatae . Sit autem ADPura muter unius AB , & ΚI parameter alterius XL. Dico, diametros AB, Κ L, inverso ordine Positas inter suas parametros AD, RI , contiis

Duam cum eis proportionem constituere.

Quoniam enim XL est conjugata ipsius AB; erit, ut AD ad XL, ita XL ad AB. Et sita militer, quoniam AB est conjugata ipsiuisΚLserit ut XL ad AB . ita AB ad XI . Quare qua- tuor AD , XL , AB , Κ I continue proportio

nales erunt.

iii II. Hinc autem plura deducuntur etres poromtros, qua ad duas diametros conjugatos

248쪽

. ELEMENTA. ax, Nimirum primo, quod si duae conjug itae ad duas elidiametri AB , Κ L inter se sint aequales etiam, M'parametri AD , NI debeant esse aequales , tam---

inter se, quam cum diametris suis. pio e Secundo , quod si vicissi in duae eoniuga V a 'tae diametri AB, Κ L sint inaequales ; parametti quoque AD , Ni debeant esse inaequales, tam inter se , quam cum qualibet earum dia

metrorum.

Tertio , quod ex diametris AB , Κ L ea,

quae major est, habeat parametrum , tum ipsa, cum diametro altera minorem illa vero, quae minor est , parametrum habeat, etiam altera diametro maiorem.

Quarto , quod quum inaequales sunt diametri AB . XL , & inaequales adeo ipsarum parametri AD, Κ I, summa parametrorum major sit semper summa diametrorum. Et denique, quod si capiatur differentia , tam inter diametrum AB , & parametrum suam AD, quam inter diametrum ΚL , α suam parametrum XI; ea quidem disserentiast major, quae ad minorem diametrum , majoremque adeo parametrum refertur.

III. Ubi autem diametri non fuerint con- Iugatae , poterit de parametris ipsarum judicium ferri, ostenso prius hoc theoremate, quod si quadrato alicuius diametri figura ejus His, adjiciatur, famma,quae inde oritur,eadem ubique erit. Maneant enim omnia . ut supra . Dico , quod si ad quadratum diametri AB apponatur figura ejus . quae constituitur per rectangu

lum DABI summa, inde confecta , sit semper . . P 3 --

249쪽

agis SECTIO NuM CONICARUM eadem , quocumque in loco capiatur diameater AB.

Ex superius squ dem ostensis , eadem ubique summa conficitur, si ad quadratum diametri AB adjiciatur quadratum , quod fit ex ejus coniugata XL . Sed quadratum ex XL est aequale rectangulo DAB . Quare, si eidem AB quadrato apponatur reetangulum DAB , summa inde orta pariter eadem ubique

erit.

n.. sitis, IV. Inde vero in serre licet , duas qua Ditdiametros ellipsis reciproce proportionales mep,. . pro. summis laterum suartim figurarum. --hia. Ut enim diametri AB pata metet est A D. .. -- bis, ita sit Ela parameter eujusvis alterius diametti AF . D eo , AB esse ad ER , ut est summa Fio. si . ipsarum EF, EH ad summam ex ipsis AB, A D. Ob ostensum namque theorema , eadem summa oritur , tam si ad AB quadratum adjiciatur re elangulum D AB,quam si ad EF quadratum apponatur rectangulum H EF . Itaque AB quadratum una cum rectangulo DAB aeis quale erit EF quadrato una cum rectangulos EF assam AB quadratum una cum rectangulo DAu tantundem valet , ac rectangulum ex AR in summum ipsarum AB, AD . Et similite e EF quadratum una cum rectangulo HEF perinde est . ac rectangulum ex ER in summam ex ipsis EF, EH . Quare , quum aequalia sint inter se duo ista rectangula ; erit, ut AB ad EF, ita summa duarum EF , EH ad summam duarum AB, A D. v. Atque hinc modo facile erit ostende-

250쪽

ELEMENTA. iii te, quod ex hisis ellipseos diametrii ea , qua T.

major est, migorem parametrum habeat. Maneant enim omnia, ut supra. Et pona. euio/ e , mus , diametrum AB maiorem esse diametro . - o. EF . Dico, parametrum AD. quae resertur ad diametrum majorem, esse vicissim minorem sta. . t. rametro EH , quae refertur ad diametrum mi. Fio. St.

norem.

Ostensum est namque, quod diameter AB sit ad diametrum EF , ut est summa ipsarum EF , EH ad summam ex ipsis AB , A D. Quare, sicuti AB major est, quam EF ; ita &duae EF , EM majores erunt duabus AB, A D.

Pata metet igitur EH, adsciscens suam diametrum EF , majorem summam constituit, quam parameter AD , assumens diametrum suam AB . Sed EF minor est . quam AB . Itaque Eld multo maior erit, quam AD . vi. UI. Id quum ita sit, perspicuum est, quod

si euti omnium diametrorum ellipsis maxima ,--,qua Mest axis rmior, minima vero axis minor sic vi -- cissim omnium parametrorum minima quidem a n iram'- sit illa , quae refertur ad axem maiorem, maxi- s' ' , ma vero ea , quae refertur ad axem mieorem. -

Liquet etiam, quod sicuti d amet et in recessu ab axe majore, & in accessu ad minorem continuo minuitur , maximamque pamtitur diminutionem, quum ad ipsum axem minorem pervenit; sic vicissim eius parameter continuo augeatur , maximumque incremeffinium subeat in ipso axe minore. Quia autem ostensuiu est, parametrum ejus diametr; , quae coniugatam habet aequalem , adaequare diametrum suam a liquet deis