장음표시 사용
251쪽
aga SECTIO NuM CONICA Ruumum , parametrum minorem esse diametro, ad quam refertur, ab axe majore usque ad eam Discum, in quo aqualitatis diameter reperitur 3 esse et ero majorem , ab eo loco usque ad axem mi
VII. Sed nolim hic reticere , quod sicuti locus omnium diametrorum ellipsit exhiberit' 'im potest per dati cuiusdam circuli portionem; sic Mira omnium parametrorum siti portio rectae luxere, qcta circuli ejus circumferentiam tu dato
Fio. S. Si enim rectae AC , BC referant axes el-JIpsis, hoc est AC axem majorem, & BC axem minorem; junctisque iis ad angulos rectoS,describatur super AB semicirculus ACB , & ducatur per puneium C recta CD , ipsi AB parallela; erit, ex superius ostensis, portio CEDlocus omnium diametrorum ellipsis. Jam , si ex puncto B ctigamus super AB perpendicularem B H , cum qua conveniat stum axis major AC in puncto H, cum axis minor AD in puncto I: quemadmodum recta ista Bid continget circumferentiam in puncto B; ita portio huius tangentis HI erit nobis veluti locus omnium parametrorum ellipsis. Est enim portio circumferentia: CED Iocus ominum diametrorum ellipsis quia quaelibet ellipsis diameter exhiberi potest per rectam , quae ducitur ex puncto A ad eam portionem. Et, ob eandem rationem, erit portio tangentis Hi locus omnium parametrorum, quia, si AE fuerit diameter quaevis, eademque Extendatur, usque donec tangenti occurrat in
252쪽
ELEMENTA. agi. v III. Neque veto dissicile erit, rei huius viri. veritatem ostendere , tam relate ad ipsos axes AC, A D. quam respectu cuiusvis alterius diametri AE , ii ejus recordemur, quod supra deis monstravimus , nimirum conjugatam diametri AE esse rectam alteram BE , ductam ad idem Punetum E ex termino altero B. Est namque triangulum ABH rectanguis tum in B . Quare , quum ex angulo recto deis
missa sit super hypothenusum AH perpendiis cularis BC ; erit, ut AC ad BC , ita BC ad
CH.Sed parameter axis majoris est tertia proportionalis post ipsum axem maiorem,& axem alterum minorem . Itaque erit CH parameter axis maioris A C. Eadem ratione , quoniam triangulum
ABI tectum habet angulum in B , ct ex angu- Io tecto demissa est super hypothenulam Asperpendicularis BD , erit ut AD ad BD , ita
BD ad DI . Sed parametet axis minoris est tertia proportionalis post ipsum axem minois rem , & axem alterum majorem. Itaque erit DI parameter axis minoris A D.
Denique , quia triangulum ABΚ est reis angulum in B , & ex angulo recto demissa est super hypothenusam AR perpendicularis BE; erit ut AE ad BE , ita BE ad EΚ. Sed parameter diametri AE est tertia proportionalis post ipsam diametrum AE , & ejus conjugatam . Itaque quum sit BE conjugata diametri jAE, erit EΚ parameter ejusdem diametri AE . IX. Id quum ita sit, jam veritas eorum
omnium , quae paulo ante a nobis ostensu fust-- rca parametror diametrorum et me , rursui
253쪽
Fio. S a 3 SECTIO NuM CONICA Ru MProtractis si quidem ad tangentem usqueBH tectis omnibus , quae ducuntur ex puncto A ad circumserentium C ED 3 per sp cuum est, ex portionibus ipsarum , quae tangente , &circulo intercipiuntur, minimam quidem esseCH . maximam vero DI. Itaque parametro. rum omnium ellipsis minima quidem erit illa. quae te fertur ad axem majorem AC , maxima vero ea, quae refert ut ad axem minorem AD. Deinde perspicuuin est quoque, easdem illas portiones eo magis augeti, quo magis a puncto B removentur, atque adeo, quo mino res sunt rectae, eum quibus jacent in dilectum. Qua te similiter parametri ellipsis tanto qui isdem maiores erunt, quanto minores sunt di metri, ad quas eae referuntur .
Ad haee , si duae AE, BE fuerint ;nter se
mutuo aeqtiales , utrique ipsarum erit aequalis
quoque ER quum sit, ut AE ad BE , ita BE
ad ER . Unde rursus liquet, paramettum ejus diametri , quae conjugatam habet aequalem, longitudine sua , tum ipsam diametrum , ad quam resertur , cum conjugatam ejus adae inquare.
Denique, quum tres AE , BE , ER sine
continue proportionales , erit EΚ minor, quam AE, quotiescumque AE superat BE , erit vero major, quum ulcissim BE superae AE. Unde rursus apparet. ab axe majore usque ad diamettum . quae conjugatam habet aequam Iem , esse parametros minores suis diametris esse vero maiores, ab ea diametro usque ad
X. Exinde etiam colligi denuo potest ve/ritas Disit ipsed by Cooste
254쪽
ELEMENTA. aeritas theorematis, superius ostensi, quod duae mquaevis ellipseos diametri sint reciproce proporis ' tionales fammis lateram suarum figurarum. Si enim AE referat ellipiis diamettum si
aliquam protracta ea usque ad tangentem B H , si et EΚ parameter eius . Unde erit A Κ - .rat. iam
summa laterum suae figurae. Sed AΚ est ad I AB, ut AB ad AE . Quare rectangulum, quod Fio. p.
sit ex diametro AE in funimam laterum litae figurae, aequale erit quadrato ipsius AB. Simili ratione ostendemus, eidem An quadrato aequale esse rectangulum , quod sit ex quavis alia diametro in summam lateis gum figurae suae . Quare aequalia erunt inter se rectangula , quae fiunt ex duabus quibusvis diametris in summas laterum suarum figurarum e & propterea summis istis reciproce pro portionales erunt ipsae diametri. XI. Quamquam autem vi hujus theoreismatis , summa latetum figurae diametri eo sit t. a. -- minor , quo magis ipsa diameter ad majorem axem aecedit; digerentia tamen eorundem la- ebum 3ertim eb minor evadit, quo mag 1 Cometer oc- pioAeedit ad eam , quae tum parametrum , cum conjugatam habet aequalem.
Sit enim AE diameter Illa , eui aequalis est . tam parameter EΚ , etiam conjugata BE.
Jamque, ex superius ostensis, parametri minois res erunt suis di metris ab axe majore usque ad A E ; erunt vero per contrarium maiores ab AE usque ad axem minorem. Quia autem in accessu ab axe maiore ad ipsani AE , parametri quidem augentur , dia metri vero minuuntur. omuino necesse est, ut
255쪽
ag c SECTIONUM CONICA Ru MIn accessu isto decrescat differentia laterum figurae. Sed decrescet quoque in accessu ab axe minore ad eandem AE ; quia hic per contrarium diametri quidem augentur , parametri vero diminutionem patiuntur.
Ob aequales porro AE, EΚ, liquet, disseis
rentiam laterum figurae diametri, tam in accessu ab axe majore ad ipsam A E, quam in accessu ab axe minore ad eandem A E , decrescere eo usque , ut tandem evanescat. Et quamis quam eadem differentia maximum subeat incrementum sub ipsis axibus; per ea tamen, quae superius ostensa sunt , major est sub axe minore, quam sub axe majore.
XII. Quod ostensum est de disserentia lata terum figurae , verum est quoque de disseremtia quadratorum , quae sunt ex figura laterisbus ; idque eadem omnino ratione demonstratur.Quantum vero ad summam eorundem quadratorum duo sunt casus distinguendi. Primus casus est, quum quadratum ex axe majore non maius est dimidio quadrati, quod fit ex summa laterum suae figurae . Et quum id contingit , quadrata ex lateribus sita gurae diametri, simul sumpta, eo minorem summam conficient, quo ipsa diameter magis accedit ad axem majorem. Alter casus est, quum per contrarium est majus. Et tunc, comperta diametro, cujus quadratum aequale sit quadrato , quod sit ex summa laterum suae sigurae 3 eo minorem convstituent summam quadrata ex lateribus figurae alterius diametri, quo magis altera ista
sita meter ad priorem illam accedit. XIII. Penis
256쪽
ELEMENTA. di i , XIII. Pendet autem utriusque demonis XII f. tatio ex pulcherrima ista circuli proprietate, quod si ex extremitate diametri A ducatur ad-da
tangentem AH recta AM talis longitudinis, . h. e c. ut AN quadratum aequale sit dimidio quadrati ipsius AM , summa quadratorum A E , EΚ a. . . eo quidem sit minor, quo magis AΚ accedit ad A M. Ponamus etenim primo , quod AC qu*- Fio. e. edtatum non sit majus dimidio quadrati , quod fit ex AH. Et quia AC est ad AH , ut AS ad AB ; nec etiam AF quadratum majus erit dimidio quadrati, quod fit ex AB. Quare, si fiat AD quadratum aequale dimidio quadrati ipsius AB, non erit AO minor , quam AF ; sed vel aequalis, vel major. Erigatur itaque ex puncto O perpendi-
eularis ON , circumferentiae occurrens in
puncto N, per quod agatur recta AM. Et quia AO est ad AB , ut A N ad AM ; etiam AN
quadratum aequale erit dimidio quadrati, quod fit ex AM . Quare , per eam circuli proinptietatem , summa quadratorum AE , EΚ eo minor erit, quo magis AΚ accedit ad AM , &
Ponamus secundo, quod AC quadratum xi majus sit dimidio quadrati, quod fit ex AH. Et quia etiam AF quadratum majus erit dimi dio quadrati, quod fit ex AB s si fiat, ut huic dimidio aequale sit Ao quadratum , erit Aominor , quam AF . Unde , erecta perpendicu lati ON, dabitur diameter AN, cujus quadratum adaequat dimidium quadrati, quod fit ex summa laterum suae figu5M: ct propterea , per
257쪽
aat SECTIO NuM CONICA Ru Meandcm circuli proprietatem , summa quadram torum ex lateribus figurae cujusvis alteri ut diametri AE eo minor erit , quo magis altera ista diameter accedit ad AE. xiv. XIV. Si autem consideremus, angulum 2 et . quemvis rectilineum, ubi vertitur circa vertiis et ., Achcem suum seu minorem ex recta positione da---. .. ta cruribui suis portionem abscindere , quo FIO. sa. magis accedit ad eam positionem , in qua crura ejus aequalia fiunt; haud dissiculter praefatae proprietatii , qua circulo competit, veritatem demonstrabimus Si enim fit G centrum circulilerunt quadrata duo AF, BF dupla quadratorum , quae sunt ex AG, GF ; ct consequenter dupla quoque quadrati , quod fit ex EF. Unde . quemadmodum summa quadratorum AC, CH est ad summam quadratorum AF , BF , ut AC quadratum ad AF quadratum , sive etiam , ut AB ad AF i ita eadem summa quadratorum
AC, CH erit ad duplum quadrati, quod fit ex EF, similiter ut AB ad A F. Jam , si fiat angulus FES aequalia angulo EAF ; erit, ut AE ad EF, ita EF ad FS: proindeque,quum EF quadratum sit aequale rectanis gulo AFS ; erit adhuc , ut summa quadratorum AC . CH ad duplum rectanguli AFS, ita AB ad AF i ct propterea, quia AB est ad AF,
ut rectangulum ex AB in FS ad rectangulum AFS ; erit summa quadratorum AC, CH aequalis duplo rectanguli, quod fit ex Ad in ipsam FS .
Simili autem ratione ostendemus, quod
258쪽
ELEMENTA.EAF , summa quadratorum AN , NM sit ae. qualii duplo rectanguli, quod fit ex AB in OR . Unde erit, ut summa quadratorum AC, CH ad summam quadratorum AN , NM . ita FS ad UR : proindeque , quia duo anguli FES , OER , qui cruribus suis abscindunt ex AB portiones FS, OR, sunt aequales inter se;
jam incidimus in eum casum , in quo angulus rectiliveus vertitur circa verticem suum, S ex recta positione data cruribus suis portionem . abscindit. Id quum ita sit, eo res redit, ut ostendamus, angulum istum , quum abscindit portio.nem O R, talem positionem habere . Ut aequalia sint crura ejus EO, ER . Id vero liquet abunde . Nam , quemadmodum AN quadra. tum adaequat dimidium quadrati, quod fit ex AM , ita AO quadratum aequale erit dimidio quadrati, quod fit ex AB. Sed AE quadratum, velut aequale quadratis AG , EG . dimidium istud similiter adaequat . Quare duae AE , AO aequales erunt inter se: & propterea , oh trianis gula aequiangula AEO, OER , erunt etiam aequales duae EU, E R.
Problemata quaedam circa euna is diametros , , parametros remoliuntur.
I. Irca diametros ellipsis , earundem- ' que parametros Plura possunt pro- 2'iniuc
259쪽
a o 2ECTIO NuM CONICARUMD-- hiemata institui, elegantia quidem per se ipsa,
-- tum etiam apprime utilia . Eo hoc capite cur- . sim prosequi, haud equidem gravabimur; eoisque magis, quod nullo negotio resolvantur, postquam nobis innotuit, diametros omnes Fise, ' ellipsis in dati cujusdam circuli portione reperiti, easdemque, ad datam usque tangentem productas, parametros nobis exhibere.
Primum itaque problema hoc eriti datis axibus ellipsin invenire duas diametros conjugatas , quae datam habeant rationem inter fo. Referant ergo rectae duae AC , BC axes ellipsis , hoc est AC axem majorem , & BC axem minorem . Jamque , si junctis iis ad ansulos rectos , describatur super AB semicirculus ACB, ducaturque recta CD, ipsi AB paralleis Ia; erit, ex superius ostensis , portio circuministentiae CED locus omnium diametrorum ellipsis.
Quia autem,ex superius ostensis,axis major ad axem minorem habet majorem rati nem , quam quaevis alia diameter ad suam conis jugatam , utique data ratio, tum directe, cum inverse sumpta, minor esse debet ea, quam hahet AC ad BC . Itaque , si fiat primo , ut AC si ad CR in data illa ratione et erit CR major, quam BC. Et si fiat secundo,ut BC sit ad AC, veluti est AC ad CS;erit CR minor,quam Cf. Hinc , iunctis rectis AR, AS, erit angu- Ius ARC minor quidem angulo ABC , major vero angulo AS C. Sed , ob triangula aequianis gula ABC. ACS,angulus ASC aequalis est angulo BAC , sive ABD . Quare idem angulus ARC, ut est minor angulo ABC , sic major
260쪽
erit angulo ABD: Sc propterea, si fiat argulus ABE , aequalis angulo ARC ; recta BE cadet
inter duas BC . BD, adeoque terminabitur ad portionem circumserent in CED. Inde vero consequitur . rectas duas AE, BE esse diametros coniugatas eius ellipsis , cujus axes sunt rectae AC, BC . Et quoniam . obtriangula aequiangula AEB. ACR . ratio ipsarum AE . BE aequalia est et . quam habet AC ad CR; liquet, easdem AE . BE esse etiam in
data ratione . Unde diametri conjugatae . qua Proposito problemitti l utiS faciunt, eae erunt,
quas exhibent ipsin AE, BE. II. Secundum problema ita se habet: da.tit axibus ellipsis, istietii re duas diametros conmiugatas , qua datum rectangulum coni utant. Referant adhuc rectae dum AC , BC axes ellipsis et adeo, ut iisdem, ut supra, peractis, sit portio circumferentia: CEn locus omnium diametrorum ellipsis. Et quoniam, ex superius ostensis , rectangulum sub binis ellipseos diametris conjugatis eo majus evadit, quo magis ipsas diametri accedunt ad eas , quae inter se sunt aequales; utique datum rectangulum, nec minus csse debet eo, quod sub axibus AC, BC continetur, nec majus illo, quod conjugatae aequales comprehendunt.
Jam, demissa super AB perpendiculariCF, rectangulum sub axibus AC, BC aequale est ci, quod fit ex AB in CF ; quandoquidem triangula ABC, BCF inter se sunt aequi angvla; adeoque AB est ad AC , ut BC ad CF . Et