장음표시 사용
261쪽
x a SECTIONUM CONICARUM vidit portionem CED; rectangulum, siah ipsis
contentum, ob eandem rationem , erit aequale
et , quod fit ex AB in circuli radium . ita redatum rectangulum , nec minus esse debet eos
quod fit ex AB in CF . nec majus illo , quod fit ex AB in sui ipsius semissem. Hinc, si datum rectangulum aequale P natur ei, quod fit ex A B in rectam XZ , eri recta ista XZ major , quam CF , minor vero semisse ipsius AB. Quare, si ex puncto A eriis gatur super AB perpendicularis AP, aequalis ipsi XZ, ct per punctum P ducatur recta PE , eidem AB parallela , haec secabit porti nem CED in puncto aliquo E . Jungantur rectae AE , BE . Et testae istae exhibebunt nobis diametros quaesitas. Nam , propter triangula aequi angula ABE , AEP , erit ut AB ad B E. ita AE ad AP, sive XZ i R .propterea rectangulum iub ipsis A E, BE aequale erit rectangu- Io, quod fit ex AB in XZ.
m. III. Tertium problema in hunc modum concipitur: datis axibus ellipsis, i venire deas 3---i,e diametros eo matar, quae datam summam comet . friant. Sed istud problema facili negotio ad , ' ' Praecedens reducitur . Ubi enim data est sum
re . ma diametrorum , dabitur etiam quadratum,' - quod sit ex summa illa . Sed quadratum istud est aequale quadratis diametrorum Una cum rectangulo . his sub ipsis diametris contento. Quare , quod constituunt quadrata ex diameis tris una cum rectangulo, bis sub eis comis prehenso, illud utique datum erit. Et quoniam, per superius ostenta,quadrata d ametrorum simul sumpta datam summam
262쪽
ELEMENTA. contatuunt, nimirum eandem illam, quam exhibent quadrata ax uni; constituet quoque datum summam duplum rectanguli . quod sub ipsis diametria, continetur. Quare datum erit rectangulum istud : & propterea propositum problema eo reducetur , ut datia axibus est iis piis , inveniantur binae diametri conjugatae , quae datum rectangulum contineant. Quemadmodum autem , quum quaeruntur binae diametri conjugatae , quae datum rectangulum comprehendant, oportet, ut remeiangulum datum . nec sit minus eo , quod continetur sub axibus , nec maius illo , quod sit ex diametris coniugatis aequalibus I ita quoque , quum inveniendae sunt duae coniugatae diametri, quae simul datam rectam adaequent: per ea. quae super tua ostensa sunt. ii cesse est . ut recta data . nec summa axium sit minor, nec major summa conjugatarum aequam
IV. Quartum problema hujusmodi erit:
datit axibus ellipsis , iovenire diras diantetros conjugatas , quarum disserentia sit data . Sed hoc quoque problema facili negotio ad secuta.
dum revocabitur, si consideremus,quod perseptimam secundi Elementorum quadratum ex differentia duarum conjugatarum diametr rum, una cum rectangulo, bis sub ipsis contei to, aequale esse debeat quadratia earundem; a que adeo quadratis axium. Hi ne enim fit, ut siquidem ex summa quadratorum , quae fiunt ex axibus, auferatur
quadratum datae differentiae ; id , quod superest, sit duplum rectanguli, quod quaesitae dia
263쪽
metri continent. Unde . quum datum sit reis
siduum istud . dabitur etiam dimidium ejus, hoc est rectangulum, sub quaesitis diametris
contentum I & coii sequenter eo res redit, ut inveniantur duae diametri coniugatae, quae datum rectangulum comprehendant.
Caterum , quum inveniendae sunt duae diametri conjugatae, quarum differentia sit data, illud quidem requiritur , ut data ista differentia non sit major differentia axium . Nam, ex superius ostensis , omnium diametrorum maxima quidem est axis major , minima vero axis minor. Quare omnino necesse est , ut dic ferentia duarum conjugatarum diametrorum minor sit disserentia axium.
V. Quintum problema ita proponetur et n. t. a - datis axibus ellipsit, invenire duar diametror' ' corivatas , qsarum quadrata disserant a sodiame mutuo per datam disserentiam . Rus autem re- ... solutio nullam difficultatem involvit. Quum enim eadem quadrata simul aequalia esse deis. beant quadratis axium i utique data erit, tam iis ' .,-- summa, quam disserentia eorum quadratorum. a.D-. Hinc , fi quidem ad dimidium summae addatur dimidium di fierentiae , habebitur quadratum diametri majoris . Quod si autem ex dimidio summae auferatur dimidium dissere
tiae, orietur quadratum diametri minoris. Quare diametrorum quadrata data etiam erunt
seorsim; st consequenter dabuntur quoque ipsae diametri, quas oportet invenire. Sicuti autem, quum quaeruntur hinae diametri coniugatae, quarum disterentia sit daia, ireccsse pβ , ut data ista differentia non sit
264쪽
ELEMENTA. E Tmajor differentia axium I ita quoque , quum invenire oportet, binas conjugatas diametros, quarum quadrata differant a se mutuo per datam differentiam, illud quidem requiritur , ut istiusmodi data differentia non sit maior quadrato, quod fit ex differentia a xlum. I. Sextum problema hunc in modum elleremus: datis axibat culpsit , is Oenire duar diametros conjugarat , quae datum angulum conti eant. Sed facile erit. problema istud /- am ad secundum revocare , in quo datis ax bus T. , ellipsis , quaeruntur binae diametri conjugatae, W- - - quae datum rectangulum comprehendant.. Nam semper ac datus est angulus, quem quaesitae diametri continent; data erit ratio ,
quam habet eius sinus ad eadium. Sed ratio ista est aequalia ei, quam habet rectangulum
sub axibus ad id , quod sub ipsis diametris
continetur . Qt re etiam haec alia ratio data erit: ct propterea , quum datum sit tectan. gulum sub axibus; dabitur quoque rectanguis Ium , quod continent quaesitae diametri. Demadmodum autem, quum quaerun tur binae diametri coniugatae , quae datum reis angulum comprehendant, necesse est, ut rectangulum datum non sit majus eo, quod sub coniugatis aequalibus continetur; ita , quum inveniendae sunt duae diametri conjugatae , quae datum angulum contineant, oportet , ut ratio sinus anguli dati ad radium non sit mi, noe ea , quam habet rectangulum sub axibus ad id , quod conjugatae aequales comprehenadunt
FIL In septimo problemate illud porro
265쪽
r. 6 SECTIONUM CONICA RurivIl- qtiae remus qua ratione datis axibus ellipsit, invenire liceat diametrum , quae datam par am
in-- - trum habeat. Solvemus autem problema istud a.. - iii hunc modum. Manentibus omnibui, ut suis
et pra , erigatur super AB perpendicularis BQ;Fio. o. quae dimidium datae parametri adaeque t. Tum juncta Ad describatur centro Q, intervallo isque QR circuli circumferentia , cum qua ipsa Ad comeniat in punctis T , Sc v . Denique in angulo ABH applicetur rem AR , aequalis ipsi AU. Et erit AE diameter quaesita . dam enim eidem AB quadrato aequale est, tam rectangulum EAR , quam rectangit-lum TAU . Quate duo rectangula EAR , T A U aequalia et unt inter se: & propterea erit, ut AR ad AU , ita AT ad AE. Sed ex constructione duae AR , A V scint aequales inter se . Quare erunt pariter aequales duae AE, AT I atque adeo etiam EΚ ipsi Tu aequalis erit. Sed TU , velut dupla ipsius 32, datam parametrum adaequat. Et igitur eidem parametro aequalis quoque erit ipsa ER; ademque erit A E diameter, quam quaerimus. Constat autem , ex superius ostensis, parametrorum omnium ellipsis minimam quidem .esse illam,quae resertur ad axem maiorem AC, maximam vero eam , quae pertinet ad axem minorem AD . Quare , ut propositum probi ma resolvi possit, omnino necesse est , ut data
parameter , nec minor sit parametro axis maioris , nec major parametro axis minoris.
viri. VIII. Ad octavum problema quod attim 'net, quaeremus in eo , qua ratione datis axibat
--- - ' e Usis, inveniri possit diameter, qua ad para-
266쪽
ELEMENTA. I . metram suam datam habeat rationem. Eius ve- ώ-ebato solutionem facili negotio obtinebimus , si iisdem , ut supra , manentibus , secetur Ausubinde quidem in G , ut AG ad BG sit in data illa ratione . Nam , erecta deinde perpendi- Fio. s.culari GE ad circumferentiam usque , fiet AEdiameter quaesita quum sit , ut AE ad ER. ita AG ad BG.
Ex eo autem , quod diametrorum omnium ellipsis maxima quidem sit axis major, minima vero axis minor, parametrorum autem minima sit illa, quae refertur ad axem malo rem , maxima vero ea . quae pertinet ad axem minorem , liquet, rationem cujusvis diametri ad suam parametrum, ea quidem, quam habet axis major ad parametrum suam , minorem e se , illa vero, quam habet axis minor ad suam parametrum majorem esse debere . Unde, nisi ratio data his terminis contineatur, problema
erit solutu impossibile. Idem problema potest etiam ad primum
revocari. Nam, semper ac data est ratio, quam quaesita diameter habere debet ad suam para. metrum , utique data erit pariter ratio , quam eadem quaesita diameter habebit ad suam conis iugatami quippe quae illius est duplicata. V de vicissim primum problema ad octavum istud poterit reduci: quaerendo nempe diametrum , quae ad suam parametrum habeat rationem subduplicatam ejus , quae inter utramque diametrum esse debet. IX. Nonum problema eo se vertet , ut datis axibus ellipsis , inveniatur diameter , . qua,vel constituat datam fammam cum sua pa-
267쪽
sit-- aa. tiam. Et quantum ad priorem partem facillhet ne eotio resolvetii r ; quum salix sit in angulo . ABH applicare rectam AR , quae datam illam Aia summam adaeque t. Quantum veto ad partem alteram duo sunt casus distinguendi . Nam Fio s. . diameter quaesita, vel mane esse debet sua paus . ' rametro per datam illam disserentiam , vel per
In utroque autem tam restituet tir pro ablema in hunc modum . Extendatur tangensu H ad partem alteram versiis M: ita, ut fiat
B M aequalis ipsi AB . Tum juncta AM, eriga tur super ea perpendicularis MN , aequalis diis
mictio datoe differentiae . Describatur deinde centro N , intervalloque dira circuli circum ferentia MOR , cum qua conveniat recta
AN in punctis o , S R . iamque , si in angulo ABH applicetur recta AR, aequalis ipsi AO in primo casu , ct ipsi AR in secundo , fiet AEdiameter quaesita.
Quum enim AM quadratum duplum siequadrati ex AB , sitquu ctiam rectangulum CAR aequale quadrato ex AM , Si reeLangulum EAR aequale quadrato ex AB ; erit reis angulum OAR duplum pariter rectanguli EAR. Unde, secta AO bifariam in puncto S . Erit , tam rectangulum ex AO in SN . quam rectan pulum ex AS in AR aequale rectanguisio EAΚ i ct propterea erit, non modo, ut Aoad 'Κ . ita A E ad SN 3 verum etiam , ut A Rud AR. ita AE ad AS. Pio.sg. Hinc, quum in primo casti duae AN . Aosint aequales intcr se,erunt etiam *quales duae AE,
268쪽
κ L p M R N T A. a 'A E , SN: proindeque, si fiat AT. aequalis ipsi ON: adeo nempe, ut si TN aequalis ipsi Ao, seu AR ; erit reliqua TS aequalis reliquae EΚ. Sed, ob aequales N R, AT, duae N R, TS lane
aequales Ipsi AS, vel SO, atque adeo, apposita .eommuni ON, etiam duae oR, TS adaequant totam SN . Quare , sicuti SN superat In me rectam DR, quae,velut dupla ipsius MN,adaeis quat datam differentiam I ita quoque diameter AE superabit parametrum suam ER per diis
In secundo vero eam, quum sint aequales pio. duae AR, AR ; erunt etiam aequales duae AE, AS i proindeque reliqua EN teliquae SR pariis ter aequalis erit. Sed SR superat AS , vel Soper tectam OR, quae, velut dupla ipsius MN, est aequalis datae differentiae. Quare etiam pamrametet EΚ superabit diametrum AE , ad
quam ipta refertur, per disserentiam datam. terum per ea , quae superius ostensa sunt, sicuti data summa, quam constituere de hei diameter cum sua parametro . minor sit oportet summa ex lateribus sturte axis misnoris , major vero summa ex lateribus figurae axis maioris; ita etiam data illa disserentia, per quam diametet a sua parametro differte debet, in primo casu necesse est,ut si minor dissere tia laterum figurae ax s minoris , in secundo vero casu minor differentia laterum figurae axis majoris.
X. Dec mum problema illud ostendet,qua T. Tatione , datis axibus e ipsis, iubenire iterat 'diametrum, cuiui parameter ctim summa eae se in inin aevo
seribai sigara datum re galam contineat.
269쪽
apo SECTIO NuM eo NICARUM-ier eam Ejus vero solutionem protinus obtinebimus, si utique ex tangente B H abscindamus por-a- --tum tionem BR , cuius quadratum datum illud rectangulum adaeque t. Nam, juncta AΚ , fiet FIO. s. AE diameter quaesita. Quum enim diametri AE parameter quidem si ER , summa vero ex lateribus figurae
sit A Κ ; erit AXE tectangulum , quod fit ex
Para metro eius in summam laterum suae figurae . Sed tectangulum ARE est aequale quam drato ipsius B Κ. Unde, sicuti BΚ quadratum,
ex constructione, datum rectangulum adae quat; ita quoque eidem dato rectangulo aequa Ie erit rectangulum ARE . Patet autem,quod,ut problema istud reis solvi possit, omnino necesse sit, ut datum rectangulum sit majus eo , quod fit ex param tro axis majoris in summam laterum suae figurae, & minus illo , quod parameter axis minoris continet cum summa laterum suae figurae . Nam vidimus superius, tam parametrum . quam summam laterum figurae eo magis augemri . quo magis diameter ad axem mi uorem ac cedit.
Hoc idem problema poterat etiam ad praecedens revocari. Quum enim datum sit rectangulum . quod fit ex parametro in summam laterum figurae 3 si ei hddamus rectangulum aliud, similiter datum, quod fit ex dia. metro in eandem illam summam , dabitur quomque quadratum ex figurae latcribus simul sumis Plia I S consequenter ipsa laterum sum m etiam data erit. Unde eo res redit, ut quaeraminus diametriam, quae cum sua parametro da
270쪽
ELEMENTA. aptiam summam consti tuai. XI. In undecimo problemate ostendemus, xl. quo pacto , datis axibus ellipsis , inveniri positdiameter , cuiui quadratum disserat a quadrato tW--ho 'parametri per datam disserentiam . Atque hic duo sunt casus distinguendi. Primus est,quum et quadlatum diametri majus esse debet quadra- arare p-to Parametri. Alter, quum ulcissim debet esse minus . In primo casu data disserentia minor sit oportet differentia quadratorum, quae fiunt ex lateribus figurae axis majoris . In secundo vero casu debet esse minor disserentia quadratorum ex lateribus figurae axis minoris. Quantum ad priorem calam solvetur Fio. rs. problema in hunc modum . Extendatur tanta gens B H ad partem alteram versus M r ita , ut
fiat B M aequalis ipsi AB . Tum juncta A M.
describatur super ea , velut diametro, semicirculus AN M. in quo applicetur recta MN talis longitudinis , ut quadratum ejus datam ditarentiam adaeque t. Jungatur deinde AN.
Jamque, si in angulo ABH applicemus rectam AR, aequalem ipsi AN, erit AE diameter
Quum enim AΚ sit aequalis ipsi AN,
erunt quadrata duo AΚ , MN aequalia quadrato ex AM . Sed quadratum ex AM, velut duplum quadrati, quod fit ex AB, est aequale duplo rectanguli E AR. Quare quadrata duo AΚ. MN duplo rectanguli EAΚ pariter aemqualia erunt: S consequenter, apposito communi quadrato ex ER .erunt tria quadrata