장음표시 사용
101쪽
ipsis A et ab ducantur parallelae M N et , quatum M N origontalis erit in situ aequilibri , mn vero horigontalis in situ inclinato. Sitque angulus inclinationis MG in lib. Cum igitur par submersa perpetuo constans esse debeat, erit area MFNhet areae AM FN B nisi enim aequalis esset , centrum grauitatis vel ascenderet vel descenderet donec aequalita fuerit comparata , quo motu ipse restitutionis motu circa centrum grauitati fictus, quem hic solum spectamus non turbatur. Possit ergo intersectione rectarum AB et ab in C, crit area AC ara areae BC b. Ob angulum autem inclinationis V infinite
paruum erit area ACcm . et area DUO
unde prodit ACII DCIIJ. Qii nunc vi restitutionis ex situ inclinato in situm aequilibri inveniatur , quaerendum est centrum magnitudinis partis submersi a MFNb; quae cum sit m NMI NI Acci, ex harum partium centris grauitatis reperiri poterit verae partis submersae centrum magnitudinis, indeque pressionum aquae momentum ad restitutionem aequilibrii. Restituetur vero in aequilibrium , dum recta v in situm origontalem in reducetur. Consideremus igitur primo aream MFN B cuius centrum grauitatis est iiij et vis cursium urgens ab ea ortam M. Per inducatur verticalis Oct quae est directio vis figuram ursum urgenti momentum ergo huius vis ad restituendum est V m M. G O d ob angulum G Gm diu ' Porro consideretur
areola Diu cuius area est V et Vis igi
tur hinc orta figuram uirium Vrgen est λ pN a
cuius directio transit per centrum grauitati Q elementi
102쪽
BCb rem in se ducam normalis seu Verticali Q g,, erit CB Am momentum igitur huius,
vis ad restituendum est si q, DU) Denique elementum C pari modo dabit vim S: Ieiusque directio, quae est verticalis transit se eiu centriinx grauitatis p Ducta ergo vertical Pp, eritu metri C. Momentum ergo huius vi contrarium etin
hoc momentum a prioribus subtrali debet ob MFNhim: A MAE Acuet, erit momentUm , AEU pressio quae in totam partem submersiam MFNb exemta aequilibrium restituit et M. G i Abin (po qoLm M. GO. - - o ob po qo pq m: AB. Cum igitur momentum, quo figura in satum aequilibri restituitur sit et M E GU iiij h erit perangulum si diuidendo stabilitas, qua figura in tu aequisibili perseuerat m M GO-- Fg des gnante AF aream partis submersae. Q. E. I.
et aes patet ergo quod supra asseruimus, vim restia tuentem in situm aequilibri proportionalem esse angulo quo corpus ex situ aequilibrii est declinatiam , si quidem angulus fuerit quam minimus, ideoque si stabilitas absolii te requiratui, angulum V, quo inclinatio indicatur omitti oportere. Sic igitur expressio stabilitatis momentis virium erit homogenea, cum sit prUdiactiam ex vi seu potentiam in lineam quandam rectam OH p,
103쪽
etr . In expressione stabilitatis denota CO distati tiam centri grauitati figurae a centro magnitudini partis submersae , quando figura in aequilibrio existit. Tum igitur positaetimus in figura hac centrum grauitatis infra centrum magnitudini cadere , per se patet, si in alio casu centrum grauitatis G supra centrum magnitudini cadat tum intei uallum G negative accipi deberes, ita ut initatius modi casibus stabilita proditura sic M GO . Hic scilicet figuras rex materia bicunque hederogenea
constantes consideramia , ita ut centrum grauitatis G tamisupra quam insta centrum magnitudini O incidere possit, sin autem figura ex materia homogenea consecta ponatu stum necessario centriina grauitatis supra centrum magnitu
dinis parti submersae cadere oportet . inius modi igitur casibus stabilitas semper ex laac posteriore formula eriti aestimanda , in quas negativo signo assicitur.
ris dioties ergo centris grauitatiis infra centrum magnitudinis partis submersae cadit, tum situs aequilibrii semper erit firmus et stabilis, quia expressio stabilitati iam guttua cri neqttit.
etis si antem centrum grauitatis et supra ce trum magnitudinis o cadit, tum situs aequilibri non ersit stabilis, nisi uerit, GO. At si fuerit, GO, situs erit instabilis seu labilis, et figura vel minime exma situ
104쪽
situ aeqtii libri declinata prolabetur, aliumque situm a quilibri quaeret.
21 . Maximam igitur situs aequilibri habebit stabilitatem , si centrum grauitatis profundissime , centritu magnitudinis autem in loco maxime eleuato suerit situm; atque praeterea si sectio aquae seu recta AD uerit ma-Xima manente scilicet eodem figurae pondere M , quoipis magnitudo partis submersae etiam inuariata manet.
et I S. In corporibu ergo aquae innatantibuS, quo profundius pondera collocentur, eo maiorem ea stabilitarem in situ aequilibri acquirent. Magis vero etiam stabilitas augebitur, si alis adiungendis sectio aquae amplior reddatur.
et Is Quamuis haec propositio tantum ad supertacies planas aquae verticaliter insidentes sit accommodata tamen ea latius patet, et corpora cylindrica in se complectitur. Si enim corpus cylindricum aquae ita innatet, ut eius axis longitudinalis horingontalem situm teneat, Uni eius stabilitas respecti axis origontalis eiusdem ex stabilitate cuiuSque sectionis transversalis, quae est silperficies plana VerticaliS, cogno etur. His igitur casibus in Berit sectionis mediae corporis cylindrici pars aquae submersa totius corporis centrum grauitatis, O centriam magnitudini parti submersae re vero pondu totiu cor poris , et a B ut ante cuiusque sectioni par aqUae
105쪽
subinei si Praeterea etiam ex eadem propositione pro corporibus alius figurae consectaria deduci possent, sed de iis in sequentibus, cum omni generis corpora ex instituto contemplabimur, fusius tractabimus
aeto Si figura plana aquae in sim Certica in dens ab XIII. ex tu aequilibri aliquantillum dechnetur , determinare o 'si
tum , quo sese in tum aequilibri resiluet.
Si figura plana a B aquae insistens in aequilibrio , cum praeter rectam per centrum grauitatis G ad planum figurae normaliter ductam etiam rectare in fuerit horigontalis. Sit pondus figurae atque A si sectio aquae et O centrum magnitudini partis submersae AFB. Inclinetur nunc aliquantillum figura ex situ aequilibri virecta a b fiat sectio aquae , et angulus A et fiat D. Ilis possitis ex prop. praeced. Omentum restituens figuram in aequilibrium , quo scilicet figura circa axem horigontalem per G ad planum ipsius normaliter ductum circumvertetur, obtinebitur, si stabilita ante inuenta perangulum inclinationis, o multiplicetur, eritque propterea hoc momentum ad corporis restitutionem tendenST M(GO I p. Qiuoties igitur haec expressio fuerit affirmativa figura in situm aequilibri restituetur, atque restitutio et rotando circa centrum grauitati in dum interea ipsum centrum grauitatis, recta vel ascendit vel
106쪽
descendit, prout coanditio ea, qua semper aeqtialis pars aquae debet esse submersi , requirit. Cum ergo hoc mo-mcntum angulo percurrendo sin pr portionale figura eodem modo in statum aequilibrii perueniet, quo pendulum deficendendo ad tum verticalem accedenS. Hancobrem figura oscillationes instar penduli perficiet , donec totusnlotus a resistentia uerit consumtuS. Iste motu oscillatorius ergo cognoscetur, si longitudo penduli simplicis deter minetur , quod sua oscillatione aequalibus temporibus ab--uat Ad hoc vero pendulum assignandum necesse est vi momentum inertiae figorae respectu axi circa quem gyratur constet. Sit igitur Silomentum inertiae figurae seu aggregitum omnium particularum per quadrata distantiarum suarum ab axe rotationis multiplicatarum , qui axis ad figuram normaliter per G transit. Hinc igitur erit vis
gitudo penduli simplicis, quod oscillationes is schrona cum oscillationibus figurae absoluit ch, a se ius. Prodit enim perpetuo longitudo penduli simplicis sochroni, si angulus inclinationi per Vim gyratoriam diuidatur, id quod iacile exuriticipiis mechanicis colligitur. Q. E. I.
dirae. Longitudo ergo penduli sochroni aequatur momento inertiae figurae respectu axis gyrationis diuiso perstabilitatem figurae respectu eiusdem axis, prout quidem stabilitatem exprimere constituimuia
107쪽
222. Manente igitur eadem figurae stabilitate in io aequilibri sit oscillationes eo erunt celerioreS, quo minus ierit momentum inertiae figurae maximo autem existente hoc momento, oscillatione tardissimae sient.
etas Manente autem eodem figurae momento inertiae stillationes eo crebriore euenient, quo maior si
erit figurae stabilitas minuta autem stabilitate, stillationes segniores perficientur.
et et . Ad motum stillatorium ergo definiendum praeter pondus et figuram et centrum grauitatis, quae ad stabilitatem cognoseendam sussiciunt, nosse oportet momentum inertiae figurae respectu axis, circa quem se illationes fiunt.
et as. Quo tam stabilitas quam motus o illatorius huiusmodi figurarum aquae innatantium clariu cognostatur, iuuabit casiis speciales considerasse , in quibus quantitate ad huc indeterminatas determinari et inter se comparari licebit. Determinatas igitur figura contemplabimur , quae aquae insidant , ubi quidem sussiciet figuram partis submersiae posuisse , cum figura partis apra aquam eminenti in computum non ingrediatur rex figura vero parti, si abnuersae simul centrum eius magnitudini datur. Con Veniet au- tom
108쪽
tem tantium figuras regulares, quae circa verticalem EF parte similes et aequales Iaabeant, iiivestigasse , ne ante opus sit situm aequilibri inuenire. Ponemu igitur centrum grauitatis huiusmodi figurarum in ipsa verticali EF , quae est diameter, si1tum , quo aequilibrium habeatur , si ista diameter verticalem situm obtinuerit. Eiusmodi ergo propositiones aliquot hic subiungenius, antequam ad ipse
corpora examinanda progrediamur.
XIII. et C. Si figurae aquae in ratis pars submersa AFB fuerit triangulum i sceles raeterminare labilitatem huius s-tus , atque motum oscillatorium biem Agura, si ex hoc Dis aliquantillum declinetur , acquiret.
Ex vertice F in basino , quae sectionem aquae repraesentat, ducatur perpendicularis' basi AB bifariam secans in C. Ponatur ACIT BC ciet; et perpendiculum P IT c erit pars submerse AF BIT b, eiusque centrum i agilitudinis in o ut sit Co II b. Sit porro G centrum grauitatis totius gurae, atque OG Idi, erit Gom CG COTTA A b. Vocetur deinde massa seu polidus totius figurae et , et momentum eiu Te- spectu axis ori aliter ad planum AFB per C transeuntis et S. iv igitur positis erit stabilitas huius situs aequisbbrii et M(h b Penduli vero simplicis sochroni cum oscillationibus huius gurae oscillanitis
109쪽
inatiuum habuerit valorem Q. E. I.
situs iste aequilibrii erit stabilis, eoque maior erit stabilitas, quo maior fuerit iste excessus.
et a S. Ilic porro situs aequilibri erit indifferens, si fuerit et a- - abdita sit autem ueri eta --abo b tum situs erit labilis, eumque figura tenere non poterit, sed vel tantillum ex eo deturbata prolabetur.
et ast si integra figura fuerit triangulum sesceles MFN. constans ex materia uniformi, cuius ad aquam grauitaS specifica teneat rationem pQ q. ponanturque M Lm LN A et I TIB , tum C. BC FCet b, erit ab AEBIT Vt, atque hic A B erit
Manente autem massa seu pondere figurae TIM erit mo
substitutis reperietur stabilitas trianguli istoscelis F aquae innatantis, ita ut basis MN origontaliter extra aquam
110쪽
et set Ilo ergo casu situs aequilibrii erit stabilis, 3 hoc est A. Posita ergo grauitate specifica aquae et I OOo, situs erit stabilis, si fuerit 'scias: instabilis autem erit, si grauitas specifica trianguli minor est quam sca L.