장음표시 사용
131쪽
corpolis transierintibus, circa quos corpus inclinando ex situ aequilibri depelli potest.
236. Fieri igitur potest ut idem aequilibri situs respectu unius pluriumve axium origontalium sit satis stabilis, qui tamen respectu reliquorum axium est inflabilis. Semper autem in noquoque corpore oportet dari unum aequilibri situm, qui respectu omii iam axium sit stabilis alioquin enim corpus iuper aqua quiescere non posset.
et 8 . Si autem corporis cuiuspiam aquae insidentis aequilibri situs fuerit stabili respectu duorum axium hori-χontalium inter se normalium, tum iste aequilibri situs respectu omnium reliquorum axium erit stabilis. Inclinatio enim circa axes intermedio resolui potest in inclinationes binas circa illos axe inter se normales, quae ambae cum praeditae sint vi restituente, necesse est, ut iste aequilibri si tu respectu omnium axium sit stabilis.
et 8S. Ad corpori igitur aquae in aequilibrio insiden vis stabilitatem cognoscendam, sussiciet respectu duorum axium inuicem normalium stabilitatem inuestigasic cum inde stabilitas respectu cuiusvis alius axis pendeat , atque satis tuto aestimari queat.
et Sp. Qi iamdiu figuras tantum planas aquae verticaliter innatante sumus contemplati, unico modo stabili
132쪽
talem cuiusque aequilibri situs determinavimus, atque id etiam sit ciebat, quia eiusmodi figuras circa unicum axem hori Zontalem , harmalem scilicet ad planum figurae , mobiles positimus quilibet autem ficile intelliget, huiusmodi figuras, quantumui eae magnam habere inuentae sunt stabilitatem , tamen subuersioni ad latera maxime esse ob noxias. Simili modo perspicuum est, naues inclinationiversu proram puppimiae multo sortius resistere quam inclinationi ad latera, illoque proinde casu maiorem habere stabilitatem quam isto. Quamobrem cum nunc nobis sit propositum in stabilitatem , qua corpora quaecunque a ae insidentia gaudent, inquirere , omne inclinationeS, qui bus corpora ex situ aequilibri declinari possunt, consid rari oportet, atque definiri quanta vi cuique inclinationi resistant. Infinitis autem modis corpus ex situ aequilibrii declinari potest , pro infinitis axibus horiχontalibus per centrum grauitati transeuntibu , circa quo corpus mobile existit. Hanc ob rationem quando de stabilitate , qua corpus quodpiam in aqua situm aequilibri tenet, est quaestio, id absolute definiri nequit , sed determinanda est certa inclinatio, in qua stabilitas sese exerat quem in Mnem istam stabilitatis determinatam definitionem praemisi, in qua stabilitatem ad certum quendam axem orirentalem per centrum grauitati transeuntem alligaui. Qiiamuis autem hoc pacto summe dissicile videatur de stabilitate corporum aquae innatantium certi quid statuere , cum infiniti axe deberent considerari, et respectu cuiusque stabilitas assignari, tamen iam notaui eiusmodi insuperabili labore non esse opus, sed susticeres, si respectu duonam tantum
axium inuicem normalium stabilitas desiniatur. Motus enim
133쪽
enim inclinatoriis circa quemvis alium axem spectui test tanquam compositu ex duobu motibus inclitastoriis circa illos axes inuicem normaleS, pro quorum troque si stabilitas suerit cognita, inde stabilitas resipectu aliuscuiusque axis poterit colligi. Qiaemadmodum igitur pro quovis aequilibri situ in corpore quocunque aquae innatante labilitas respectu cuiusuis axis horiχontalis debeat investigari, in sequerit propositione docebitur.
aso Corporis CF DB aquae in aequilibrio insic Tab. X dentis determinare flabilitatem respectu axis dati orietonta si iis c per centrum grauitatis corporis G transeuntis , anque motum oscillatorium cuius corpus circa hunc axem est
Sit ACBD sectio aquae , et AFB pars corporis
aquae immersa , cuius centrum insignitudinis, situm erit in recta verticali EF per centrum grauitatis corporis G transeunte, eo quod corpus in aequilibrio est positum. Sit totius corpori massa seu pondus IM, eiusque parti siubmerse soliditas seu volumen TV, atque momentiam inertiae totius corporis respectu avis S. Concipiatur nunc corpu pauliSper inclinari circa axem c d centro grauitatis interea vel ascendente vel descendente, quo aequali pars aquae maneat immersa. Fiat vero inclinatio per angulum infinite paruum posito sinu tot aeri
134쪽
priorem qitae sectionem secres recta, si parallela axic , eritqtae angulus, quem haec noua sectio aquae cum priore constituit pariter ita autem Vtroque casti aequale corpori volumen sub aqua versatur, erit segmentum A CD aequale segmento CD b. Ponatur areae ACD centrum grauitati, in , areae autem CD centrum grauitatis in q, atque ex Vet in C inducantur Perpendiculare, pr et V, erit soliditas segmenti AC Dam AC D. r. segmenti vero CD soliditas erit BCD. s. hinc igitur habebitur CD. et BCD. Q. Praeterea ipsius segmenti CD a centrum magnitudinis cadat in segmenti vero CD in Q , atque ex P et in D ducantur normales P et Q S. Iam per punctum o ducatur ad planum a Ch Dperpendicularis in quae in situ corporis inclinato erit verticalis, at Te tum ex G in hanc rectam , tum ex ser in D ducantur normales et E Η, erit GO d et EO. m. Quo igitur vim inueniamus corpus ex situ hoc inclinato in pristinum situm aequilibri restituitur , pars corporis aquae immersa est consideranda quae es ITACF DB--ACDa-BCD , ex quibus singulis membris vires sunt definiendae ad corpus restituendum, vel conuertendum circa Xem c d Pressi ni autem aquae, quam pars CF DB sustinet, momentum
ad corpus restituendum est M. Gget M. GO. V. Nunc fiat ut, ad CD ita pondus M ad Vim ex segmen
quae expressio pariter valebit pro resistione aquae in segmentum BCDb. Num autem segmenti CD centrum
135쪽
trum magnitudini sit in F, erit momentum inde oriundum ad corpus restituendum ut (PR-Ηe- - , , momentum Vero ortum ex bi segmenti BCD tendet ad
siibuersionem, eritque adeo negatiuiam v i S I e Gg . Horum trium momentorum duo priora iant addenda et a summa postremum subtrahendum quo listo prodibit momentum totale ad restitutionem corporis in pristinum aequilibrii itum tendens et I des(GO- PR, S quod diuisium per angulum inclinationis, et dabit stabilitatem huius aequilibri situs respecti axis e. E MAEIO Diuidatur per hanc stabilitatis expressionem momentum materiae seu ine tiae totius corpori resipecti axis c , quod est , et pro dibit longitudo penduli simplicis sochrsini cum oscillatio nibus corporis sese circa axem c in aequilibrium restituentis
quae penduli longitudo proinde erit nec o cs mPR-- , Q. E. I.
et sae. Qiata est CD pr BCD. Vatque sunt centra grauitatis arearum Ac D et sic o sequitur rectam CD transiue per centrum grauitati sectioni aquae ACBD.
dis a. Si ergo se stioni aquae ACBD centrum grauitatis repertum ierit in I atque stabilita huius aequilibri situs requiratur respectu axis c d tum in sectione aquae ACBD per centriam grauitatis I ducatur recta parallela CD ipsi axi d qua inuenta stabilitas desiderata per calculum innotescet. Q a Coroll.
136쪽
ass. Qiaemadmodum autem p et sunt centra grauitatis partium CD, BCD sectionis aquae , ita intelligere licet puncta P et esse centra kil itionis earundem partium circa axem CD stillantium.
as . Postquam igitur sectio aquae recta per cerutrum grauitatis transeunte diuisa est in duas partes, utriusque partis tam centrum grauitati quam centrum o illationis debet indagari, quo facto sine ullo ad angulum inclinationis habito respectu stabilitas desiderata poterit iuueniri.
aps Quoniam inter stillandum centrem grauitatis totius corporis G recta vel astendit vel destendit, vise petuo debita corpori par maneat aquae submersia verspicuum est huiusmodi motum centri grauitatis fore minimum si recta verticalis per centrum grauitati totius corporis transiens simul per centrum grauitati sectioni aquae trans
et s6. Intelligitur ceterum quo maior sit expressio I IUGO eo firmius corpus in suo aequilibrii situ esse permansurum, si scilicet circa axem da inclinandum sollicitetur sin autem haec expressio fiat nefatiua , tum corpus minime declinatum iri subuersum.
137쪽
dis . Determinata igitii est satis commode et concinne stabilitas, qua numqtiodque corpus aquae insidens in aequilibri persistit, id quod primo intuitu summopere dissicile videri potuisset. Praeterea etiam ea regula est perquam simplex et facilis, cuius ope ipsa oscillationes quas corpus ex situ aequilibri depulsum sese restituens ab-mluit, quo ipso dignitas et utilitas huius theoriae abunde intelligitur' facile enim erit hinc insignia commoda ad nauigationem derivare , quod fieri non potuisset , si nodatio harum propositionum ad inextricabiles calculos deducta uisitet. Quae autem ad stabilitatem determinandam pro quoque corpore nos oportet, sunt praeter pondus totius corpori a quo quantita parti submersae pendet, lateruallum inter centrum grauitati corpori et centrum magnitudinis partis submersite atque imprimis sectio aquae quae ad hoc negotium calculo est ibiicienda Sectiones igitur aquae variarum gurarum conueniet considerari, atque ea expressione , quas ad stabilitatem definiendamnosi oportet, definiri quo post modum icilius sit doquoque corpore aquae innatante iudicium serre. Hunc in- sinem in sic ente propositione inuentam expressionem caliculo analytico sum persecuturuS.
ety8. Si sectio aquae suerit curra quaecunque ACBD, cuius natura per aequationem es data , de inire sabilitatem corporis aquae in identis respectu axis cuiusuis , per
138쪽
Sit M. massi seu pondus corporis aquae insidentis, et V volumen partis stubmersiae , atque Go exprimat ii
teruallum inter centrum grauitati corpori et centrum ma
gnitudinis partis submersae, possit centro grauitatis G in loco humilioren posito enim centro grauitati G supra centrum magnitudinis intum loco AE GO scribi debet GO. Iam per centrum grauitatis sectionis aquae ducta sit recta CD parallela illi axi, cuius respectu stabilitas quaeritur et ad hanc rectam tanquam axem referantur orthogonali ter ordinatae YXc ponaturque X e XY et et Sint porro centra grauitati arearum CAD et CBD , atque earundem centra oscillationis respecti axis CD ; et ex his punctis ad axem CD ducantur normales iis ris , P et Q S. iis positis erit
integralibus hi ita accepti, ut evanescant pons X atque tum loco, posito CD. Ita exprimet da aream CAD,
atque et dae aream CBD. Qitia vero est ADor: CBD. ρ, erit se dae fetet . ob ALD FIT 1 CBD. set et x Denique autem habebitur P R S quibus in formula supra inuenta substitutis reperietur stabilitas corporis in isto aequilibrii situ M(GO--- '
139쪽
ita ut omnes it positis emtorii atqueii, pos inlevationem
scio. Si recta CD sectionem a stiae in duas partes similes et aequale diuidat, erit ubique lao ergo casti labilitas erit M(GO si
so I. Si centrum grauitatis totius corporis Grai pracentrum magnitudini o partis submeriae cadat, tum in teruallum G O negative accipi oportet, eritque hi cassibus
Sor. Nisi ergo G ipra O cadat, aequilibri situs respectu omnium axium erit stabilis ; quia b - - et' dae semper assirmativum tenet valorem. At existente plancto magis eleuato quam , tum fieri potest, ut situ aequilibrii sit instabilis, id quod accidit si uerit O v --.
Os Quo autem has formulas eo facilius ad varia corporum aquae innatantium genera accommIodare liceat , figura nonnullas determinatas loco sectionis aquae CLD substituam , et quomodo se habeat stabilitas eiusmodi corporiam aquae insidentium inuestigabo Non solum autem stabilitatem respectu unici axis determinabo , sed respectu binonini inter se normalium , quo ex hac duplici stabili late
140쪽
tale respectu cuiusuis alius axis stabilitas possit aestimari. In hunc finem eiusmodi elegi figuras, quae vel in nauigatione locum habeant, vel etiam ad experimenta instituenda sint maxime accomodatae , Ut tam sit quam tilitas huius theoriae clarissime ob octilos ponatur. Hi sic igitur negotio absoluendo sequente destitatui propositiones quibus institutum huius capiti penitu eXhaurietur.
Tab XVI. O . Si corpori s quae in identis sectio aquae fuerit parallelograminum refrangulum EFFIΚ, inuenire eius labilitatem tum respectu axis CD , tum axis ad lare normalis AB
Confideretur primo laxis CD parallelus lueribus Esset, Iin, sitque EF ΚΗ AE L M, et massa seu pondus corporis m, Volumenque parti submersae I V. Ponatur CXLmae erit XY XZ IJ I et B. Ergo
EOS. Si ergo tam OH-: v cluana GO- MN,uerint quantitate affrinatiuae, tum situ, aequilibri corporis erit stabilis respectu cuiuSui aXi, aliuS Coroli