장음표시 사용
241쪽
Sive autems sit maius siue minus quam a per se-
de sit resissentia quam arcus Mori patietur meteti
ni ellipsis tota medietas Amresistentiam patiatur, erit
resistentia es et bis 1 - - - - - , --
sae s. Si igitur eadem ellipsis tum secundum direct onem axis EA, tum secundum directionem axis D in aqua moueatur; erit resis entia in priori casu et abeti 1
ἀM bies sim, etc. , resistentia vero, post
316. Resistentia ergo ellipsis secundum axem maiorem si progredientis se habet ad resistentiam eiusdem ellipsis
242쪽
ellipsis secundiam axem minorem B eadem celeritate promotae uti etc. ad F. -- etc. ubi e est semiaxis maior vero semiaXi minor.
sae . Si ergo di fierentia avium sit Valde parua puri a b - denotante d quantitatem Vehementer parvam , erit resistentia semissis ellipsis AD ad resistentiam
i ad CH quae congruit maxime cum hac ra
3IS. Vera autem ratio, quam resistentia semissis
vae igitur ratio, siquidems a non multum discrepet, proxime accedet ad hanc bl: .
. . ''m Is di figura aquae in directione A innatans composita ex duobus segmentis circulatibus aequalibus ABEet ADE, erit positis ACI aBC CD TE , radius circuli, cuius segmenta sunt sumtam Quare positis AP PM PN habebitur, a M(a- atque
Quamobrem obtinebitur et tam amo hincque
243쪽
hincque saepim sui quae expressio ducta in a dabit resistentiam , quam portio MAN patitur Quocirca si ponatur ei in proueniet resistentia , quam integra pars anterior BAD suffiret Resistentia autem, quam sentiet eadem figura, si in directione, eadem celeritate moueatura erito exemplo a. m
suo. Resistentia quam patitur recta BD in directione A mota est et ais unde erit resistentia figurae A in directione A motae ad resistentiam rectae BD in eadem directione motae ut aish- ab ad sa' - Lictb- ab unde resistentia rectae BD multo maior est quam resistentia figura BAD.
32I. Resistentia autem, quam patietur figura ABED mota secundum directionem, se habebit ad resistentiam eiusdem Dirae motae eadem celeritate in directione B ut ab - eth ad sa'--aalam sis ergo Mor sistentia prior semper est minor quam posteri .
Saa. is consideratis satis intelligitur nullam dari figuram finitam , quae minimam patiatur resistetitiam inter omnes alia iisdem terminis contentas. Quaecunque
244쪽
enim assignetur figura minimam patiens resistentiam , statim alia exhiberi posset, quae minorem resistentiam senti,
retri tantum datam curuam Vel eiu tantum portionem Vertu eam regionem in quam sit motus longando. Hanc
obrem nequidem quaestio oret instar toblemati, proponere inueniendam figuram planam , quae in aqua hori-χontaliter promota minimam sentiret resistentiam ipsa enim solutio nullum dari minimum in finitis declararet. Quo autem appareat, quaenam figurae finitae reliquis ratione resistentiae sint praeserendae ad alias conditiones simul est attendendum , quibus curua quaesita cogatur esse finita. Eiusmodi autem quaestiones formari possunt, ut vel inter omnes figura eandem aream habentes, vel inter omne eadem perimetro cincta ea determinetur, quae secundum datam irectionem in aqua mota minimam patiatur resistentiam. Ad soluendas vero istius modi quaestione conueniet termma sequens praemittere , quo methodii omnia huius generi problemata soluendi continetur
32s. Inuenire curvam , quae misi minitaue proprietate quapiam gaudeat, pes inter omnes omnino curuas, de inter eas tantum, quae a quadam siue pluribus prin
prietatibus aequaliter sint praeditae.
Tam ea proprietas, quae in curua quaesta maxima minimaue esse debet, quam eae proprietateS, quae in curua , e quibus electio est facienda , formuli integralibus indefinitis exprimentura ex iisque formulis nullo discrimine habito , quaenam proprietatem maximam mini
245쪽
mamite contineat, aut propi ietate communeS, natura UDuae quaesitae sequenti modo definietur. Singulae sormulae integrale propositae ad Ordinata orthogonale ae et oe- ducantur, ut in illis aliae quantitates non insint praeterae et ri cum ipsorum differentalibus tam primi quam altiorum induum. Posito autem dae conflante fiat oret pilae , O ae ae etc. quibus substitutionibus quaeque sormula proposita integralis reducetur ad lauiusmodi formam, dilae, in qua Z erit quantitas composita ex finitis quantitatibucae, ,r, etc. Qilare si ista quantita Z differentietur, eius disserentiale talem habebit formam, ut sit c M - - - PO -Q --Rb - etc. Ex hoc differentiali sormetur sequens quantita V III N H etc. atque eiusmodi valores V eliciantur ex singulis formulis integralibus propositis, quae vel maximum minimumue esse , vel omnibus curui ex quibus quaesita est definienda, communes esse debent. idenique singuli valores V inuenti multiplicentur per constantes quantitate quaScunque respective, Orumque productorum summa ponatur quae aequatio naturam curvae quaesitae exprimet. oc igitur secto res ituantur
locos , , , etc. assumti valores scilicet petet se tam
r Es etc. Vt Obtineatiar aequatio pro Urua quaesita solas binas variabiles, et a continens cum silis disserentialibus, in qua sit dae constans Q. E. I.
246쪽
sita est definienda eiusdem areae ponuntur, erit Ee dZ TTO , unde formula Dd valor ipsi V respo dens erit 1.
sas. Si vel cum maximae minimaeue longitudinis desideretur, vel omne curuae, ex quibu quaesita de-het inueniri eiusdem longitudini ponantur , exprimetur ista
fac si eiusmodi cum quaeratur, quae aquae' rimnialiter innatans secundum directionem axis, in quo abscissae, capiuntur, minimam pati debeat resistentiam,
tum ista formulas as minimam esse oportebit, haec e robormula o Iompilae, etias' et dae' --pp abui hanc I Cum igitur uri erit reto, tvvatque valor ipsius V respondens erit
3E . Si igitur inter omnes omnino cumas ea desider tur, quae maximam minimamue resistentiam patiatur, unica
habebitur formulas cuius propterea valor ipsius respondens debet esse et os labebitur ergo i
247쪽
et P qua aequatione natura lineae quaesitae ex
set S. Cum igitur ex hac aequatione fiat bonstans, sit pes erit O hdae; et et hae es c unde fieth. III p. tii valor in aequatione inuenta abstitutus dabit aequationem algebraicam inter x et chanc a x x J- m(x' - - '-c' quae quidem est pro linea recta seu pluribu recti connexis.
3as. Quo possito x o fiat simul amet os debebite' vel emo vel, III1. At si sit m 1 et psex et J x. sin autem ponatur c o habebitur aue m(x 'y, hincque quae aequatio quatuor linea recta complectitur.
sao Lemma hoc latissam patet, cum non latum iis problematis, quibus ex omnibus omnino curui Vna , quae maximi minimiue proprietate quapiam gaudeat, desideratur, reseluendis inseruiat sed etiam ad ea problemata sit accommodatum, quibus non ex omnibu curvis possibilibus, sed ex iis tantum , quae una pluribusue quibuscunque proprietatibus aequaliter sint praeditae una maximi minimiue proprietate gaudens desideratui. Multo amplior igitur extat huius lemmatis usiis, quam problematis Isioperimetrici, prout id quidem ad huc est tractatum, quo methodus traditur ex omnibus curuis vel eius-
248쪽
dem longittidii ais vel aliam quandam proprietatem aequaliter possidentibus eam definiendi , quae aliqua maximi minimiis proprietate gaudeat. Nam praeterquam quod methodu haec sitata unicam tantum spectat proprietatem , quae in omne curua competat, ea quoque ratione ipsarum formularum integralium quae vel maximae minimaeue vel omnibus curui commune esse debent, ingenti restrictioni est obnoxia bessat enim eius usus, statim atque in alteram siue in utramque sormulam integralem differentialia secundi altiorisve cuiusdam gradus ingrediuntur, dum methodus hoc lemmate tradita ad cuiusui gradus differentialia extenditur. At si ipse curvae arcu vel aliae sormulae integrales in ipsa quantitate; contineantur, lemma allatum nullum amplius praestat usum , sed cum alia methodo coniungi debet, quam , quia eius usu in sequentibus non occurit, hic praetermisimuS.
ssae. Inter omnes curuas AM cum me a P et apuplicata meandem aream comprehendentes inuenire eam
Tib. xxiii. A m, quae circa axem AP trinque disposita formet mu-h ramo MN in aqua minimam maximamue patientem re- si lentiam, si quidem in directione diametri P pr rediatur.
Positis abscissa AP ae, applicata PM quaestio huc redit, Vt inter omnes curuas, in quibus sedae eundem obtinet alorem, ea determinetur in qua fas,
249쪽
seu steti, posito, T pdae , sit maximum vel minimum. Prior igitur ormulae sp dx respondet hic valor posteriori vero est V m 2 existente P et b. Pro curua ergo quaesita obtinebitur ista aequatio P. atque 's. At ex eadem aequatione disserentiali per st multiplicata dP v mcti oritur integrando P - - iri ', unde et metret ex quibus
tem aequationibu tam ea curua , quae maximam quam quae minimam patitur resistentiam continetur. Q.
sa et si ponatur et cm , curua manebit eadem callus enim tantum axis priori parallelia accipitur, aliudque initium abscissarum. Pro hoc itaque axi si su
matur abscissatam et , erit applicata v. Coroll. I.
saa. Si ergo sumaturo o , tum et tam ae o quam J IIIo in initio igitur abseisiarum incidet curua in Mem , atque curua hoc loco ab axe tangetinet.
250쪽
sa . si ponatur fiet mareto et hanc rem eo loco ubi est IIIa , cum iterum in axem incidet, hic vero tangen curua erit normali ad axem.
sas. Deinde perspicuum est tam ab issam quam applicatam usque ad certos tandem termino crescere posse; obtinebit enim tam x quam maximum Valorem do petetra, hocque casu fit xm; et a.
sati . Denique siue cassumatiuum me negativum habeat valorem , abstita, manet eadem, ata negativum obtinet alorem sumtos negativo, ex quo intelligitur axem in quo abstiuae a capiuntur, simul esse diametrum
curua erit algebraica , atque per in nita puncta descriptu citis. Sumatur enim axis A directioni secundum quam figura in aqua mouetur parallelus, atque constauctio inuenta praebebit curuam triangularem AMBCDNA tres habentem cuspides A, B, D ad angulos trianguli aequilateri ABD dispositas, ac re portione inter cuspide comprehensae , AMB AND etBCD erunt inter se a quales et similes. Erit autem ACTI a AE et BEI DEm a tangente Nero in B et D cum recta BD constituant angulum a graduum. Num igitur haec curua