장음표시 사용
241쪽
M LIBE Ris 8D. Prisma iacens B a. is So). Prisma jacens Bb. 3y6.o . Eadem summa. Area Trianguli C pDc e 6ssumma corporum s M. . I 8 D. Pyramis erecta Ca. 36D. Pyramis jacens C b. a s D. Eadem summa. Area totius orthographiae Sis D. ce is Solidorum summa S 38 D.
as et o). Solidum superius. 3o6B. Solidum inferius.ss D Solidorum summa. Ex hisce fundamentis tabula est supputa, cujus usus in sequentibus propositionibus
Nuc pertinet Tubula particulari. Solidorum superiorum o Inferiorum. Pacie 2. Folio 32.
TN hac propositione requiritur, ut Planum quod solidum Quadrangulare dividit,quiescat super infima linea, sive pede, illius O
242쪽
thographiae quae solidum quadrangulare sinit ex una parte; summitas vero hujus plani finiatur in supremo puncto oppositae, & priori parallelae,Orthographiae: ita ut Basis Solidi superioris linea sit in Ichnographia, Inferioris vero Parallelogrammum : Idem vero Parallelo a grammum etiam Ichnographia est totius solidi Quadranguli. Reliquae figurae ita sunt intelligendae. Figura N' 111. sectionem Solidi quadrangularis in loricis Horigontalibus; Figura m. in vallo, Figura ris in Loricis viae coopertae Quadrantalibus & dimidiatis; Figura ii .in Loricia viae , coopertae Dodrantalibus & Regiis demonstrato
Theorema c. FicvRA N' CXvI. Olida superiora ejusdem orthographiae, in quibus eadem etiam proportio acclivitatis est, sunt inter se ut Bases, si ve lineae, quibus solidum super Horigonte finitur.
Olidum superius A E F B: & solidum supe- Otius C G H D, concipitur ablatum ex suo vallo , habentque eandem orthographiam. nempe illam quae est in figura Iis, & eandem
243쪽
xis L I B E R proportionem acclivitatis, ita ut tam latitia doacclivitatis prioris figurae quae est inter parallelas AB& EF)quam acclivitas posterioris figurae (quae est inter Parallelas C D, G H
aequales sitnt ; nempe hic aequantur altitudini
valli. Dico quod sit ut Basis A Bad Basin CD, ita solidum AB EF ad solidum CDG H. Cum
enim uniuscujusque corporis plana inferiora hic concipiantur in Orthographia, nempe ita. ut perpendiculariter illa plaua surgant so per lineis AB & CD, altitudines Corporum errant inter Parallelas A B & IΚ, & inter Parallelas CD&LM, cum vero priores Parallelae inter se eodem intervallo distent , quo posteriores
inter se distant, erunt omnium Corporum eaedem altitudines. Habent vero etiam latitudines aequales, nempe altitudinem valli ex eadem orthographia, quocirca erunt inter se ut
Bases. Nempe ut est Basis AN ad Basin CP, ira Pyramis cujus Triangulum perpendiculariter surgit super A H & apex est in E , ad Pyramidem cujus Triangulum perpendiculariter est super C P & apex in G: similiter ut Basis N O est ad Basin P Q ; ita est Prisma jacens, cum ius Rectangulum perpendiculariter erigitur super NO & summitas est linea E F ; ad Prisma jacens cujus Rectangulum quiescit perpendiculariter super P Q N summitas est G H; Ea- . dem ratione ut O B ad QD, ita erit Pyramis cujus Triangulum perpendiculariter inflarlineae
244쪽
T E R T I v s. EI lineae o B & summitas acuminatur in F; ad Pyram i dem cujus Triangulum ad angulos rectos est super QD & summitas in H. Lineae vero A B&CD secantur secundum eandem proportionem,per Parallelas occultas, erunt igitur ex aequalitate etiam scum sint ut AN,
Hinc sequetur etiam corpora, quorum hae lineae Bases sunt, esse inter se ut AB ad CD; fuerunt enim inter se ut Bases.
Igitur ut Ap ad CD, ita Pyramis A NE ad Pyramidem C P G : & ut AB ad C D, ita Pri a jacens N E O F ad Pri a jacens P G Q H; & tantem ut A B ad C D, ita Pyramis B O F ad Pyramidem D QD. Cum
igitur sit unum quodque antecedens ad suum consequens,ut AB ad CD, erunt etiam omnia antecedentia ad omnia consequentia ut A Bad C D; nempe ut A B ad C D, ita erit Solidum superius AEFB ad Solidum superius C G H D. q. e. du
245쪽
Oolida inferiora ejusdem orthographiae, M in quibus ea dcm proportio acclivitatis est, sunt inter se ut Bases, sive lineae, finientes Parallelogramma quibus corpora in Horigonte superponuntur.
Int solida inferiora in eadem figurae; ut OAIBΚ Parallelogrammum sit, super Hori-xonte, cui primum solidum umpositum est; CLDM vero Parallelogrammum, cui secundus olidum impositum est; dico esse ut AB ad CD ita Primum solidum AIBΚEF, ad secundum solidum CLDMGH; erunt enirn ut in praece denti propositione unumquodque corpus primi solidi ad respondens corpus secundi solidi ut AB ad C D : quocirca etiam ut A B ad C D ita totum primum solidum AIB NEFad totum secundum solidum CLDMG H. solida igitur inferiora &e, sunt inter se ut lineae quae Parallelogramma inferiora subtendunt,
246쪽
Orpora in quibus aequales & similes Bases sunt inter se sunt ut altitudines. Nempe Parallelep. super aequalibus Basibus sunt intelse ut altitudines. Prismata erecta super aequa libus Basibus sunt inter se ut altitudines. Prismata jacentia inter se eodem modo. Et Pyramides jacentes inter se , & Pyramidesere similiter inter se, sunt ut altitudines.
PonanturBases duorum corporum ejusdem speciei A & B, sintque illae Bases similes &aequales , altitudines vero diveris. Ponatur Altitudo corporis A prima magnitudo; altitudo corpinis B secunda magnitudo: soliditas A tertia, & soliditas B quarta magnitudo:examinanti intum evadet, quod quando Attit do A superat altitudinem B tunc etiam nece sesario soliditas A superet soliditatem B;&quando altitudo A aequatur altitudini B,tunc etiam
soliditas A aequalis sit Soliditati B ; & quando
Altitudo A minor est altitudine:B , etiam soliditas A ininor est siliditate B: idque semper necessatio contingit. Quocirca ex desinitione Euclidis, erit etiam ut Altitudo A ad altitudinem B. ita soliditas A ad soliditatem B, sive corpus A ad corpus B. Corpora igitur ejusdem speciei in quibus Bases aequales iunt, inter se sunt ut altitudines q.e. d. P R O-
247쪽
Theorema 8. FrcvRA N' CXVII. Olida superiora ejusdem orthographimo aequalem lineam pro Basi habentia, sed diversam latitudinem acclivitatis, sunt inter se ut illae latitudines acclivitatum.
Sint solida superiora, quae ablata sunt, sive resecta, in figula III, primum quidem A B D C, secundum vero EFGH, habeant vero latitudines acclivitatum IB & ΚF diversas, dico ut I B est ad ΚF ita fore solidum superius A B D C ad solidum superius EFGH. Cum enim orthographia utriusque corporis eadem sit ( pono enim esse retentam Orthographiam Figurae ris & partes Orth graphiae,quae hic plana inferiora in corporibus censentur, eaedem manebunt, habebit igitur Pyramis AIB & Pyramis E Κ F aequalem Basia, nempe Triangulum A figurae iis; similiter Prismata jacentia I B P C & Κ FG Q eandem Basin habebunt, Rectangulum B figurae iis:& Pyramides DPC, HQG eandem Basin hambebunt videlicet triangulum C figurae iIS.Iam vero corpora ejusdem lpeciei,& aequales Bases habentia, ex praecedenti lemmate sunt inter
248쪽
T E R T I v s. a1r 'se ut aItitudines, erunt igitur, ut altitudo I B
Pyramidem H QG. Erunt igitur & omnia antecedentia, nempe solidum superius A B D C. ad omnia consequentia, hoc est ad solidum E F G H ; ut Pyramis AI B, unum antecedens, ad Pyramidem E ΚF, unum consequentium; sed Pyramis AIB ad Puramidem E Κ F est ut IB ad Κ F, ergo etiam ut IB ad Κ F, itasolidum ABDC, ad Solidum EFGH. Quocirca solida superiora&c, sunt. inter se ut latitudines deis clivitatum q. e. d.
Theorema P. FicvRA N' CXVII. C Olida inferiora ejusdem orthographiae in quibus aequales lineae Basi subtenduntur, sed latitudo acclivitatum diversa est, sunt inter se ut illae latitudines declivitatum.
C Olidum infelius A L M D B C ad solidum
inferius ENOH FG, dico esse ut I BadΚF. Cum enim tota, nempe solida quadrangularia, habeant aequales Bases, nempe eandem orthographiam, erunt inter se ut longitudines sive
249쪽
sive altitudines , nempe ut A L ad EN, siud quod idem est ut IB ad ΚF: cum igitur totum ad totum sit, ut Ablatum solidum superius AB DC ad ablatum solidum superius E F G H; erit & residuum, solidum inferius ALMDBC. ad residuum inferius ENOH FG, ut totum ad totum , sed tota fuerunt inter se ut IB ad ΚF, ergo etiam ut lB ad ΚF , ita solidum inferiusALMDBC, ad solidum inferius ENOH FG.
Ηuc pertinet Tabula generalis solidarum superiirum
S Inferiorum. Parte t. Folio ultimo. Vsus TABvLAE.TTAEc tabula exhibet solida superiora &in-3feriora, in quibus latitudo Acclivitatis est vel aequalis altitudini, vel ejusdem semissis ; illa Latitudo semper est adscripta. Adscripta etiam est Basis cujusque solidi supputati. Vt autem usus clarior evadat , observentur sequentes Regula . R E c v L A I. Tri Ata Orthographia & Basi Solidi superioris, una cum proportione latitudinis acclivitatis, ad altithdinem et reperietur soliditas ejusdem solidi superioris ; nam ut est Basis tabulae ad Solidum superius illius Orthographiae' latitudinis, in tabula, ita Basiis data ad . soli-
250쪽
solidum inveniendum. per ri hujus. Exempli gratia. Finitur aliquod Propugnaculum ad umen ; quia vero vallum ibi perpendiculari plano abscissum non posset extrui, danda est illi patii abscisse aliqua Acclivitas cum autem illa Acclivitas ad aquas consistat, necessario illius latitudo altitudini aequalis erit efiicienda . Pono vero quod Orthographia ejus valli. sit Munimentorum Orthographia, & Basis ad aquas sit Ioo pedum: quaeritur quantum fututum sit solidum superius, quod propter talem declivitatem esset subitahendum a soliditate valli. Cum latitudo declivitatis altitudini aequalis ponatur; reperiam autem altitudinem valli& loricae simul (summa enim sive maxima altitudo hic semper intelligitur) hic et A.vigore tabellae positae libro secundo post propositionem s. inquiro solidum superius valli Munimentorum . quod habet hanc latitudinem nempe E A. & invenio Basin Si(o . Solidum superius vero Ir 6'I8 Jo oo S.
Basis Sio oom. Dat Solidum superius 126s 8TIO OOZ. Quid dat Basis data Io oo oom. Si multiplices invicem ultimos numeros pro di bit productum iE6y 8 so ooo OOQo A.