장음표시 사용
51쪽
et LIBER datis convenientibus Delineationem supputat, sed ad Geometras rejiciatur ; sollicitus fui ut, quantum ingenii mei exilitas permisit,optimum modum eligerem, eumque solum , neglectis aliis, traderem, is autem talis erit. i. Facies dimidia sumatur pars ipsius Cho dae, ita ut proportio Chordae ad Faciem sit dupla. Ratio est quod hac proportione, coeteris paribus, Ala Chordae augeatur, & propugnaculorum enormium evitetur profusio. Item quod in plerisque Figuris , sub minori ambitu, di per consequens cum paucioribus praesidiis, majus spatium defendatur. Ergo in Regiis figuris, Facies ducentorum quadraginta,Chorda Quadringentorum octoginta pedum erit. 2. in proportione Alae, optimum est ut illa pollit esse dimidia pars Faciei, vel pars aliquoia, ut tertia vel quarta. Cum autem non omnes figurae commode hoc admittant, tali progressione Arithmetica utor et ut Quadratae figurae Alam dem ex quarta parte faciei. Quinquan gulae ex tertia. Hinc semper decem pedibus accrescit, donec in Non angulo sit dimidia pars Faciei, de ita in omnibus sequentibus subdupla est proportio Alae ad Faciem , eademque subdupla proportio Faciei ad Chordam; & per consequens Chordae ad Faciem dc Faciei ad Alam proportio est Dupla continua, qua quidem meliorem reperii i non posse con
fido. Erit igitur Ala in Regi ii Figuris.
52쪽
In Quadrangulo, Sexaginta pedum. In Quinquangulo, Octoginta pedum. In Sexangulo, Nonaginta pedum: In Septangulo, Centum pedum. In Octangulo Centum dc decem pedum. In Non angulo,& sequentibus, Centum viginti pedum. Hac ratione Alae Chordae maxima essicitur, re ita primum & praecipuum requisitum stabili tui. Linea Colli (quod erat secundum requisitum) centum pedes exuperat. Defensio stringens stertio) nunquam ad quingentos pedes ascendit. Alae vero longae munimentis datae sunt, prioribus figuris dari nequeunt nisi irreparabili .defensionis damno ; pro decem enim pedibus quibus Ala accrescit, in quadrangulo plus quam triginta sex pedes pereunt ex Ala Chordae: auferendi: eae Defensio stringens quadraginta pedes longius rejicitur, ita ut firmiter concludam, Alas longiores, in prioribus figuris oculis quidem abblandiri, defensionem vero prorsus corrumpere, ut ter tanti
manifestum erit. Videatur etiam hac de re schema superius, Numero tertium, quod clam rius dicta mea firmabit. Quod ad angulorum proportionem attinet, illorum nonnulli necessitate Mathematica ex supputatione, secundum siguram datam, prodeunt; unus vero prolubitu sumi potest, quem elegi angulum proe pugnaculi; in quo, usque ad Duodecangulum,
53쪽
haec proportio servatur, ut Angulus Propugnaculi quindecim gradibus semissem anguli figurae superet ; ac prodeat Mediatione An
guli figurae, & Additione ad illud quod ex
mediatione provenit, is Graduum : In reliquis sequentibus , Angulus Proppgnaculi Rectus est, adeoque non supputatur, sed per se datur, Nonaginta graduum. Propter hanc diversitatem aliter figurae cum propugnaculis acutangulis, aliter cum Rectangulis deli
Figuras Acutangulis Propugnaculis cinctas, delineare . FicvRA N' XVI. v N hac & sequentibus propositionibus quin-- que danda sunt; quae quidem ab aliis aliter
sumuntur, ita tamen ut ex illis quinque datis nullum ab altero dependeat, nec alteri contrarietur. Dabo hic. I. Figuram. 2. Faciem. 3. Chordam. . Alam. s. Proportionem anguli Propugnaculi. Exemplo serviat Quinquangulum Regium, cujus data supra fuerunt proposita; secundum hujus normam Figurae usque ad Duodecangulum conficiuntur, ita ut nulla alia, in constructione , quam in sola Ala sit differentia , quae tanta sumenda est quanta in quavis figura praescripta est. Primo vero,
54쪽
vero, hic scala est eligenda, vel conficienda, ex ui qua lineae Cognitae desumuntur, ut in Regiis si figuris paulo ante datae fuerunt: Si vero Caci stellum minus quam Regium delineare velisti' Detineatio ex hac propolitione fiat, perfecta di demum figura, scala per primam hujus, ex lonia situdine cujuscunque lineae datae conficiatur. ac Constructio vero ita se habet. a. Ducta linea satis longa ex punctoisuper eade, i, A, quovis intervallo, semicirculus describatur BEC hie semi circulus dividatur in tot partes quot latera figura munienda habere debebit, rit hic in quinq; , quarum partium duae BD d DE, abscindantur linea quae ex A ducitur per E, eritque E A X angulus Figurae: Hinc ex scala, intervallo ducentarum quadraginta partium, centro A electo , rursus pars Peripheriae F G
describatur, quae secabitur per lineam EA in , C: ex O intervallo A G, abscindatur Κ O: Arcus E O bisecetur in L, dc erit totus so graduum, dimidius vero Lo 3o graduum ; Arcus L O rursus bisecetur in M, erit M O is graduum; Tandem etiam arcus M O bisecetur in N, erit N O graduum & Dimidii. Deinde arcus O G, qui metitur angulum figurae bisecetur in H,erit OH arcus dimidii anguli figurae bisecandus in I, ut IH sit quarta pars arcus anguli Figurae. Sumatur circino intervallum N I, quod comprehendit quartam partem armcus anguli Figurae &insuper et gradus cum dimidio,
55쪽
18 LIBERmidio, atque hac intercapedine . ex centro Habscindantur arcus P H dc HR, erit arcus P R. duarum quartarum anguli figurae & insuperbis septem dc dimidii gradus, sive quod idem
est, semissis arcus anguli figurae adiectis quindecim gradibus, quae est proportio data Anguli Propugnaculi, siligitur ducantur P A MAR, erit PAR angulus Propugnaculi,&lineae
comprehendentes , Facies Propugnaculi erunt. Per punctum R perpendicularis agatur
in lineam A X, nempe SQ ; super qua, longitudine Alae ex scala desumpta,abscindatur RS: Chorda deinde ex scala desumpta,abscindatur
Qv: super hac linea Q V Rectangulum fiat S T D; fiat & VX aequalis A Q , dc super limnea T v abscindatur Ala aequalis priori S R, ab hujus Alae extremitate ad X, ducatur facies. Super media AX perpendicularis erigatur ZY,&ex A per H linea ducatur, abscindens perpendicularem in T, eritque Z Centrum figurae, ex quo descripto circulo, &ductis T b, dca S, latus toties signetur, in illo circuitu, quomites figura exigit, & latera ducantur. Reliqua propugnacula ita conficiuntur, intervallo a S, vel Tb, abscindatur c d , ce, & perpendiculam res erigantur. d f& eg, aequales ipsi S R, expunctis fi & g, tanquam centris arcus describantur ii, intervallo Faciei AR , ductis f h, deg ii, habebitur quaesitum.. Lemma.
56쪽
FrovRA N' XVII. NI figura plurium angulorum muniatur propugnaculis Rectangulis, proportio vero Chordae ad Faciem sit, ut illa Diagonalis longitudinem habeat quadrati super hac descripti,producetur ex connexmne punctorum Alae, figura Sc aequilatera & aequiangula, numerum laterum duplicatum habens, ejus, quem habuit figura mUnita. Cum enim quadrata aequalium linearum RH & HC aequalia sint, erit etiam quad. HC bis sumtum, aequale quadratis R H, H C, simul. Hisce vero Quadratis RC & H C per penultimam primi Euclidis aequatur quadratum RC;& quadrato H C bis sumto aequatur quadratum Diagonalis AB, erunt Quadrata RC, AB inter se aequalia, cum vero CA BD sit Rectangulum erit CD aequalis ipsi A B, & R C, C Dinter se aequales; eademque in reliquis propugnaculis est Demonstratio; est ergo figura quae ex connexione laterum sit AZqui latera. Sed &AZquiangula est ductis enim R- , C - , erunt Triangula aequalia propter semisses RC, quae latera sunt Triangulorum, aequales, & latuS unum commune, angulosque rectos ab his lateribus comprehensos aequales, erunt igitur
etiam R w,CNU aequales, & similis modus
57쪽
s, LIBER demonstrandi est in reliquis propugnaculis ecum igitur puncta Alarum ubique aequaliter distent a puncto , poterit illud pro centro eligi, & transibit circulus per puncta figurae aequilaterae, quae ex lineis puncta Alarum connectentibus conficitur. Est ergo per Notata Clavii ad Euclidem,figura aquilatera in circulo descripta AEquiangula etiam. Q. e. ost. Notandum esset quod longitudino Alarum hic nihil ad rem pertineat, qualiscunque enim
illa sit, sussicit. PROPOSITIO XVII. Figuras Propugnaculis Rectangulis
cinctas delineare . FicvRA N' XVIII. DVo hic admonenda sunt antequam ad constructionem deveniamus. Prius est, quod primo quidem, figura eligenda sit, quae habeat numerum laterum duplicatum, laterum figurae munitae , &quod super lateribus alternis debeant construi Triangula Recta gula Isoscelia, quorum latera F H, H D item E I, I G sint aequalia ; super reliquis lateribus vero Rectangula, quale esset hic cd D E, quorum latera c D & d E , dimidia sint ipsius F H verum tota figura in Constructione non fuit perfecta, cum tantum paucis lineis opus esset. Secundo monendum est , quod lineae ipsae
58쪽
P R I M v s. 3r non sumantur cognitae, sed proportiones tantum ; Chordae nempe ad faciem Dupla , Mfaciei ad Alam, quae item est Dupla: Constructa demum figura ex longitudine Chordae 8o pedum , secundum primam propositionem scala conficitur. Si igitur Figura undecangulo major m nienda sit, sumatur ex scala quadam accura tissime divisa latus figurae, tot partium quot in sequenti tabella praescribitur , atque ejus longitudinis fiat linea AB. Deinde ex eadem
scala desumantur A C & B C mille partium. . si atque Triangulum Isosceles ACB & prolongentur A C , C B ; hinc ex centro C inte vallo AC Circulus describatur, & arcus AB in quatuor partes dividatur, quarum duae DE : arcui vero D E aequales abscindantur F D & E G, quibus semicirculi superscrimbantur F H D, & EI G ; Connectantur F H, H D, EI,& IG, item HI. Per puncta Ddc E Perpendiculares deriventur super HI, quae sunt D Κ & E L. Dividatur Angulus H CI bifariam , per lineam satis longam, cui lineae intervallo HD Parallelae utrinque sunt ducendae M N & O P i Hisque lineis rursus intervallo HΚ Parallelae ducuntur QR MST, jungatur RT, eritque linea RT latus
figurae muniendae exteriusi. Puncta vero R& T ex intersectione QR & CR, itemque ST dc CT proveniunt. Dividatur NP inquatuor
59쪽
st LIBER quatuor partes aequales, quarum una NU; hine super lineis M N EM O P intervallo D Κab scindantui N dc PY; intervallo vero N v rursus N X de YZ abscindantur , Ac per puncta X de Z Linea ducatur, quae finitur super Radiis circuli in a,& b ; intervallo Ca, ex Centro C circulus describatur, in quo figura munienda inscribitur, ac reliqua propugnacula ut in praecedenti propositione absolvuntur, ductis tamen prius Fa
Dico hanc figuram esse munitam ex quinque datis supra propofitis. Est enim figura per se duo decangula. Chorda 8o pedum. Facies H D vel R N aequalis dimidiae Chordae M C adeoque et o pedum. Alae vero, ex Constructione sunt quartae pastes Chordae sive lineae N P, itaque erunt i Eo pedum. Arimgulus propugnaculi deniqne rectus est, est enim aequalis F H D, qui in Semicirculo descriptus fuit. Reliqua mediocriter in Geometria versatus, supplebit. Eadem ratione reliquae sequentes figurae post duo decangulum. muniuntur, modo primo A B ex figura debita desumpta sit. Majores tamen figurae dissicillime hoc modo delineantur.
60쪽
rum Regularium ex Ludolfo a Ceuten. Posito Radio Iooo. vel Iooooo partium. Figura
Pro exemplo duodecangulum construxi.Seisin i est mille partium pro Radio intimi ci culi. Scala et est confecta ex longitudine Chordae data 8 b pedum.
Supputatio Delineationum Figura
rum Regularium. REPETAT vR Fic vRA N' XV.DRaecedentium duarum propositionum u- sus tantum est, ut figura depingi sive delineari possit antequam supputet ut, & ita De- lineatio cum supputatione statim conferri pos-