장음표시 사용
401쪽
Si e radicibus tres maximae A 16 A ω, A vel tres Fis, 3, 6 minimae A ' A ., A Ρ sequentur inter se, Nodus in
cuspidem accutissimum convertetur. Nam crura duo Hyperbolae circumscriptae ibi in . angulo contactus concurrent & non ultra producentur. Et haec est species tertia. Si e radicibus duae mediae A W & Α π sequenter in F V,
ter se, puncta contactus v & I coincidunt, Sc propterea Ovalis interjecta in punctum evanuit, Sc constat figura ex tribus Hyperbolis, inscripta, circumscripta Sc ambigena cum puncto conjugato. Quae est species
Si duae ex radicibus sunt impossibiles εc reliquae' ola, i ι duae inaequales & ejusdem signi nam signa contraria habere nequeunt,) purae habebuntur Hyperbolae tres sine ovali vel Nodo vel cuspide vel puncto conjugato, & hae Hyperbolae vel ad latera trianguli ab Asymptotis comprehensi vel ad angulos ejus jacebunt& perinde speciem vel quintam vel sextam consti
Si e radicibus duae sunt aequales & alterae duae o,to,i s vel impossibiles sunt vel reales cum signis quae a sig-.nis aequalium radicum diversa sunt, figura cruci Ormis habebitur, nempe duae ex Hyperbolis sei icem decussabunt idq; vel ad verticem trianguli ab A . sumptotis comprehensi, vel ad ejus halem. Quae duae species sunt septima & octava. Si deniq; radices omnes sunt impossibiles, Vel D, i, omnes sunt reales & inaequales & earum duae sunt affirmati a & alterae duae negativae, tunc duae habe-huntur Hyperbolae ad angulos oppositos duarum Asym'
402쪽
Fig. 2O Fig. 2 a Fig. 2I Fig. 22. Fig. 23s
Asymptoton cum Hyperbola anguinea circia Asymptoton tertiam. Quae 1pecis est nona. Et hi sunt omnes radicum casus possibiles. Nam si duae radices sunt aequales inter se, & aliae duae sunt etiam inter se aequales, Figura evadet Sectio Conica cum linea recta. Si Hyperbola redundans habet unicam tantum Diametrum, sit ejus Diameter Abscissa A B, Sc sequa
Si radices illae sunt omnes reales Sc ejusdem signi, Figura constabit ex Osali intra triangulum D d p jacente Sc tribus Hyperbolis ad angulos ejus, nempe circumscripta ad angulum D Sc inscriptis duabus ad angulos d p. Et haec est species decima Si radices duce majores sunt aequales Sc tertia ejusdem signi, crura Hyperbolae jacentis versus D sese decussabunt in forma Nodi propter contactum Ovalis. Quae species est undecima. Si tres radices sunt aequales, Hyperbola ista fit cuspidata sine ovali. Quae species est duodecima. Si radices duae minores sunt aequales Sc tertia ejusdem signi, Ovalis in punctum evanuit. Quae species est decima tertia. in speciebus quatuor novimimis
Hyperbola quae jacet versus D Asymptotos in sinu suo amplectitur, ireliquae duae in sinu Asymptoton
Si duae ex radicibus sunt impossibiles habebuntur tres Hyperbolae purae sine ovali decussatione vel cuspide. Et hujus caius species sunt quatuor, nempe decima quarta si 'perbola circumscripta jacet versus D dc decima
403쪽
decima quinta si Hyperbola inscripta jacet versus D, decima sexta si Hyperbola circumscripta jacet subba fi d δ trianguli D d ii, & decima septima si Hyperbola inscripta jacet sub eadem basi.
Si duae radices sunt aequales & tertia signi diversi a figura erit cruciformis. Nempe duae cx tribus Hy- fi δs perbolis scin vicem decumbunt idq; vel ad verticem trianguli ab Asymptotis comprehensi vel ad ejus basem. Quae duae species sunt decima octava & decima
Si duae radices sunt inaequales & ejusdem signi Sctertia est signi diversi, duae habebuntur Hyperbolae
in oppositis angulis duarum alymptoton cum Con-eboidali intermedia. Conchoidalis autem vel jace-hit ad easdem partes asymptoti suae cum triangulo ab asymptotis constituto, vel ad partes contrarias ;& hi duo casus constituunt speciem vigesimam & vigesimam primam. Hyperbola redundans quae habet tres diametros,
constat ex tribus Hyperbolis in sinubus asymptoton jacentibus, idq; vel ad angulos trianguli ab asymptotis comprehensi vel ad ejus latera. Casus prior dat speciem vigesimam secundam,& posterior speciem vigesimam tertiam.
Si tres asymptoti in puncto communi se mutuo decussant, vertuntur species quinta & sexta in vigesimam quartam , septima & octava in vigesimam quintam, & nona in vigesimam sextam ubi Anguinea non transit per concurium asymptoton, & in vigesimam septimam ubi transit per concursum illum, quo eam termini b ac d desunt, & concursus asymptoton est centrum figurae ab omnibus ejus partibus
404쪽
oppositis aequaliter distans. Et hae quatuor species Diametrum non habent. Fig. 3 . Vertuntur eti im species decima quarta ac decima I sexta in vigestinam octavam, decima quinta ac de- Fig. 3 . cima septima in vigesimam nonam, decima octava& decima nona in tricesimam, & vigesima cum vigesima prima in tricesimam primam. Et hae species unicam habent diametrum. 38. Ac deniq; species vigesima secunda & vigesima tertia vertuntur in speciem tricesimam secundam cujus tres sunt Diametri per concursum asymptoton transeuntes. Quae omnes conversiones facillime intelliguntur faciendo ut triangulum ab asymptotis comprehensum diminuatur donec in punctum eva
XIX. Si in primo aequationum casu terminus a re negativus est, Figura erit Hyperbola desectiva unicam reuis non hab-- habens asymptoton & duo tantum crura Hyperbo-
lica juxta asymptoton illam in plagas contrarias infinite progredientia. Et asympotos illa est Ordinata prima & principalis A G. Si terminus e 1 non deest figura nullam habebit Diametrum, fi deest habebit unicam. In priori casu species sic enum
Si sequationis hujus a P πόα cxx--dωψ lesi'. 39 radices omnes A η', ΑΡ, Ap, A., sunt reales & imaequales, Figura erit Hyperbola anguinea asymptoton flexu contrario amplexa, cum Ovali conjugata. Quae species est tricesima tertia. Si radices duae mediae ΑΡ & Ap aequentur inter'. Q. se, Ovalis & Anguinea junguntur sese decussantes in forma Nodi. Quae est species tricesima quarta.
405쪽
Si tres radices sunt aequales, Nodus vertetureus dem accutissimum in vertice Anguineae. Et haec est species tricesima quinta. Si e tribus radicibus ejusdem signi duae maximae fit. 43. ApEk Aω sibi mutuo aequantur, Ovalis in punctum evanuit. Quae species est tricesima sexta. Si radices duae quaevis imaginariae sunt, sola manebit Anguinea pura, sine ovali, decussatione, cuspide vel puncto conjugato. Si Anguinea illa non '. r.
transit pet punctum A species est triccisa septima, sin transit per punctum illud A id quod contingit Fig. a. ubi termini s ac d desunt,) punctum illud A erit
centrum figurae rectas omnes per i plum ductas ad Curvam utrinq; terminatas hi secans. Et haec est species tricesima octava. In altero casu ubi terminus e 1 deest & propterea XX. figura Diametrum habet . fi sequationis huius ad
reales, inaequales & ejusdem signi, figura erit Hyper- bola Conchoidalis cum Osali ad convexitatem. Quae τ' ' 'est species tricesima nona. Si duae radices sunt inaequales & ejusdem signi Fig. 4 tertia est signi contrarii, Ovalis jacebit ad concavitatem Conchoidalis. Estq; species quadragesima Si radices duae minores AT, At, sunt aequales Fig. o. 8c tertia A. est ejusdem signi, ovalis & Conchoidalis jungentur sese decimando in modum Nodi, Quae species est quadragesima prima. ' . Si tres radices sunt aequales, Nodus mutabitur in Fig. 4 .
Cuspidem Sc figura erit Cu seu Veterum. Et haec est species quadragesima secunda.
406쪽
'. 49. Fig. 4 . Fig. 48, 49 XXI.
tem Parabolica Diametrum non haberit Ia
Si radices duae majores sunt aequales, & tertia est ejusdem signi, Conchoidalis habebit punctum conjugatum ad convexitatem suam, estq; species quadragesima tertia. Si radices duae sunt aequales & tertia est signi contrarii Conchoidalis habebit punctum conjugatum ad concavitatem suam, estq; lpecies quadragesima
Si radices duae sunt impossibiles habebitur Conchoidalis pura sine ovali, Nodo , Cuspide vel puncto conjugato. Quae species est quadragesima
quinta. Siquando in primo aequationum casu terminus ais
deest & terminus lxx non deest, Figura erit Hyperbola Ρarabolica duo habens crura Hyperbolica ad unam Asymptoton SAG duo Parabolica in plagam unam & eandem convergentia. Si terminus e 1 non deest figura nullam habebit diametrum, sin deest habebit unicam. In priori casu species sunt
Si tres radices ΑΡ, A in , A π arquationis hujus δα - -cα - - dx -:ee m o sunt inaequales & ejusdem signi, figura constabit ex Ovali & aliis duabus Curvis quae partim Hyperbolicae sunt & partim Parabolicae. Nempe crura Ρarabolica continuo ductu junguntur cruribus Hyperbolicis sibi proximis. Et haec est species quadragesima sexta. Si radices duae minores sunt aequales & tertia est ejusdem signi, ovalis & una Curvarum illarum Hyperbolo-Ρarabolicarum junguntur & se decussant in torinam Nodi. Quae species est quadragesima septima.
407쪽
Si tres radices sunt aequales, Nodus ille in CuD Sig. 3 a. pidem vertitur. Estq; species quadragesima octava. Si radices duae majores sunt aequales & tertia est 13. ejusdem signi, Ovalis in punctum conjugatum evanuit. Quae species est quadragesima nona. Si duae radices sunt impossibiles, manebunt purae H g- 33, 4. illae duae curvae Hyperbolo-parabolicae fine ovali, decussatione, cuspide vel puncto conjugato, S. speciem quinquagesimam constituent. Si radices duae sunt aequales Sc tertia est signi con- Hii Is trarii, Curvae illae hyperbolo-parabolicae jungunturiale decussando in morem crucis. Estq; species quinquagesima prima Si radices duae sunt inaequales & ejusdem signi & fg si tertia est signi contrarii, figura evadet Hyperbola anguinea circa Atymptoton A G, cum Ρarabola conjugata. Et haec est species quinquagesima secunda. In altero casu ubi terminus e 1 deest & figura XXll. Diametrum babet, si duae radices sequationiS hujuS ubἡ a, b,/ἰὸ
δκκ -cκ -d o sunt impossibiles , duae habentur mametrum ha-
figurae hyperbolo-parabolicae a Diametro AB hinc et
inde aequaliter distantes. Quae species est quinquagesima tertia, . Si aequationis illius radices duae sunt impossibiles, FD. 38. Figurae h=perbolo-parabolicae junguntur sese docus antes m morem crucis, & speciem quinquagesi
Si radices illae sunt inaequales & ejusdem signi, ha- fg, 39 hetur Hyperbola Conchoidalis cum Parabola ex
eodem latere Asymptoti. Sstq; species quinquagesima quinta.
408쪽
Si radices illae sunt ligni contrarii, habetur Conchoidalis cum Parabola ad alteras partes Alymptoti . Quae species est quinquagesima sexta. Siquando in primo sequationum casu terminus uterq; ax' Sc baeae deest, figura erit Hyperbolismus sectionis alicujus Conicae. Hyperbolismum figurae voco cujus ordinata prodit applicando contentum sub Ordinata figurae illius & recta data ad Abscissam communem. Hac ratione linea recta vertitur in hyperbolam Conicam, & sectio omnis Conica vertitur in aliquam figurarum quas hic Hyperboli linos sectionum Conicarum voco. Nam sequatio ad figuras de quibus agimus, nempe xy1-heyinc Nid, dat et V e .dκ-- cxx quae generatur appli-
cando contentum sub oesinata sectionis Conicaeel fee- - d κη' ex x & recta data vi, ad curvarum
Abscissam communem x. Unde liquet quod figura genita Hyperbolisinus erit Hyperbolar, Ellipleos vel
Parabolae, perinde Ut terminus cx assirmativus est vel negativus vel nullus.
Hyperbolismus Hyperbolae tres habet asymptotos quarum una est Ordinata prima & principalis A d, alterae duae sunt parallelae Abscissit AB ab eadem hinc inde aequaliter distant. In ordinata principali Ad cape Ad, A ' hinc inde aequales quantitati V cdc per puncta d acae age dg, Asymptotos Ab-kissae A B parallelaS. Ubi terminus er non deest figura nullam ha bet diametrum. In hoc casu si aequaticinis hujus cκα idae Mee m o radices duae A P, Ap sunt reales
409쪽
& inaequales snam aequales esse nequeunt nisi figura sit. σφ. sit Conica sectio) figura constabit ex tribus Hyperbolis sibi oppositis quarum una jacet inter asymptotos parallelas & alterae duae jacent extra. Et haec est species quinquagesima septima. Si radices illae duae sunt impossibiles, habentur Hyperbolae duce oppositae extra asymptotos parallelas ScAnguinea hyperbolica intra easdem. Haec figura
duarum est 1 pecierum. Nam centrum non habet Fig. 6a.
ubi terminus et non deest ; sed si terminus ille deest fg 63- punctum A est ejus centrum. Prior species est quinquagesima octava, posterior quinquagesima nona. Quod si terminus er deest, figura constabit ex H . --
tribus hyperbolis oppositis quarum una jacet inter asymptotos parallelas & alterae duae jaeent extra ut in specie quinquagesima quarta, & praeterea diame trum habet quae est abscilla A B. Et haee est species
Hyperbolismus Ellipseos per hanc aequationem de- XXIV- finitur xy1ψ er i cx τ' d, Sc unicam habet asymp- τ μωρο- ρώμtoton quae est ordinata principalis Α d. Si terminus G. 4e 1 non deest, figura est Hyperbola anguinea sine diametro atq; etiam sine centro fi terminus d non deest. Quae species est sexagesima prima. At fi terminus d deest, figura habet centrum sine H . μ.
diametro & centrum ejus est punctum A. Species vero est sexagesima secunda.
Et si terminus e 1 deest, & terminus ii non deest, ' fisura est Conchoidalis ad asymptoton AG, habetq;
diametrum sine centro, & diameter ejus est Abscis1ἱA B. Quae species est sexagesima tertia. Impe
410쪽
XXV. Duo 're o. I mi Parapoia. Fig. 68. Fig. 69. XXVI.
Parabola quin qua divergentes. R. TO, TI. 2. 3.
Hyperbolismus Ρarabolae per hanc aequationem definitur xyy -e1id ; & duas habet asymptotos, Abscissam AB & Ordinatam primam S principalem AG. Hyperbolae vero in hac figura sunt duae, non in asymptoton angulis oppositis sed in angulis qui sunt deinceps jacentes, idq; ad utrumq; latus abscissae AB, M vel sine diametro si terminus e 1 habetur, vel cum diametro si terminus ille deest. Quae duae species sunt sexagesima quarta & sexagesima
quinta. In secundo aequationum casu habebatur aequatio γγ π αα --ικα -c α -d. Et figura in hoc casu
habet quatuor crura infinita quorum duo sunt hyperbolica circa asymptoton A G in contrarias partes tendentia & duo Ρarabolica convergentia & cum prioribus speciem Tridentis sere efformantia. Estq; haec Figura Parabola illa per quam Cartefius aequationes sex dimensionum construxit. Haec est igitur species sexagesima sexta.
--d, & Ρarabolum designat cujus crura divergunt ab invicem & in contrarias partes infinite progrediuntur. Abscissa A B est nus diameter & species ejus sunt quinq; sequenteS.
nes Aj, AT, At sunt reales & inaequales, figura est Ρarabola divergens campanisormis cum Ooali adverticem. Et species est sexagesima septima. Si radices duae sunt aequales, Parabola prodit vel nodata contingendo Ovalem, vel tunctata ob ovalem infinite parvam. Quae duae species sunt sexagesima octava & sexagefima nona.