Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae

381쪽

OX quo valore Cognito innotescet sumnia sequentis seriei : qui ergo valor lana satis Prope dabit valorem 1 E. odsi simili modo in valorem tertii termini C TI(a inqui

evolvere debemus, qUae Ut fraction CS CVitonitar, II licetur, ac singuli termini Per series verticatos soquenti modo X-hibean Ur

s. c. in igit lar ornarata O assiciettar er et Unde ergo si semis Imma primi et ultimi subtrahattar, hi te minia Prors Us e modio tolletur. Porro Pro a superioris seriei summa Crit inferioris vero Paritor et , UOmZdmodum etiam semisummata primi et ultimi termini evanesciant ,

382쪽

I Io

scunt, ita ut iste terminus Pariter auseratur. At pro et sortes superior dat 1 - - n, inferior vero I, in semisumma primi et ultimi ablata relinquet n. Pro sequenteris superior series dat O Pariter ac in rior, ita ut iste terminus e medio tollatur. Eodem modo etiam in genere terminus X e medio tolletur, si ita idem semisumma primi et ultimi subtrahatur , nisi fuerit vel V- et i ii , vel , ii, quippe quibus casibus summa sit j. S. Quod ergo ponam US

qUartam artium numerus est Ia; huius seriei:

383쪽

S. Nunc iam me pluribus ambagibus similes sormulas pro sequentibus terminis s); (3) etc. exhib

bere poterinatas. Ita Pro terminoris sumto ii numero satis magno , PositoqU co investigotiar valor huius empressionis:

atque hinc conssequemur hanc summationem:

S. et S. Eodem modo pro termino sequente et D in subsidium vocetur ista forma:

unde sequens orietur summatio

Uinc si sumamus Ia et ora 13 summatio inde ori Unda erit:

Ex his iam satis intelligitur, si definire debeat in genCr Cha Iacter h), computandam ante omnia sis formam:

384쪽

tum vero hinc istam staminationem obtineri:

in qua continetur insignis PrOPrictas coefficientium cI, i) (et); s) etc. , AEUOriam attar in hi investigamus. s. mo. in autem ita statUCro ClimVs VIII et , series flammata transibit in hanc formam:(o)-- et a ny-- eti bi et Cri H at ii etc. IT, E quae est nova series satis momorabilis Pro inveniendo primo termino C), Pro Ua igitur erit:

qui cosinus clam omnes sint nitati te ita ales, erit

quae expressio Prors HS COD Venit Clam ea, quam UPra S. I p. exhibuimus. Vertam in serio, quae Pado est de stacta, ingens discrimen se exserit, clam ni Primias terminias oberet esse duplo maior; latus alatem discriminis Catas in eo latet, quod in genere suppostaimus summam seriei prorio esse ibliis aQqualem, Cum casu ICIIT , ista sorios

non vanoscat, sed vadat et I j iij. S. C.

385쪽

in insanitum Praeterea vero modus, UO O argiamemtiam tractavimiis, lUrimas alias insignes Proprietates UDPC- ditavit, quibus determinatio singulorum torminorum non mediocriter sublevari potest. Nola AcIu Acad. in . Scient Tom. XI. P DIS-

386쪽

DISQUISITIO ULTERIOR

SUPER SERIEBUS

SECUNDUM MULTIPLA CUIUSDAM ANGULI TR

GREDIENTIBUS.

387쪽

sinus facillime ad cosinus revocantur, ea quae hi sum traditurus, Pariter quoque ad sinus pertinere sunt censenda . s. r. Nisi autem functio proposita di fuerit rationalis et satis simplex, terie quae ex eius evolutione nascitiar: AH ECosse)--CCOLa*- DCos. t os Olc. singuli termini ita deprehendi nitur ComParati, Ut ortam valores non nisi per quantitates maximo transcendentes C

hiberi queant. eluti si functio proposita fuerit

a uitas evolutione Propemodum Universa theoria Astronomiae pendet, seriei inde oriundae Prinitis terminus A Pertiano seriem exprimi invenitur: nn - - g. l. - - . D. V l , -- CtC.

cuius summatio omnia artificia analytica hactenus inventa ellidit hinc olim plurimum in hoo Iaboravi, ut ei Lis lammationem ad resolutionem aequalionis disserentialis reducerem , unde Oincos lia CC investigatio ad genera quantitatum transcendentium, si V ad Uadraturas Clarvarum magis Cognitas, dediici posset vertam etiam in hoc labore operam mCam ne i Uic illam cons in si Niuper autem se mihi obtulit idea, quae, ad ornatalas integrales satis Concinnas ma-Duduxit, Uibtis non soluin primi is tuitis seriei terminus A, sed adeo omnes termini, satis Commode exprimi possunt. quas in sequenti theoremate iam Com PleXUTUS.

Theorerna generale. s. a. Si functios angilli ci ita fuerit comparata, D in talem seriem resolvi se patiatur: P a C

388쪽

- - Eios. l - - tC. tum singulae quantitates A, B, C, D, E, etc. se sequentes formulas integrales determinantur, siquidem in singulis integratio a termino o, Usque ad torminum e et nextendatur, denotante et semiperipheriam circuli cuius ra

dius, T.

labi notetnc primum Coessicientem esse, dum sequentes

omnes sunt .

. . t primum observasse iuvabit omnes has o mulas integrales facillime per Iadraturas Curvartam satis T h. I simplicium repraesentari posse. Si enim super axe rectilineo Fig abscissaeo P aeqnales capiantur arcubus, ct angulosci metiuntur, ita ut sit APITO, tum vero super hoc XeConstruatur curva Era F, Uius applicatae Pra referant functionem propolitam o, tum formula obo exprimet aream AEM P, cuius initium in A statoitur, ubi TIT O. Quodsi iam punctum P usque ad E promoveatur, Ut fiat B r, tum area A per D multiplicata statim praebet primum terminum A seriei quam quaerimus. Simili modo secundus terminus , simulque omne seqUOntCS,

389쪽

construi poterunt, si curva mi ita describat uer , Ut pro secundo termino B capiatur applicata cos. ii pro tertio vero P os arit pro quarto o costas i , et ita porro; tam enim tota area AEME in usta lias ipsas quantitatos B, C, D, etc. exhibebit. S. s. Orioniam hoc modo abscissa A P arcubus ci

cularibus ae friale sunt Casienda , istae Irvae descriptae pro algebraicis abori neqUerint intorim tanton tiarum Cui varum loco algebraicae substitiai Poterunt, ita iit omnes nostrae quantitatCS adcto Or Uadrattaras UrVArtam AlgC-braicarum exhibori queant tantum enim Donatiar Cossit m ,

et cum functios spectari possit tanquam Unctio ipsius , erit unos functio algebraica ipsius T. Cum autem hinc fiat o sis, Pro Prima quantitate habebimus

lande constris io ita erit instituenda, ut singulis abscissis P iae respondeant applicata P ita ut iam futura sit area AEM P ' quam autem nunc a

tet. Ilic ergo abscissa a Puncto fixo medio C capi conveniet, statuique CP et tum enim, si merit C et Em-r, area EF B, toti basi AB imminens, proposito satisfaciet, ita Ut me istae de-

S. 6 Ilis praenotatis adgrediamur demonstrationem nostri theorematis, ac primo manifestum est, iri denotet,iamC

390쪽

annihilari tam posito praeto, quam Posito quod ergo Pro omnibus numeris integris i valebit, solo Casti ex CePto, quippe quo prodit o preos r. Hoc observato, NUOniam Per hypothesin esto ret Ucos cos et o F D cogi l - - etc. erit c d o A m, integralibus scilicet a poetam lasque ad p. et extensi s. in igitur iam evicta est pars prima nostra theorematis, qua est A et Iccaec s. . Pro reliquis artibUs Consideremus ornata iam disserentia Iem ut cos P cos quae in simplices cosinus resollata dat

qUod integrale latique evanescit, tam sumto p quam sta intos r, ob numeros integros; si modo unicum CZsium CXCiDianatas, quo Ti, Vipse quo casu reseritur