장음표시 사용
261쪽
Datis numero terminorum, summa progressionis, ct eommuni excessu, invenire maximum Uinimum terminum.
22 Numerus terminorum sit x, summa progressionis I,& communis excessus m . Μaximum & minimum terminum ipsius progressionis invenire.
Summa progressionis 3 dividatur per numerum termino- γrum X, sitque --. Numerus terminorum x unitate mul-
-ctatus; scilicet x I, multiplicetur per communem excesiumm, & factum xm-m austratur a quoto p , duplato , nempe
a 2p. Residuo π---m bifariam diviso, erit -- te
Cum enim summa progressionis Oriatur ex numero te minorum ducto in semissem summae ex extremis sa , si summa progressionis per numerum terminorum dividatur , qu tas erit semissis summae extremorum bj. Facta igitur hyp
thesi, ut sit - αλ erit p semissis summae extremorum , a Ique adeo π eorundem summa. Rursus quoniam numerus terminorum unitate mulctatus, si per communem excessum
262쪽
sum multiplicetur, dat terminum maximum ipsus progrestionis minimo imminutum μ), erit xm m maximus ter. minus progressionis imminutus minimo . Quamobrem si summae V extremorum subducatur Xm-m, erit Z Xm- mduplum minimi; quatenus nempe summae V ea maximo, &minimo subtrahitur valor xm , qui a maximo termino deficit valore termini minimi. Diviso ergo χρ m-- per Σ,
Σ3 Progressio Geometrica tam ascendens, quam destendens est series magnitudinum continuo inter se Geometrice proportionalitim. Ut si fuerit a. brab. e m e. d L e, series magnitudinum a. b. e. d. e erit progresso Geometrica finita, ascendens quidem si termini continuo augeantur , descendens vero , si continuo de crescant.
- 2 Denominator progressionis Geometrisa est exponens rationis, secundum quam terminι sese consequuntur. Ut si in progress
ne a. b e. d. e suerit - α m, quantitas m erit denominator
ipsius progressionis a. b. c. d. e.
263쪽
Quatuor quicunque termini progressionis Geometrica , quo. rum extremi aqualiter distent a mediis , sunt Geo metrice proportionales. 23 In progressione Geometrica a. b. c. d. e.f. g. b quatuor spectentur termini a, d, e, b, quorum duo extremi a, b aequat, ter distent a mediis d, e . Dico, esse a. dza e. h.
a b nominator progressionis sit m, atque adeo - α - π
cte. quod erat ostendendum. COROLLARIUM.1m omni progressione Geometrica productum duorum terminorum extremorum adaquat productum duorum qu rumlibet mediorum , a quibus extremi AEqualiter hine inde distent. 26 In progressione nimirum Geometrica a. b. c. d. e.fg erit ag - ω. Enimvero cum sit a. c e. g id , erit quoque
264쪽
In omni progressi one Geometrica. tres quicunque termini , quorum duo extremi aequaliter distent a medio, sunt continuo proportionales ia
mantur termini a, d, g, quorum duo extremi g aequalitendistent a medio d. Dico, esse et a. d. L.
Coincidit cum demonstratione theorematis praecedentis ..a d Etenim si denominator progressionis sit m, erit . - - zdgm a , ac proinde a. d' d.g, sive 'et a. d. g b . Itaque imomni M. quod erat ostendendum c OROLLARIUMiare omni provesone Geometrica productum duorum quorum libet terminorum aequaliter binc inde a medio distari. tium est aequale quadrato medii. 18 Videlicet in progressione a. b. c. d. e. f. g erit M. ' dd.. Id enim ex eo sequitur, quod sit m a. d. g ci.
In omni progresone Geometrica ascendente . quae ab unitate incipiat, tertius terminus ab unitate ess quadratus , ct eeteri omnes unum intermittentes quotus ab unitate est cubus , ct ceteri omnes duos intermittentes. 29 Esto progressio Geometrica ascendens , quae ab unitate
265쪽
incipiat, videlicet I. o. b. e. d. e. f. r. b. m. Dico . tertium besse quadratum, scuti etiam ceteros omnes unum intermittentes, puta d, f, h. Quartum vero e esse cubum , quem a modum etiam L m, quos inter duo termini reperiuntur.
Cum enim sit L a T. a. b, erit etiam a. 2 2 b. a M. Est a b autem - ta a tb . Ergo erit quoque - zz a μγ, atque adeo,
ut proinde progressioni I. a. b. c. d. e. f. g. b. m haec alia substitui possit i. a. a a 3. a . a . aq. s. a . a' Manifestum est autem , terminos a' a', a esse quadratos ς. cum exterminis M a , a , as in te ductis consurgini. terminos vero,ay , a , M esse cubos ; cum fiant ex quadratis a , as , a multiplicatis per suas radices a, a , a . Ergo termini quoque d, A b sunt quadratis cubici ver a termini c, L m, a proinde ita omni. progressione &c. quod erat ostendendum
In progresone Geometrica finita ut disserentia muximi temn ιηι Iupra proxime minorem ad thum terminum proxime mιnorem maximo , ita excessus maxinu supra minimum ad omnes simul reliquos temminos collective sumtos. Io Esto progressio Geometrica descendens a. b. e. d. e. Di
266쪽
eo, σ-e, differentiam maximi termini a supra minimum e, esse ad silmmam reliquorum b--c--d me, ut est a-b, e cessus maximi a supra proxime minorem b, ad. ipsum b, vid
Multiplicatis namque extremis a - e, b, atque mediis F --a - b inter se mutuo Nisective, producta liunt aequalia. Est enim a-eκbra ab eb, & b--cd--e κ a- bmabis ac- ώ--ae-bb-bc-bd-be sa). Constat autem, esse ac b b , ad ' D, de ae' bd c); ac proinde tam -- ac - bb, quam ad c, nec non - - ω o, & ideo ab ac mad-ae-bb-bc beta ab-be, quod est etiam Froductum extremorum 'e, b, ut patet. Ergo erit ar . b----d--e ' a. b. b d . Itaque in.omni progressione &c. quod erat oste de udum. OROLLARIUM LIn progresone Geometrica finita ut ipsius denominator unitate mulctatus ad unitatem , ita maximus Uusdem terminus minimo imminutus ad omnes retiquos collective sumtus.
3i Ut si denominator progressionis Geometricae descen
Enimvero cum per hypothesim habeatur m, erit a. b G
267쪽
c OROLLARIUM ILD propressione dupla finita exressus maximi termini si raminimum adaequat summam omnium terminorum imminutam maxιmo , in progresone tripla excessus i le est duplus , in progressione quadrupla est triplus summa omnium imminuta m ximo termino , σ sic deinceps. 3Σ Ut si habeatur progressio descendens ita ratione duplai g. b. c. d. e erit a- e ' ν-- ---: si fuerit in ratione tripla, differentia a- e erit dupla summae b--c- d. e: si in ratione quadrupla, excessus a e erit triplus summae bis e ι' me, atque ita deinceps. Patet ex praecedenti. Cum enim in primo casu denominator progressionis sit L, in secundo 3ἀ& in tertio ψ, in primo erit α e. I. I, in secundo α- e. --c--d in e zz y- I. I, & in tertio a - e. b --e----e I. I. Est autem Σ- Ita I, 3π Ita 2, - 1 I. Ergo &c.
Si excessus maximi termini supra minimum in progressione Geometrica finita dividatur per ipsus progressionis d nominatorem unitate mulctatum, quotiens erit Ominnium summa maximo termino imminuta py Esta progressio Geometrica descendens a. b. e. L e, c
268쪽
excessus Sc. quod erat ostendendum- COROLLARIUM LSumma omnium terminorum progressonis Geometricae finita imminuta maximo termino , ducta in illius denominatorem unitate mulctatum, essest productim aquale maximo e Udem termino minimo diminuto. 3 Nimirum iisdem positis, erit b--ζ--d--κm- II a-e.
Id enim ex eo manifeste sequitur, quod st -- α b e
COROLLARIUM II. Si excessus maximi termini supra minimum in progressi e
Geometrio finita dividatur per summam omnium rem minorum maximo diminutam , quotus erit denominator ipsius progressonis unitate mulctatus.
3s Videlicet, iisdem positis, erit
269쪽
In omni progresiane Geometrica finita ut duorum maximarum terminorum dιJerentia ad maximum termιnum , ita excessus maximi fura minimum ad omnium 'summam mulctatam minimo. 36 Esto progressio Geometrica descendens a. b. c. d. e. D
Cum enim sita 1---- κ a b aa - ab ae-d -ba bb- be bd ia , &-ab- ab o, ac is b), ad bc c , adeoque -- ac bb o, sicim etiam -- bc zo, facta reductione, erit aa ab ac. ad - ba- Ω- H- bd aa - bd. Est autem ae bd d). Ergo erit M ae bd te . Constat autem, ag ae esse productum extremorum a e,a, & bd productum mediorum a b e-c a b. Ibitur productum extremorum squabit productum mediorum,eritque a- e.a-- --d a- λα D. In omni ergo progressioue M. quod erat ostendendum. c OROLLARIUM T. Iu omni progresone Geometrica finita ut denominator unita-tate mutuatus ad seipsum integrum , ita excessus maximi supra minimum ad σmnium summam imminutam mirimo. et Ut si denominator progressionis descendentis a. b. e. d. e
270쪽
m- l. m M. Est autem a - e. - ---' a - b. a sex Ergo erit quoque a - e. a--c-dzz m I. m d).. COROLLARIUM II. In omni progresone Geometrica finita ut est ipsius den ominator ad seipsum unitate mulctatum , ita summa omnium termisorum minimo diminuta ad excelsum maximi supra misimum. 38 Videlicet, iisdem positis, erit -- -- d. a e m. m
E COROLLARIUM III. Si fumma omnium terminorum progressionis Geometrica DAM, mιnimo termino diminuta, per illius denominatorem unitate mulctatum multiplicetur , ct productum per eundem integrum dividatur , quotus erit