장음표시 사용
251쪽
3 Progressis Arithmetica est series magnitudinum tantinuo in sthmetice proportionalium. Hujusmodi est series magnitudinum.
m. a --. Altera. enim progressionem Arithmeticam ascendentema altera progressionem Arithmeticam descendentem exhibet. c O R a L. L A R I π M. L Quilibet terminus nonresenis Arithmetica astendentis om-tinet primum, seu minimum , in insuper toties e munem emeessum, quot a primo inclusive ad ipsum exciusive termini nu
ctitur communem excessum m, sicuti quatuor sunt termini, a. tantan. a inclusive ad ipsum, ainhvm exclusiυe. ωR α L. L. A R I U M II. s Hinc maximas terminus progressonis Arithmetica sinitae eendentis toties continet communem excessum, mater terminum misimum, quot in ima petresone sunt termini, uno demto. CO R o L L A R I in α6 Disserentia, duarum quorumcun a terminorum in progres ne Arithmetica toties emtinet communem.excessum , quot termis nis a I ιllorum uno, inclusive ad alterum exclusve numeraritur. Sic differentia: 3m termini a--sm supra terminum a. Zm
252쪽
Q--μ ter complectitur ex tam m, sicuti tres sunt te mini ab uno--luserae ad G - , in exclusive.
In progressone Arithmetica quatuor quicomque termisi, quorum duo extremi aqualiter diem a mediis, sunt Arithmetice proportionales. In progressione Arithmetica a. - m. a- Σm. a 3m.a- m . a--. c. 7m . a-8m. a. 9m quatuor spectentur termini a--w, a- , ἀ- 9m, quorum duo extremi a- , a--- aequaliter distent a mediis a is m,a---. Dico, eos esse Arithmetice Proportionales.
In omni igitur progressione &c. quod erat ostendendum. x O R O L LMR I U M. In omni progregine Arithmetica summa duorum quorumlibet terminorum.adaquat summam aliorum duorum. aquai iter hinc inde ab illis distantium. 8 In progressione Arithmetica a. b. c . d. e. f. g erit m zz Uta c--e . Cum enim sit a. b ::: f. g erit amzzb-. Similiter ex eo quod habeatur a . e ::: e. g, erite-- . Demum cum sit b . e e. L erit quoque b- c . .Ergo erit a V V. Ψαμ-ecd . THEG
253쪽
Tres quicunque termini in progresone Arithmetica, quorum duo extremi aequaliter distent a medio , sunt continuo Arithmetice proportionales. o In progressione Arithmetica a. a m. a 2m. a m. aram . aran. - . a m tres terminI spectetur a--m,a-am, a Tm , quorum duo extremi a--m , a re 7 m aequaliter distent a medio m. Dico, sos esse continuo Atit, metice proportionales.
Ea enim in hypothesi habetur a-7- a--ψm taaia m 'am a). Igitur erit a -- . a- Tm t, . Ergo tres quicunque &c. quod erat ostendendum. c OROLLARIUM. In omni progressione Arithmetica summa duorum quorumlibet terminorum est dupla illius , a quo duo ipse termini aequaliter hine inde distant.1o Sic in progressione Arithmetica a . , - ς. f . . . .. gerit a. g T ad. Quandoquidem habetur per hypothesim . . a. d. goe . Ergo erit am ad d).
Summa progressonis Arithmetica adaquat productum , quod fit multiplicando summam ex maximo, σ mimmo termino per dimidium numeri terminorum totaus progresonis . II Duci casus pro demonstratione hujus theorematis
254쪽
distinguendi sunt, alter scilicet, in quo numerus termino. rum totius progressionis sit par, alter, in quo sit impar. casus I. Esto progressio Arithmetica a. b . c. d. e. f, cujus sex sint termini. Dico, seu 3a- V, factum ex multiplicatione summae a- extremorum per 3, dimidium scilicet numeri 6 terminorum totius progressionis, aequare ipsius
bin. Hoc autem aggregatum est summa ictius progressionis, ut est evidens. Ergo 34- uest sui a totius pringressionis . Casus II. Modo numerus terminorum datae progressionis sit impar, esto nempe progressio a. b . c. d. e. f.g. Dico, summa totius progressionis aequare factum ex summa a-N extremorum
multiplicata per 3 - , scilicet per dimidium numeri termi-
255쪽
a iam reb-s ---e--d esse summam totius progressionis. Ergo
sionis. Summa igitur progressionis &c. quod erat ostenden
COROLLARIUM LSi summa ex maximo , ct minimo termino Arithmetica progressionis ducatur in numerum terminorum , productum, quod hine esscitur, est duplum summa ratius progresonis.11 Ut si maximus terminus datae progressionis fuerit a , minimus p , & numerus terminorum X, erit a--pκx, siveo x duplum summae totius progressionis.c OROLLARIUM LI. Si summa ex maximo , σ minimo termino Arithmetιca progressonis ducatur in numerum terminorum , ct productum per binarium dividatur , quotus erit totius progresonis summa.
3 Erit nempe summa progressionis, cujus ma- Σxinius terminus sit a , minimus p , di numerus terminorum X. Patet ex praecedenti.
256쪽
COROLLARIUM III. Summa progressionis Arithmetica adaequat productum, quod fit multiplicando numerum terminorum totius progressimis per semissem summa extremorum. a pt Videlicet iisdem positis, erit xκ summa totius pro-
gressionis. Est enim idem productum , quod essicitur, sive
c O L L A R I U M IV. Si numerus terminorum Arithmetica progressionis fuerit tuear , productum ex ductu medii termini in numerum terminorum aquale erit summa totius progressonis. is Nimirum si impar fuerit numerus x datae progressi nis, cujus maximus terminus sit a , minimus p , & medius d, erit dae summa totius progressionis . Cum enim tunc sit a s a p
autem adaequat summam totius progressionis cc .
Ergo eam quoque aequabit factum dae d . PROBLEMA I.
Ultimo terminorum, oe excessu datis, progressionem Arisbmeticam continuare. I 6 Postremus terminus data: pr ressionis fit d , & com munis excessus m. Progressionem ipsam continuare oporteat. Fix Re-
257쪽
Si progressio sit ascendens , communis excessus m adite iatur postremo termino d , & fiat μ in , cui iterum adiiciatur excessus ipse, & sic deinceps . Si vero progressio fuerit descendens, excessus m subducatur termino postremo d ,
tum ex residuo d-m idem excessus auferatur , atque ita deinceps. Habebitur in primo casu progressio ascendens d-m . d--χm . d--3m Sc. In secundo vero progressio descendens dis. Oram. d m M.
Manifesta est ex ipsa natura progressionis Arithmeticae lain ascendentis, quam descendentis. COROLLARIUM. Si primus terminus progressonis Arithmeticae descendentis fuerit magnitudo fisita, progresso ipse eontinuari nequit in infinitum per terminos potivos. 7 Communis namque excessus, qui continuo subtrahitur , aliquoties sumtus summam tandem constituit primo termino aequalem.
Datis numero terminorum, excessu , ct minimo termino progressionis, maxιmum ejusdem terminum invenire. I 8 Numerus terminorum datae progressionis Arithmeticae sit x, communis excessus m, & minimus terminus p. Inventre Oporteat termiuum m/ximum.
258쪽
Numerus terminorum unitate mulctatus, scilicet se I , multiplicetur per communem excessum m , & productoxnsem adiiciatur minimus terminus p. Erit mx-m- mPximus terminus quaesitus.
Datis maximo termino progressimis, numero terminorum, oecommuni excessu, ιnvenire terminum minιmum. I9 Maximus terminus datae progressionis Arithmeticet sta, numerus terminorum x, & communis excessus m . Invenire terminum ejusdem minimum.
Numerus terminorum unitate mulctatus, scilicet x-I, multiplicetur per communem excessum m , & productum x-m subducatur maximo termino d. Erit a-xm-m minimus terminus quaesitus. -
Cum enim maximus Arithmeticae progressionis terminus toties, praeter terminum ejusdem minimum , communem excessum complectatur, quot in ipsa progressione numerantur termini, demto uno sa , si communis excessus multiplicetur per numerum terminorum unitate mulctatum,het productum, quod a maximo termino deficiet valore termi
259쪽
Datis numero terminorum, maximo ct minimo termino, communem excessum invenire. 2o Numerus terminorum datae progressionis sit x, maximus terminus a & minimus p . Invenire communem excessum.
Minimus terminus p austratur a maximo a , & residuum ais dividatur per numerum terminorum unitate mulct
tum, scilicet per x - I. Erit excessus quatiatus.
Sicuti namque, si numerus terminorum unitate mulctatus multiplicetur per communem excessum, fit maximus terminus minimo imminutus a , ita vicissim, si maximus progressionis terminus minimo imminutus dividatur per numerum terminorum unitate mulctatum, consectarium est, ut quotus sit communis excessus b . Igitur &c.
Datis maximo re minimo termino progressionis Arithmetica , semulque numero terminorum, illius summam invenire. 2I Maximus terminus datae progressionis sit a , minimus p ,& numerus terminorum x. Totius progressionis summam
260쪽
Summa extremorum multipliceret per - dimidium
Summa extremorum a-υ multiplicetur per x integrum numerum terminorum, & productum ax πx per binarium ---μ dividatur. Erit -- summa totius progressionis.
Numerus a terminorum multiplicetur Per - semigem