장음표시 사용
241쪽
Im Proportionalitas Arithmetisa est excessuum, βι- ῶ ferentiarum aqualitas. Quatuor nempe magnitudines Leuntur Arith. metice proportionales. cum excessus prima supra secundom excessam adaquat tertia supra quartam , aut excessus secunda supra primam es illi aequalis, quo tertiam excedit quarta . Tres quo- qae magnitudines Arithmetice proportionales vocantur, eum d ferentia prima, oe secunda est aequalis disserentiae fecundae , ct tertia. Sic quatuor magnitudines a, b, e,d erunt Arithmetice proportionales, si facta hypothesi, ut sit a - b tam ,& e -d n, vel b - arax, & d - e VI, iuerit m 'n , x tar. Similiter tres a, b, c erunt Arithmetice proportionales, si posita a - b d, b c f, aut b - a 'r, S c - b
I9I Ad indicanda proportionalitatem Arithmeticam quatuor magnitudinum a, b, e, d scribitur a - b c -d, vel b-azd-e. Alii tamen utuntur signo ::.' , scribuntque a. b ::: c. d.
I92 Proportionalitas Arithmetica vel continua est, vel discreta. Proportionalitas Arithmetica continua est, eam disserentia
242쪽
secundae , re tertia magnitudinis eadem est cum disserentia prima, ct fecunda, ae proinde etiam tertia, ct quarta . Discreta vero tunc habetur, eum disserentia fecunda, o tertia eadem non esscum disserentia prima, ct fecunda, atque adeo etiam tertia, ct quartae . Ut si fuerit a-b a b - e zze - d, vel b- a ,--b a d c, quatuor magnitudines a, b, c, d erunt continuo Arithmetice proportionales. At vero discrete tantum proportionales, si fuerit dumtaxat a - btac - d, vel b - az d- e.
I93 matuor magnitudinum continuo Arithmetice prinportionalium secunda, & tertia dicuntur dua media continuo proportionales. Trium quoque magnitudinum continuo Arithmetice proportionalium secunda media proportionalis nuncupatur.
I9q Proportionalitas continua Arithmetica indicatur, prim figendo signum ipsis terminis proportionalibus: ad ex- primendam scilicet proportionalitatem continuam Arithmeticam magnitudinum a, b, e, d, scribitur ν - a. b. c. d.
Si fuerint quatuor magnitudines Arithmetice proportionalis , summa extremarum erit aqualιs summa mediarum. I93 Esto a - btae - d. Dico , esse a m d zzb - c.
Cum enim sit per hypothesim a - brac-d, si utrique' membro aequationis eadem magnitudo d adiiciatur, erit a b--d zze -- a . Est autem e - d - dtae, cum st
243쪽
- b 'e-b a), sive a --d b . Itaque si fuerint &c. quod erat Ostendendum. COROLLARIUM. Si fuerint tres magnitudines continuo Arithmetice proportionales , summa extremarum erit dupla media. 196 Videlicet si fuerit a, b. e, erit Estcnim a. b . c perinde ac a - bmb-c.
Si fuerist quatuor magnitudines , ex quibus summa extremarum sit aequalis summa mediarum, illa erunt Arithmetice proportionales. I97 Sint quatuor magnitudines a, b, e , d , ex quibus summa a --d extremarum sit aequalis summae mediarum. Dico, esse a b c - d.
Quandoquidem, cum sit per hypothesin , erit quoque a-d b 'b--c --b, sive a m d b c bὶ . Quamobrem, si utrique membro hujus aequationis subducatur eadem quantitas d, erit a-d - b-d, sive a - b 'e- d sc . Si fuerint ergo quatuor magnitudines &c. quod erat Ostendendum.
244쪽
c OROLLARIUM. Si fuerint tres magnitudines, ex quibus summa extremarumst aequalis duplo media, illa erunt tantinuo Arithmetice proportionales 198 Si nimirum suerit a--eta 2b, erit -: a. b. e. Hac enim facta hypothesi, habetur a - btab - eca , sive vet
miis duabus magnitudinibus, mediam Arithmetice pr portionalem invenire. rvs Inter duas a, d mediam Arithmetice proportion lem invenire Oporteat.
Summa bifariam dividatur. Erit -- media quaesita. Σ
-Facta namque hypothesi, ut sit --erit 2b se a
Datis duabus magnitudinibus , tertiam Arithmetice proportionalem invenire. 2- Datis a, b, invenire oporteat tertiam Arithmetice
245쪽
Duplo secundae magnitudinis b, nempe 2b, subducatur prima a. Residuum ab - a erit tertia proportionalis quaesita.
Datis tribus magnitudinibus , quartam Arithmetice pro 'tionalem iuvenire.
χοI Datis tribus magnitudinibus a, b, c, quartam Arithmetice proportionalem invenire.
Fiat summa --e ex secunda b, & tertia e , eique se, ducatur prima a. Residuum c - a erit quarta proporti natis quaesita.
2OL Tres magnitudines dicuntur harmonice proportionatis, eam disserentia prima, ct secunda eam habet proportionem ad disserentiam feeunda , ct tertia , quam habet prima ad tertiam , Quatuor similiter magnitudines barmonice proportionales vocan
246쪽
tur, eum disserentia primae ct secunda est ad disserentiam tertiae ct quartae, M prima ad quartam. Sic harmonice proportionales erunt tres magnitudines a, b, c, si fuerit a - b. b- cma. c, Vel b- a. c - bma .c. Quatuor itidem magnitudines a, b, c, d erunt barm ice proportionales, si fuerit a - b. e - d a. d, vel b- a. d -cta a. d.
Σο3 Tres magnitudines dicuntur contraharmonice proportionatis, si disserentia prima σ secunda fuerit ad disserentiam secunda σ tertia, ut tertia ad primam . uuatuor itidem magnitudines stini contraharmonice proportionales, eum disserentia pinma ct Iecundae eam habet rarionem ad disserentiam tertia σsuarta, quam habet illarum quarta ad primam. Nimirum eοn-ιrabarmonice proportionales erunt tres magnitudineS a, b, c , si fuerit a - b. b -etae. a, vel b - a. c - b c. a . Qua- utor quoque a, b, c, d erunt contraharmonice proportionales, si fuerit a- b. e-arad. a, aut b - a. d -ίΣ d. a.
Si prima trium magnitudinum Arithmetice proportionalium mul. I tiplicetur seorsim per secunilam σ tertiam, oe secanda in aeuiam ducatur, tria hujusmodi producta erunt
Σ Esto a. b. e, Ducta autem a primo in b, dein de ine, fiant producta ab , etc. Multiplicata quoque secun-3da b per tertiam e , fiat productum M. Dico, esse ab - M.
Cum enim sit 'mina. b. e, erit a--c Lb a atque adeos utrumque membrum hujus aequationis multiplicetur per E e ea n
247쪽
eandem quantitatem abe, erit aabe cala '2M M ain, ac proinde aiae - habe babe - eue ibo. Est autem baia -eiae, sive abia - acte productum extremarum ab - ac, is , & --habe, sive aeab Hab productum mediarum ac - beta c . Ergo erit ab M. M- ia 'ab . M d I. Itaque si prima trium maguitudinum &c. quod erat Ostendendum.
Datis duabus magnitudinibus, mediam harmonice propo tionalem invenire. 2 3 Inter duas magnitudines a , b mediam harmonice proportionalem Invenire oporteat.
Multiplicatis inter se mutuo magnitudinibus datis a, b, duplum facti ab , scilicet χῶ, dividatur per illarum sum-
Media harmonice proportionalis inter duas a , b pona-tyr a . Igitur erit x-a . b a. b e), ac proinde
248쪽
Datis duabus magnitudinibus, tertiam ba nite Domni
Sint duae magnitudines a, b. Invenire oporteat te tiam harmonice proportionalem.
Factum ab ex ductu magnitudinis a in magnitudinem bdividatur pet b, per duplum scilicet prunae a immisab nutum secunda b. Quotus' -- erit tertia harmonice Pro
Duis tribas magnitudisibus, quartam harmonice proportio natem invenire. 2o7 Sint tres magnitudines a, b, c. Invenire oporteat quartam harmonice proportionalem. E e x Am
249쪽
Factum ae ex ductu prinain a in tertiam c dividatur per 24-b, videlicet per duplum primae a imminutum secun-
Quantitas x ponatur quarta harmonice proportinnalis
250쪽
De progressionibus Arithmetica , & Geometrica tam finita, quam infinita
DS pr resonibus eximia prorsus, & singularia tradidit summus Geometra P. Gregorius a S. Vim centio, ut, Tacqueto teste, nonnisi ipicas ex sua messe ceteris colligendas reliquerit. Nos paucis dumtaxat, praecipuZ tamen , quae ad illarum theoriam , & Praximi spectant, hoc in libro trademus & explicabimus.
r D Rorrebm in genere est series plurium magnitudinum secundust L eandem proportionem eontinus erescentium, vel decrescentium. Si termini continuo augeantur, progressio dicitur ascendem, descendens vero, si continuo decrescant . Utraque smiliter vel finita est, vel infinita, prout nimirum earum termini numero finiti sunt, vel infiniti ..
2 Duo quicunque termini a, b progressionis a . b. c. de. f. g. b aequaliter hinc inde distare dicuntur a duobus intermediis d, e, cum tot sunt termini inter primum a , 6c secundum d , quot inter tertium e , & quartum h. Duo similiter a , g in progressione a. b. e. d. e.fg dicuntur hinc inde ualiter distare a medio d , si tot numerentur terminia primo a ad medium d, quot ab eodem medio dad tertium g.. M