장음표시 사용
231쪽
si fuerint quotcunque magnitudines in eadem serie eonstituta , ratio prima ad ultimam eris composita ex omnibus rationibus intermediis. I76 Sint plures magnitudines a, b, c, d, e,s in eadem serie constitutae. Dico, primam a esse ad ultimam f in ratione com- a b c d eposita ex omnibus rationibus intermediis - , ', -,-, --
aede Productum -- exprimit rationem compositam ex ratio-
s sedes , a b e d etudinem I est composita ex rationibus Θ, - , - . Sibe deffuerint ergo quotcunque &c. quod erat Ostendendum. COROG
232쪽
COROLLARIUM LSi fuerint quotcunque magnitudinu continuo inter se proportionales , prima erit ad tertiam in ratione duplicata, ad quartam in ratiane triplicata, ad quintam in ratione quadruplicata m. prima ad fecundam.
I77 Ut si fuerit - a. b. e. d. e. A ratio - erit duplicata ,
erit ad magnitudinem e in ratione duplicata , ad magnituditudinem d in ratione triplicata, ad magnitudinem e in ratione quadruplicata ejusdem a ad secundam , b .c OROLLARIUM IL
Si fuerint quotcunque magnitudines continuo inter se proportionales , prima erit ad secundam in ratione subduplicata prima ad tertiam, subtriplicata prima ad quartam , subquadruplicata prima ad quintam m. oe se deinceps. a 78 Patet ex praxedenti . Si namque ponatur ra. a. b. c. C e χ d. e. s
233쪽
d. e. A inanifestum est, ex ratione - ducta in seipsam emeia ab arationem - , ex ratione - multiplicata per se oriri rati a c ab aenem - , & ex eadem - ducta in rationem - consurgere ra-d a b a d ationem - a . Ergo ratio - erit subduplicata rationis Ju e a b aetriplicata rationis - , subquadruplicata rationis - , atque ita d edeinceps b .c OROLLARIUM III. Si fuerint plures magnitudines in dupiat ferie eonstitata ,
ordinatam proportionem habentes , ratio duarum extrema rum ex una parte aequalis erat rationi duarum extrema m ex alia.
I79 Si nimirum ex una parte habeantur magnitudines A, A a BB, D, & ex alia totidem a, b, d, fueritque - α - , - b A a B b D . e , erit - α - , sive A. D. ta a. d. Cum enim sit da D a d b AB ab θ' - , & - ' - , erit quoque -- α - e . Est au-
234쪽
si fuerint plures magnitudines in duplici feria constιttita , quarum prima in una feris habeat majorem rationem ad secundam , secu da ad tertiam oec. quam habeat in altera serie prima ad secundam, fecunda ad tertiam σc. prima in priori feris majorem rationem habebit ad ultimam, quam prima in sto steriori serie ad ultimam. .
18o Ut si ex una parte habeantur magnitudines A, B, D, A a B b& ex altera magnitudines a, b, d, sitque A a B b D d
perturbatam proportionem habentes , ratio duarum emtremarum ex una parte aqualis erit rationi daa-rκm extremarum ex alia.
rai Videlicet si ex una parte fuerint tres magnitudins A,
235쪽
Si prima plurium magnitudinum in una serie mallorem habuerit rationem ad secundam , ct secunda ad tertiam , quam ha beat in altera serie secunda ad tertiam , σ prima ad secundam, ratio quoque prima ad tertiam in priori serie majω erit ratione prima ad tertiam in serie posteriori.
I 83 Ex hoc demum theoremate ostenditur methodus at bi tradita M. reducendi fractionem fractionis ad fractionem rimam. Pro intelligentia idcirco notandum est, stactionem tractionis ad stactionem primam reducere idem esse omnino, ac invenire, quot,& quales particulas unitatis fractio ipsa secunda
236쪽
cunda adaequet, seu quamnam fractio secunda ad unitatemtationem habeat. Diximus autem, fractionem fractionis ad fractionem primam reduci, si numerator unius per numeratorem alterius , & denominator per denominatorem multiplicentur, & ex productis respectι- nova fractio constituatur ;
ut si sit fractio fractionis - ,factum esse fractionem b ad bd
primam, ad quam fractio - revocanda erat. Ostendendumae bidcirco est, iactum rationem exprimere fractionis secu n-a bddae - ad unitatem. Itaque cum denominator b fractionisb a csecundae - adaequet valorem stactionis primae a , &
numerator a partem, vel partes designet hujus valoris, quas
ad fractionem primam - , ut numerator a ad denominato-d arem M atque adeo fractio ipsa - erit exponens rationis, quam a b ehabet fractis secunda - ad primam c). Similiter eum e b d fractio prima sit ad unitatem , ut numerator e ad denind eminatorem d cd , fractio --- erit exponens rationis ipsius seve dctrinis ad unitatem e . Constat autem , positis tribus
237쪽
tiona composita ex ratione primae - ad secundam - , &e b d ex ratione secundae ad tertiam I la , atque adeo in eadratione, cujus exponens sit factum ex exponente rationis, quama ehabet prima ad secundam - , multiplicato per exponen-b de . rem rationis, quam habet secunda: ad tertiam I b). Ergo,, d a ecum exponens rationis primi termini ad secundum sit
- , & exponens rationis secundi termini ad tertiam i sie
- , ut modo vidimus, exponens rationis, quam habet se d a acctio secunda ad unitatum, erit iactum se; adeoque &c.
Si fuerint quotcunque magnitudines coutinuo geometrice proportionales , quadratum prima erit ad quadratum secunda , ut prima ad tertiam, cubus prima ad cubum fecunda, vi prima ad quartam , qaadrato quadrarum prima ad quatirato-quadratum secunda , ut, prima ad quintam , ct m deinceps.184 Esto π: b. e. d. e. Dico, esse a . b a. c, a3. b3
238쪽
mnifestum est autem, esse - α m , m , -- c .e de
Ergo erit quoque - α - , - α - - , seu ast.b eba d D eb a. e., a . b3 ta a. d, M. b a. e sdὶ. Itaque si fuerint quotcunque magnitudines Sc. quod erat ostendendum. c OROLLARIUM LMagnitudines quadrata sunt in ratione duplicata , cubica in ratione triplicata, quadrat quadrata in radione quadruplicata σα suarum radicum. 8s Videlicet ratio quadrati a ad quadratum b est duplicata , ratio cubi a3 ad cubum b3 est tripluata Sc. rationis ra-
dicis a ad radicem b. Ostensum est enim, rationem - esse '
plicatam, rationem - triplieatam ω. rationis - se .
239쪽
Radices quadrata sunt in ratione subduplicata , radicet cmbica in ratione subtriplicata , radices quadrat quadrata in ratione subquadruplicata erc. sua. rum potestatum.
186 Demonstravimus enim , rationem -- esse subduptica-a ab tam rationis - , subtriplicatam rationis - , subquadruplicatam ac drationis - ain
COROLLARIUM III Potestater eiusdem gradus , qua aquales sunt inter se , aquato radices habent ; vic4sim potestates ejusdem gradus, qua aequales radices habent, sunt aquales 183 Si nimirum suerit aa: bb, erit quoque ames; & vicissim, si fuerit amo, crit similiter M A . Etenim cum
d). Erga erit - I; adeoque ata b se Similia bter si ponatur-T I, cum ratio quadrati ua ad quadratum. b aata sit duplicata rationis a aiu , cs , exponens rationis - erit
quadratum unitatis G . Quadratum autem unitatis est unitas.
ratiocinare de aliis. potestatibus ω-
240쪽
2II COROLLARIUM IER. Totestates ejusdem gradus magnitudinam proportionalium sunt inter se proportionales ; θ vicibsim potestates ejusdem gradus inter se proporti ales habent radices itidem
188 Ut si fuerit a. b e. d , erit quoque aa. istaec .dd; & vicissim si fuerit aa. bb taee. G, erit similiter a . b e. d. Quandoquidem cum iit a. b e. d, sicuti magnitudines quadratae aa, is sunt in ratione duplieata radicum a, b a , crunt quoque in ratione duplicata radicum e , d . Sunt autem etiam magnitudines quadratae te, G in ratione duplicata radicum e , d. Ergo ratio duarum aa , bb similis est rationi duarum te, ta b , estque propterea aa. Azz ce. O cὶ. Eodem ratiocinio ostendetur, csse a. b e. d, si merit aa. istaec. dd. Quandoquidem cum radices a, b sint in ratione subduplicata magnitudinum quadraticarumaa, bb d), erunt quoque in ratione subduplicata duarum te,dd. Sunt autem etiam duae e , d in ratione subduplicata duarum cc, G. Ergo ratio duarum a, b similis est rationi duarum c , d , atque adeo erit a. btac. d se . Eodem modoratiocinare de potestatibus altioris gradus. COROLLARIUM RTotestates ei dem gradus magnitudinum eontinuo proportionalium sunt continuo inter se proportionales; σ vicissim pia ces potestatum ejusdem gradus continuo proportionalium sunt itidem eontineo inter se proportionales .
I 89 Si nempe fuerita. b. e, crit etiam tb ra . bb . ec i& vicissim si fuerit -aabb. ee, erit quoque - a. b. c. Est D d Σ . enim