장음표시 사용
111쪽
ostque In clirectum sunt constitutae; ρod Qerdere ρομ
-- Hac propositione x natur Thysico-mactere utitr. ut offendant, commauicatiouem motus duorum corpArum , sive directe , oblique in me mutuo iucumreutium- ώri seeundum Lueam eeutra alo lorum counectetitem; cujus theorematis beneficio plura proble mata resolvunturi, quae maximi sunt nos iu Statica, πιυ autica . Vide Ser Ilium De gravitate aetheri
CIrculus circulum tangit in uno duntaxat puncto, sive introrsum, sive extrorsum
Dico r. Circulum ABD A. 42. thb. mrange . re circulum ABC intra ipsum existentem duntaxat in .
Itingantur duo centra E, F per rectam EF, quae producta per punctum contactus A transibit fer ii. In hypotes autem , quod duo circuli propositi In alio puncto, praeter Ala sele contingant, puta in B , ducantur a duobus centris Ε, & F ad punctum B duae rectae BE, M. i
i. DEMONSTRATIO. Manifestum est c per as. i. In triangulo BEF duo latera FB , EF , esse s mul majora tortio BF . Atqui duae lineae ΕΒ, EF mi sui .aequales rectae .FA por
112쪽
io 3 saxi. i 3. λ duos ibs ISAAEB cirenti ABC partem EF communem. Ergo recta FA major erit recta FB . Atqui id absurdum est per axi. 33. J scilicet FA , FB sunt duo radii circuli ΑBD ; ergo duo cir-ct,li propositi in puncto B.iminime sese contingunt quod ρrιmam os=eudere oportebat. Dico a. duos circulos ABC , R BD in. 33. tabis3. ὶ exterius sese contingere in puncto Α duntaxat
. Ducatur recta linea duo centra E , F connectens, quae per punctum contactus A transibin i, per ha. In. hypothesi ero , quod duo circuli proposita etiam sese tangant in puncto B, jungantur duae rectae EB, FB. : --i i DEMONSTRΛTIO. ir es i l
N Manifestum est, ut in superiori demonstratione in triangulo EBF, duo latera EB, FB sive s per axi. I 3.ὶ seu duas rectas EA, FA lis aequales, esse simul. majora tertio EF; quod quum . absurdum sit; absur' dum quoque erit, duos circulos propositos in duovus punctis sese ccintingere is quod offendendam supererat. In hac demonseratione cogimur centra sireuiorώ extra propriam sedem, ut oculari in pectioni satis i , vel iuviti collorare ; quod sane videtur absurdum. At
quum duo puώcta , in quibus circuli sese tangunt ,-MMMO Hr , ea solo intellectualis discursui cone μου erunt a quae enim impassialia suus, de vi
113쪽
IN circulo redis aequales aequaliter distant a '
centro ἔ quaeque aequaliter a centro distanteae stant aequales . Dico i. si duae lineae AB , CD ing. l . tab. 3.
sunt aequales , eaS. aequaliter a centro' E distare, quare si a centro E ducantur binae rectae EF, EG iisdem perpendiculares, quae eas bifariam divident i per 3. hae duae rectae erunt aequales sper des. 4. ii
DEMONSTRATIO. i, Dinnis quatitor radiis EA, EB, PC, ED manifestum eli, duo triangula illosaelia ΑBE, CDE per 8. t.) esse aequalia, proindeque duos anguetos D, &C csse aequales. Ex quo sequitur, duo triangula BEF, CEG esse aequalia. per Α. proindeque basim EF aequalem esse basi I EG; ρ- primo uoco eraς ose
Dico a. si duae rectae EF ,. EG sint aequales, bina etiam ΛΒ, CD esse aequales. . U
' Quoniam duo quadrata BF, EF sunt simul aequa Ea quadrato radii BE- vel CEI S. vicissim duo quin drata CG, EG sunt simul aequalia eidem quadrato CE per 47. i. duo quadrata FB, FE erunt aequalia duobus CG , GE . Igitur sublatis duobus quadratis aequalibus BF, CG, reliquum quadratum FB aequale erit reliquo EG, atque adeo recta EF , aequalis rediae EG ; ouod osevdendum supererat.
114쪽
ΙN circulo maxima linearum est diameter; quaeque centro propior est , major est ea,
quae est remotior. Dico I. in circulo cujus centrum est L M. t s. tab. 3. 9 maximam omnium linearum esse diametrum ΛΒ ; proindeque esse majorem linea CD.
DEMONSTRATIO. Ductis duobus radiis LD , LC, manifestum est per Eo. r. duo latera LC, L D trianguli CDLesses mul majora tertio latere CD ; atqui eadem sunt simul aequalia diametro AB sper axi. I 3. ergo diameter Θ B. major est recta CD a quod primo loco erat demonserandum. Dico a. lineam FF , quae magis distat a centro L, esse minorem linea CD, quae propior est eidem
Ducatur a centro L recta LG perpendicularis vectae Cis, tum recta LΗ perpendicularis rectae EF . Et quoniam linea LH maior est linea LG, siquidem linea EF posita est longius distare a centro , quam CD ,sumta super eam parte Lo aequali recta: LG, du- tur per punctum O recta IK perpendicularis rectae H , quae t per i . rectae CD aequalis erit; denique Jungantur radii LI, LΚ, LE, LF.
115쪽
Quoniam duo latera LI , I.Κ trianguli ΙLΚ aequalia sunt duobus lateribus LE , LF trianguli ELF, Stangulus comprehensiis ILΚ major est angulo compre- tenso ELF , basis etiam IK , sive CD ipsi aequalis , major erit basi EF ; quos ostendendum supererat. Hujas propositiovis heve cio ostendi potes, circulas, qui a obaerae ceπtro DNt remotiores, minores esse iis, qui centro Gπt propiores ἴὶ Nam eorum diametri nece puris sunt breviarer . diuocirca Go circuli polais res in sphaera armillari misores sol duobus tropicis a maximi vero omnium funi, qui per Ipherea centrum transeunt, qui tu eadem Aphaera sex numerantur: nimirum , AEquator, Horizon, Todiacus, Meridianus, Odus Colliri, qui scilicet per quatuor puncta cardinalia et lipticae transeunt, fositialia nempe; er aequinatialia.
THEO REM A XV. RE Eia , quae per extremum diametri eidem
diametro ad angulos rectos ducitur, tota est extra circulum , ipsumque tangit cluntaxat a nec alia linea inter ipsam, & circuli circumserentiam duci potest ad idem punctum contactus, quae circulum non secet . Dico r. reeiam CD tra. 16. t f. 3. quae petextremum Λ diametri AB ad angulos rectos eidem diametro duc tur , esse totam eXtra circulum ; quare quodlibet punctum in ea sirimum , v. g. H , a centro remotius urit, quam punctum A. DE Disithetoo by Cooste
116쪽
Ducta reeia ΕΗ , manifestum est , in triantulo rectangulo ΑΕΗ majus latus esse hypotentisam Ii H per ι9. ροῖ a. i. 9 Ergo punctum H magis distat a cun-tro , quam punctum Λ , Quod in extremo diametri pontum est et quod primum fuerat Oseu Ndum. Dico a. a puncto contactus Λ, sub tangente CD si ducatur recta FA , haec circulum secabit. PR AE PARATIO. Ducatur a centro E recta EG perpendicularis rectae AF, quae ipsam sub punetum Λ alicubi dividet , ob angulum acutum EΛF. DEMONSTRATIO. QuonIam angulus ΛGE trianguli EAG rectus est per conser. reliquis duobus major est sper Ja. i. proindeque hypotenuia EA maior erit latere EG per 1'. t. Igitur punctum G minus distat a centro E , quam punctum Α, adeoque est intra circulum ; quos reliquum erat ostendere. SCHOLIUM. Huic propositioni aliud Theorema addunt Euclidis Interpretes , videlicet e Angulum semicirculi , nempe angulum mixtum ΕΑΙ , quolibet angulo acu lo majorem esse; id quod evidens . est , nam convenit cum angulo BAD, qui rectus est. Id autem ex ipla anguli recti definitione constat; diameter enim, quem admodum etiam quilibet radius circuli, ita in cir cumserentiam incidit, ut angulas utrobique aequalesessiciat, atque adeo rectos
117쪽
Io Ut cognoscatur valor avula mixti DAF , v. g. fig. 3 i. tab. 3. ducenda es linea recta AC curvam taugeus in puncto eis, in quo sit angulus mixtu , ursocebimur sequenti propositiove ἔ avulus enim mixturaequalis est angulo removeo , qui AE a tau eiate , uva cum latere reuo anguli mixti . Hinc amulus mixtus De F cotvincitur esse aequalis angulo rectilineo Dista
A D to extra circulum puncto rectam hunc
dem circulum tangentem ducere. Ut ducatur a puncto A dato extra circulum CF G A. t 7. tab. 3. recta cIrcumferentiam EC tangens, ducatur a puncto dato Λ ad centrum B recta AB, quae circumferentiam secet in puncto C, a quo excitetur perpendicularis CD indefinita. Ducatur Item a pundio B, ad intervallum BA arcus circuli ADF , qui secet rectam CD in puncto D . Denique a centro B ad punctum D. ducatur recta DB, Sc per pun Eium E, In quo ea circumferentiam CE secat, ducatur ad punctum Λ datum recta FA , quae erit tangens, quam inquirimus.
DEMONSTRATIO. . Quoniam duo triangula BAE, BDC sunt inter soaequalia i per ψ. r. ob duo latera BA , BE aequarii a duobus lateribus BD,BC, alterum alteri per ax. i δέ
Sc angulum comprehensum B communem,etiam angulus
118쪽
Io9 ut tangentium irequentis ut es iv omni mathematica . Iis enim ut autur Geometrae , quum in Trigonometria, at videbimus is Trigonometriae InUs; tum in Geometria, ubi agitur de circuli quadratura , ad quam proxime acceduνν ope polmouorum circHis . eir cumscriptorum , ut tentaυit Archimedes. Iis utuntur etiam si disco-mathematici tu optica , 'Dioptrιca, OCatoptrica ad de ievdos tum refractionum, raran e flexionam, qui in superficiebus curvis Mut, angulos .
Siquidem , ut dinum es ad Tropositionem XVL anguli
mixti valor ope tangentium cog incitur . . .
ΤΗ EO REM A XVI. SI circulum tangat recta linea , ad punctum
autem contaictus alia recta a centro du- catur , haec erit tangenti ad angulos reis s.
Haec propositio evidens est, quum sit corollarium Prop. XVI. Si enim angulus EAD M. ι 6. tab. 3. 9st acutuS , vel obtusus , duci poterit ad tange nium CD recta EH, vel EΚ, eidem perpendicularis s. Quoniam Igitur angulus EHA rectus est, hypotenusa EA major erit latere EH , quod absurdum ethc per i 6. Hine colligi potest, quemlibet radium circuli esse perpendicularem circumferentiae , quod saue maximi es fas iu Dioptrica, ubi refraitionum avisi comparaιe ad perpendiculares lineas compuιautur , quae is co Dieillis, seu vitris eonvexis , re concavis sunt totidem radii Φ centro coovemtatis , seu concavitiatis dacii.
119쪽
P Erpendicularis intra circulum ad tangentem in puncto contactus ducta per cen
Haec propositio , quae est cInversa praecedentis, pariter Evidens est.. Si enim ponatur centrum circuli
CDE ing. i 8. tab. 3. J esse aliud a puncto F , puta G , linea GC erit tangenti ΑΒ perpendicularis , t per Id. proindeque converileti cum recta FC , quae t ex poth. est item perpendicularis eidem tangenti.
ii T Η E OI EM A XVIII, . IN omni circulo angulus ad centrum duplus est anguli ad circumferentiam , si eidem arcui ambo insistant.' Angulus ad circumserentiam dicitur, cuius. vertex ad aliquod eircumlarentiae punctum desinit, ut BAC tri. 39. ao. 9 21. tab. 3. J angulus vero ad centrum, cujus vertex est in centro, ut BDC . Trishus autem modis constitutus esse potest angulus ad centrum comparate ad angulum ad circumserentiam .. et enim duo latera anguli ad circumstrentiam i Cludunt angulum ad centrum .i ut Mura I9. Vel alterum latust anguli ad circumserentiam convenit cum latere anguli ad centrum s ut rix. ao. J Vel denique . latus unius latus alterius anguli secat sui A. at. In omni hus autem his casibus dico, angulum BDC, qui est ad centrum, esse duplum anguli BAC, qui est ad circumferentiam ς dummodo eidem arcui BC uterque sit 'lisfiixus D Diqitiroo by Cooste
120쪽
Dina ab angulo, A A: I9. per centrum Lrecta AE , manifestum est , angulum BDE , qui est exterior comparate ad triangulum ABD , esse aequalem duobus interioribus oppositis DAB, DBA c per 3 a. r. qui ambo quum sint inter se aequales spers. r. jam agulus BDE est duplus anguli DAB. Eodem modo ostendi potest, angulum CDE esse duplum angis li DAC; quare totus angulus BDC est duplus totius anguli BAC; quod primum eras opendendum . . .
Quoniam angulus BDC is. 2αὶ exterior est comparate ad triangulum isoscelium ABD , aequalis est duobus interioribus oppositis A , S B s per 38. i. qui quum sint aequales ister s. )sequitur angulum BDC esse utriusque seorsum sumit displum; quouseran
Ducta per centrum D recta AE trig. ai. J evi dens est , ue in superioribus demonstrationibus , angu lum CDE, qui est externus comparate ad triangulum ACD , esse duplum anguli CAD; itemque angulum BDE , qui est externus comparatu ad triangulum ABD, esse duplum anguli BAD. Igitur sublato angulo BDE duplo anguli BAD , reliquus angulus BDC erit du- Plus anguli reliqui ΒΛC 3 quod po emo supererat demonstraudam. fCH