장음표시 사용
81쪽
Quoniam duo latera AB , BC trianguli ABC sunt aequalia i per coυir. duo antuli BAC , BCΛ sunt aequales s per S. I. S uterque est dimidium anguli redii l per 3 a. i. ambo enim simul uni recto aequivalent. Eadem de caussa duo anguli DA , DCAtrianguli rectanguli ACD seorsum sumti sunt dimidium anguli reeit . Ex quo sequitur , ob rectos angu los qui facti sunt in punctis E , Η , I, F s per constr. angulos singulos AGE , AGH , CGF , CGI esse tecti dimidios sper 3 a. i. proindeque inter se aequa. les; Quare duae lineae AE, GE sunt Inter se aequales sper 6. i. ob duos angulos aequales EAG , EGA;
non secus ac duae ΑΗ , GH. Insuper duae rectae GI, IC sunt inter se aequales l per 6. I. ob angulum 1GC aequalem angulo I CG, non minus, ac duae FG, FC , angulum FGC aequalem angulo FCG ' 'Quoniam igitur latera opposita Parallelogrammi sunt aequalia sper 3Α, r. in manifestum.est, rectanguinium AG esse quadratum partis ΑΕ, rectangulum GC vero , quadratum Partis EB, binos autem rectangu-Jos EI, H F esse sub partibus EA, EB ; & quoniam quatuor haec rectangula congruunt cum quadrato AC, jam. sunt ipsi aequalia sper axi. 3. quos erat osea
Diagonalis quadrati angulos oppositos, per quos eransit, bifariam dividit; rectangula vero, per quae transiit, sunt quadrata. Coae
82쪽
Datis duobus numeris quibusquumqtie, ex silmma quadratorum eorumdem, S simul ex duplo proia ducti ex eorum multiplicatione, Oxsurgit numerus quadratus . Sint duo numeri 3 , & s 3 summa duorum , quadratorum 9, & 2S , nimirum ἶ4 , una cum duplo is, scilicet 3o, essicit 64, qui numerus eth quadratus, cujus radix est 3. Id aut totum ex hac propositione inducitur , ut patet .
Si linea aliqua secta sit in duas partes aequa les, & simul in duas inaequales , rectan-oulum sub Partibus inaequalibus, una cum quadrato partis intermediae, aequale est quadrato , quod fit sub dimidia. Dico, si linea ΑΒ Q. 23. tab. a. divisa staequaliter in puncto C , S inaequaliter in pu MD D: rectangulum sub partibus mae iii altus AD , DB ucum quadrato partis intercepta: CD aequale est quirato dimidiae CB , vel AC , i videt et CF. t i
Ducta d Iaho ali BE , ducatur a puncto D recta.
tuor rectangula, quorum duo CI, FI lunt inter ae c
83쪽
lia, reliqua vero duo DL, LG, sunt quadrata, ut ex superiori demonstratione patet .. Excitetur item a pun- esto A lineae AB perpendicularis AH, quae incidens in lineam KL productam in H, erit c per 34. l. b aequalis lineae ΒΚ , aut BD ipsi aequali, ex quo manifestum est , rectangulum AI esse sub partibus inaequalibus' ΛD, DB comprehensum.
Quoniam duo rectangula ΑL, CK sub aequali-. hus lineis continentur , sunt inter se 'aequalia , Non se cus ac CI , FI ; quae ambo duobuς . praecςdentibus addita, alterum alteri, ostendunt rectangi illini ΑΙ subpartibus inaequalibus AD, DB comprehensum aequale esse gnomoni LBGr. Quoniam vero gnomon LEGI, Una cum quadrato GL partis interceptae CD, est aequale toti quadrato CF si per avi. evidens et , rectangulum sub partibus inaequalinus AD, DB, una Cum quadrato partis interceptae CD , aequale e si e qudra vi dimidiae CB, videlicet CF cter axi. l. quod opera- pretium erat demON are.
SI lineat euipiam bifariam divisae recta quae quia inque addatur , rectangulum , quod fiti uti tota, & sub addita, una cum quadrato dimidiae partis lineae Propositae, aequale est quadrato alterius Partis, una Cum addita. ἡ Dico, si linea AB cAg. a . tab a. 9 divisa sit bifariam in C, S ipsi addita sit redia BD , resiangulum sub
84쪽
sub tota AD , una Lum.. Guadrato dimidiae AC , vulCB, aequale 'esse quadrato flneae CD, quae constat ex dimidia parte CB, & addita BD, videlicet quadrato Chta
Ducta diagonali DF , excitetur a puncto II .rceta BG 'perpendicularis rectae AB, Sc Per pundiitria suci icinis 'I ducatur' recta KL perpendicularis lineae BGς quocirca hae duae perpendiculares divident quadratum CE in quatuor rectangula , quorum duo BK , LGerunt quadrata cper 4. cetera Vero duo CI , IEerunt aequalia. Excitetur insuper a puniito A iecta ΑΗ perpendicularis reciae ΑΒ , quae occurrens rectae ΚL productae In N effetet 'roctangillum ΑΙ. aequale rectanglilo CI, atque adeo rectangulo EI; quum haec tria rectangula eandem habeant altitudinem nimirum additae BD, ct longitu uinem dimidiae ΛC.
Si utrique rectangulo aequali AL , ΕΙ addatur commune rectangulum CK, habebitur ΑΚ rectangulum aequale gnomoni LDGI Quod si utrique harum aequalium magnitudinum adjungatur quadr mim CL,isanifestum est , rectangulum ΑΚ, una clrm quadra to GL, nimirum rectangulum sub duabus rectis AD, BD, una cum quadrato dimidiae AC, vel CB, aequa
85쪽
Ouadratum lineae . utquumque libuerit .
divise in aliquo Puncto, una cum qua Urato unius sectionis partis , est aequale duobus rectangulis sub tota , & eadem sectionis Parte comprehensis, 2 simul quadrato alterius partis. i Dico, quadratum lineae Ab crig. et s. tab. 2. di vita pro libito in pilhcto C, una cum quadrato Par tis AC, aequatae esse duobus rectangulis sui, tota AB,& eadem parte AC comprehensis , & simul quadrato alterius partis CB. . Α 43. . . . . PRAEPARATIO. Ducta diagonali BE , producatur latus CL, qua drati AL in F , & per punctum sectionis G ducatur H Iipsi CF perpendicularis ; quae duae rectae dividenta. quadratum AD in quatuor recta.ngula, quorum Uuo CI, H F erunt quadrata, rutiqua vero AG , .GDinter se aequalia.
Si duobus rectangulis aequalibus Ao , GD addantur duo quadrata AL, HF , quae sutat aequalia- , sunt enim a traho quadrata partis AC , fient duo rectangula aequalia HL, H D , quorum utrumque ComPre henditur sub tota AB, & parte AC . Ex quo sequi tur, silmma in horum rectangulorum , nempe figura
86쪽
LEIG ζ' aequalem esse duobus rectangillis sub AI, AC, comprehensqqu,re s iitrique ex his magnitudinibus adiungas quadratum alterius partis CD, scilicet CI manifestum est, duo rectangula sub tota AB , & parte
datur linea alteri sectionis parti aequalis, quadratum totius aequale est qualtior rectangulis sub eadem . linea, proposita , ct addita comprehensis , siniui cum . quai drato alterius partis. Dico, si linea AB M. a 6. tab. a. b divisa sit
pro libito in punctoi.C , atque i Ps. Odjungatur unea BD aequalis ulteri secti ix parti , v. g CB, HVa ira tu totius ΛD esse aequa ei quatuor rediangulis Hiblinea propostra AB, Daddita BD , comproeliensis , Ssmul quadrato alteriuS PartiS AC. . . G
Ducta diagonali incitentur a auobus Pu ctis B , & C duae rectae BG , CH lineae AB perpen diculares ; ac per puncta intersectionum I, & Κ ducantur duae rectae NO, IM eidem AB parallelae. Igitur quadratum AE divisum erit in plura rediangula,
quorum sex, scilicet LΗ, CM, QP, BO,
87쪽
Tria rectangula ΑΚ , NP ,: Go sunt . inter sciis aequalia , liabent enim longitudinem lineae AB , alti tudinem vero BD per condir & rectangulum GI , lina cum 'quadrato Bo , canstituri y riter rectangulum tribus prioribus aequale , nam BO est aequale quadrato PO per confr. ) quod additum rectangulo GI ssicit rectangulum G ae uale rectangulo GO . Igitur in quadram AB .mve'i ur qua i r rectaugula
dratum alterius partis AC , videlicet LH , quae omnia timui ei item quadrato ΑΕ aequalia lunt per vix. o. Iqi οβ Uendendum DF epe mus . 6 s it citat.
ia produm, duorum numerorum inaequalium quo-riimquumque quater sit into , addas quadratum disse centiae, teli excessitis, quo unus alium superat eorum 1umn a erit numerus quadratus.. Ex. g. si umatur qua ter al, quod est pro iustam ituorum numerorum 3 ιS 7, nempe 3 , ipsique adjungatur quadratum 4 s.clum est differentia duorum numerorum ἶ, S 7 nimirum I 6, summa H . erit numeliis quadratus , culuS ra dix est io, qui numerus cst aequalis summae 7 , α 3. Id autem ex hac propositione deducitur. i
Quadratum , cuius latus est iliolam lateris aue. iiiis quadrati, est Hullium quadruplum , Sac quacua. Disitiroo by Corale
88쪽
tum Cu est quadruplum quadrati Bo, quoniam latus CD est duplum lateris BD . ia quod generalius ostendemus Prop. XVII lib. VI. . d
SI recta linea secetur aequaliter si miit, & inae
qualiter, quadratad anuini Partium inaequa
lium sunto ius dirpia quadνati din kliae, una cum quadratb fariti intra hirumque sectionis punctum intercep
ris lineae AB, Sc aequalis dimidiae AC, vel CB, junganturque recta EA, EB . Ducatur 'item a pii iacto D recta DF parallela rectae CE , S a puncto F recta FG paralle rectae AB , ut habeatur parallelogra inmunt a CDFG, ciij iis nateri CD, FG Mund inter se qua
lia per Ἱ4. Deniquo jungatar recta
Manifestum est , quemlibet angulum acutum duo. rum triangulorum rectangulorum ilice liuia1 ACE, BCE esse dimidiam recti cper s. ct 3 a. r. quare totus angu Ius ΑΕΒ pectus erit. Insuper manifestum est, singulos
89쪽
EGE, BDF eite anguli recti dimidios sper 3 a. l. 3, S proinde angulum GFE aequalem esse angulo GEF, qui eli recti dimidius , & angulum DFB aequalem an gulo B, qui itoin est idi lii iura r hi, ut indimus. Itaque duo triangula GEF, BDF erunt ili scelia cper 6. i. Quare quadratum Asil erit dimidium quadrati AE per 47. i. & quadratum GF dimidium quadra
Summa igitur quadratorum AD, DF , vel: DB, eliaequalis Nummae duprum qiiadratorum. AE, i Her. axi. ι. utraque ultim lsummai ust aequalis pq 7. ii quadrato lay Potenusae, AFi, quae communis est duobus triangulis rectangulis AFD, AFE. Atqui summa duorum quadratorum AE, EF dupla elisummae duorum . quadratorum AC, GF, Vel. CD ipsi a qualia, ut modo tunsum est; quadratum enim AE est duplum qua-cisar D AG , quadratum vero lER: duplum quadr/ti FG per 47. i. J ergo summa duorum. quadraiorum' AD , DR cst dupi i major summa duorum quadratorum AC, CD; qnod ineudendum suscepem n i
SI reetae lineae bifariam divisae alia reicta addatur i, quadratum totius lipeae , una cum quadrato additae , stant duplo majora quadrato dimidiae partis listhae propositael, & simul quadrato lineae ex dimidia , & addita conflatae.
90쪽
mus duplicia silmmae duorum quadratorum AC , CD. PRAE PARATIO.
Excitetur a puncto C recta C E perpendicularis AB, & aequalis dimidiae AC, junganturque rectae EA, EB . Tum a puncto D ducatur reeta DF parallela lineae CE , S a puncto E linea EF parallela lineae CD, ut haheatur parallelogrammum CDFΕ, cuius duo latera opposita CD, EF erunt aequalia sper 34. r. in Denique producantur duae rectae EB, FD, quoad sibi occurram in G , jungaturque recia AG. DEMONSTRATIO. Manisestum est, ut in superiori demonstratione , angulum AEG reinim esse, & insuper duo triangula. rectangula GDB,GFE esse is stella adeoque lineam aequalem esse lineae DB, lineam V o FG aequalem lineae FE, & proinde lineae CD. Quadratum igitur ΑΕ erit duplum quadrati ΑC per Α'. i. J Et quadratum EG duplum quadrati EF, vel CD. Ex quo sequitur, silmmam duorum quadra eorum AE, EG , seu cper 47. r. Blum quadratum AG ά sive etiam sper ψ . r. J quadrata duarum linea rum AD, DG , vel BD, esse simul duplicia duorurria quadratorum AC, EF , vel CD a quod osevdendamRsceperamus.