장음표시 사용
141쪽
i3a interstinionis D dueantur ad tria trianguli Iatera tres trectae perpendiculares DE , DF , DC, quae erunt inter' se aequales; proindeque a puncto D, intervallo vero DE, dueta circuli peripheria per puncta F,& G tran
. . DEMONSTRAΤIO. . . Quoniam cluo anguli DEA , DFR sunt aequales c per eoostr. S recta AD secat hilariam angulum A, duo triangulat ΛDE, ADF erunt. aequalia 26. I. proindeque. latus DB aequalis erit .lateri DF . Eodem. modo ottendi potest, latus DG aequale essis lateri DF. . Quare si a punAo D, intervallo vero DE, ducatur citculus , hic per puncta F, & G transibit s atque Oh angulos rectos, qui fiunt in Punctis E, F, G, erit triangulo ABC inscriptus sper 16. 3. quod facere demonstrare oportebat . ' l .
Ato triangulo circulum circumstribere
Secentur bifariam duo latera quaequumque triano tuli ABC LA. ri. tab. . Videlicet ΑΒ , AC in punctis D , SE, ex quibus excitenturhinae retiae perpendiculares DF, Es; punctum autem F erit centrum circuli, qui inqqiritur , si enim ducamur tres lineae FΑ , FB , FC , hae erunt aequales .
Quoniam duo triangula rectangula ADF , BDν isunt aequalia I., ob latus AD aequale lateri DR
142쪽
per eonser. & latus DF commune, reliqua duo latera FB, FΛ erunt aequalia . Eadem ratione demonstrari potest, duas lineas FA, FC esse aequales. Quamobrem a puncto F descriptus circulus, ad intervallum Α, transibit per reliqua duo puncta B,& C, eritque idcirco triangulo Λ BC circii micriptus ; quod opero retium erat facere , O demonstrare.
Hujus problematis solutio in triangulo oxygon Iosacta est ; ea tamen triangulo ambivganio perinde applicari pote ista in quo tamen perpendiculares duci latera trianguli bifariam dividentes extra triangulum sibi mutuo occurrent ἔ proindeque centrum circuli triangulo amblygonio BCD Ag. 3O. tab. 7. circum scripti extra ipsum triangulum positum erit svide prop'3 I. I. ob eandem rationem centrum circuli triangu lo reeiangulo ABC circumscripti erit in hypotenula A bifariam divisa .
D Aio cireulo quadratum histribere
Ducta per centrum E dati circuli ABCDiab. 4.) quavis diametro AC, ducatur alia diameter BD eidem AC perpendicularis , iunganturque rectar AB, BC , CD, DA, quae quadratum ABCD consti
' DEMONSTRATIO Quatuor anguli quadrilateri ABCD sunt rectic per
143쪽
34 per Il. 3. quilibet enim est semicircuis inscriptus.
Insiiper quatuor latera AB, BC, CD, DA , sunt aequalia, sunt enim bases totidem triangulorum rectangulorum aequalium t per ψ. I. Igitur figura ABCI, liquadratum circulo inscriptum, quod facere , O demo Virare oportebat.
DAo circula quadratum circumscribere
. Ducantur per centrum I dati circuli EFGH M.' Ia. tab. 4. hinae diametri EG , FH sibi mutuo ad rectos angulos insistentes. Tum per quatuor puncta E, F, G, H ducantur quatuor rectae AB, BC, CD, DR circulum tangentes , quae quadratum ABCD conlibluent dato circulo circumscripti m.
Evidens est, figuram ABCD esse circulo EFGMeircumscriptam, quoniam singula eius latera circuminferentiam tangunt per co/fr. Itidem manifestum est, eamdem esse quadratum , Ob angulos rectos, qui fiunt in punetis E , F, G , Η , sper I 8. 3. t tum ob angulos Item rectos, qui fiunt in I l per eonfr. J atque adeo ob quatuor quadrata aequalia ΛI, BI, CI, DI, qvae figuram ABCD constituunt 3 quod faciendam, δε- mon andum susceperamus. - ε. t
144쪽
D Ato quadrato , circulum inscribere.
. Divi sis bifariam quatuor lateribus dati quadrata ABCD c M. ia. tab. 4. in punctis E, F, Η, jungantur duae redire EG , FH sese mutuo interseca tes in I, quae erunt oppositis quadrati lateribus parat telae sper 28. r. ob angulos rectos, qui fiunt in pu diis E, F, G, H , proindeque hi nos, & binos aequa les duobus. rediis . Punctum igitur I erit centrum circuli, qui inquiritur. n. . . DEMONSTRA Tao. Mani sestum est sper 33. r. J duo latera HI , EI quadrilateri AI este aequalia duobus lateribus ΑΕ , AH; quae quum sint aequalia, sper confr.ὶ jam figura A Ierit quadratum . Idipsum dic de reliquis tribus BI, CI, DI . Quare quadratum ABCD divisum erit i quatuor quadrata, quae omnia erunt inter se aequalia
aequalia sper confr. Ergo quatuor rectae IE,IF, IG, IH erunt pariter aequales, proindeque si per punctum Ι ducatur circulus ad intervallum IE , hic per pun cta E, G , H transibit; quod facere , eri demonstrare opus fuerat.
145쪽
Ato quadrato circulum circumscribere
Ducantur in dato quadrato ABCD c An ro. tub. 4. duae diagonales AC , BD a & punetum intersectionis E erit centrum circuli, qui inquiritur. DE MONSTRATIO. Quoniam omnes anguli acuti quatuor trianguintorum rectangulorum ΑΕΒ, BEC, CED, DEA sunt te mireeti e per A. a. S proinde aequales inter se, non minus ac quatuor latera ΑΒ , BC , CD, DA ex poth. haec quatuor triangula erunt aequalia per 26. I. proindeque eorum latera EA, EB, EC, EDerunt pariter aequalia . Si igitur ducatur a puncto Ead intervallum EA circulus , hic per puncta B, C, D transibit; quod faciendum, O demo Τrandum suo
TR iangulum isdscelium describere, in quo
uterque angulus ad basim seorsum sumtus sit duplus anguli ad verticem .
Ducatur redia quaequumque AB A. I 3. tab. . rua ita dividatur in puncto D per tr. a. ut qua- ratum partis BD aequale sit rediangulo sub tota AB, S altera parte DA ; descriptoque a puncto B, intervallo
146쪽
vallo vem Α, arcu AC , applicetur ipsi per i. recta AC aequalis rectae BD, denique jungatur redis BC; sicque triangulum ΛBC erit illud , quod inquiritur α
Quoniam punctum B eth centrum arcus AC, duo latera BA, BC erlint aequalia per ax. t 3. adeoque triangulum ABC erit isosculium; ex quo sequitur, angulos A , S C esse aequales c per s. i. Reliquum est igitur, ut demonstremus , utrumque angulum A, &C seorso in sumtum duplum esse anguli H ; id vero prestabimus , ducendo reetam CD , & insuper per puncta B, D, C circumferentiam CD B. t per s. QEoniam rectangulum sub tota AB , S parte AD aequale eli quadrato DB, vel AC per Gust. linea AC tanget circulum CDB in pun9o C per 37. I. Sc angulus ACD, qui fit a tangente AC , Sc secante DC, aequalis erit angulo B, qui fit in segmento alterno per 32.3. Et quoniam angulus exterior ADC aequalis eth per 3 a. l. duobus interioribus oppo
iis DC B, DBC, sive duobus DC B, DCR, videlicet toti angulo ACB , sive angulo A ipsi ae piati s peν eonser. sequitur per 6. r. 3 lineam AC , aut BD aequalem esse lineae CD, & per i. ) angulum B, sue Λ CD aequalem esse angulo BCD , proindeque a angulum ACB, sive angulum A , duplum esse anguli B ; quod erat Deiodum, di demovfraudum.
147쪽
Xplicatis praecipuis circuli proprietatibus , nonnulla problemata hoc quarto libro Euclides proponit, de figuris' rectilineis regularibus circulo inscribendis , vel circumscribendis; quorum ustis maximus est, tum in arectum munitarum, & propugnaculorum conitructione; tum in Trigonometria ad supputationem tabulae sinuum, & tangentium ς tum denique in Geometria ad quadraturam circuli, ut suo loco videbimus.
dicitur, quum verrex cuiliSlibet anguli uniuS latera alterius contingit. Sic quadratum EFGH fig. s. tw. q. ninitur es e inscriptum quadrato ABCD. II. Figura rectilinea alteri figurae item rectilineae circumscripta dicitur, quum singula unius latera tran seunt per omnes Vertices angulorum alterius. Ruocirca uradratum ABCD fg. s. tab. . in circumscriptum erit quadrato EFGH. III. Figura rectilinea circulo inscripta ea est, cujus anguli omnes circuli circumferentiam contin
148쪽
Ιv. . sigura rect IlInoa Eixtilol circumscηpta est, avitis singula latera circuli circumferentiam tangunt. Sic trianguluis IKL t sig. 8. tab. . ) circulo 'DEFcircumscriptum dicitur. V. Circulus figurae rectilineae inscriptus disejus circumserentia singula figurae rectilineae latera contingit. Sic circulus DEF sig. 8. tab. 4. es iussit tus triavulo IKL, cujus latera tangit in punctis D, E, RVI. Circulus figurae rectilineae uircumscriptus est, cujus circumferentia per singulos angulorum figura, vertices transit. Hinc circulus' DGH figi . tab. 4. yriantulo HDG cireum scripitis dicitari VII. Linea circulo applicata est, cuius extrema ad circuli peripheriam desinunt; ut fig. 6. tab. M. ῬVIII. Figura regularis dicitur , quae, Sc aequi latera est, ct aequiangula.
DAto circulo rectam lineam applicare quae
diametrum non excedat. Ut applicetur circulo AECB A. 6. ωθ. q. J r Ra non major diametro AB im maior est, circa D neutiquam applicari posset, ρομ .diumerar se maxima linearum, qua in circula d ci p. uut, ut ostensumes prU. ε s. g. a si ea diametro aequalis sit, satis erit rectam ΑΒ per centrum circuli ducere. Si vero sit minor diametro , sumta in ipsa diametro portione aequali rectae circulo applicandae, V. . g. BD, d lcatur an extremo B, intervallo vero Bo, circuiva CDF itum ab intersectionis puncto D, Vel F ducatur recta C quae erit aequalis parti BDὴλ Proinde etiam rectae ,
149쪽
PROBLEMA II. DAto circulo triangulum inscribere aequHangulum alteri dato . ψ i
Sit clatum triangulum ABC s fg. I. rab. 4. ut. dato circulo D GH interibatur aliud triangulum habens singulos angulos singulis alterius dati aequales, duca turis libitum tangens EF, fiatque in puncto conta Aus V ex altera parte quidem angulus FDH aequali angul9 Λ, per rectam DR; ex altera . 'ero angulus EDG aequalis angulo B pur rectam GD . Denique jungatur recta G H. i
Quoniam angulsis TDH , sive anguliis A ipsi aequalis i per cρ in. θ aequalis eth angulo alterno G per 3 a. y. itemque angulus EDG, sive B, aequalis eli angulo alterno H , sequitur per 3 a. l.d etiam angulum GDH aequalem esse angulo C ; proindeque triangulum DGH esse aequiangulum triangulo ABC a quod erat facteudam , θ' demonstrandam.
DAto circulo triangulum circumstribere
aequiangulum alteri dato. Ut dato cireulo EFD rob. 3
scribatur triangulum aequaangulum dato triangulo ADC, ducatur radius quiquumque OD , & producta hasi
150쪽
Q cum radio OD cae unas Parte angulus D aequalis angulo exteriori CBH , per radium OE; ex altera vero per radium OF angulus DOF aequalis alteri angulo exteriori CAG; denique per tria puncta D,E,F dii cantur tres tangentes IK, KL, LI , quae triangulum IKL conitituent tequiangulii ni trianguloe ABG. DEMONSTRATIO. .
Quoniam tria latera trianguli IKL cireulum D tangunt per conser j jam man festum es ipsum esset circulo circumscriptum sper des Ira per 8 3.γ angulos , qui fiunt in punctis esse nectos . Et quoniam cper 3 a. . quatuor anguli trapegit KDO Ei sunt simul aequales quatuor rems, sublatis duobus E, & D , qui sitiat recti , reliqui DOE . D E erunt si mul aequales duobus rectis, proindeque duobus H, CBA per r3. I. 9 sublatis igitur duobus angulis aequainlibus sper est serit cBA , DOLI finiquita angillus Κaequalῖs erit reliquo CBR. Eadein ratione demonstrari' potest , angulum Iaequalem esse angulo CAB ; ex quo concluditur L in ga. 3 .l tria'm uix KL. inauiangulμm esse triaraetari ABC j quod sucis , ter ostendes is fust reaia