Elementa geometriae ad usum collegii imperialis nobilium RR. PP. Teatinorum ab imp. Caesare Carolo 6. Hispaniarum ... opera, & studio Jo. Baptisatae Naeuii Vicentini ..

91쪽

PROPOSITIO XI.

PROBLEMA I.

DAtam rectam lineam ita dividere, ut quod

sub tota , & altero segmento comprehenditur , rectangulum, aequale sit quadrato aIterius partis.

Ut dividatur linea AB s A. 29. tab. 2. in puncto C, ita ut rectangulum, quod fit sub tota AB, A, altera parte CB , ωquale sit quadrato alterius partisi AC , describatur super rectam AB quadratum ΛBED, divisoque latere AD hilariam n E , di itur recta EB,& producatur DA in F, itaui EF aequalis sit EB, ut habeatur linea AF, super quam si describaruM quadratum AFG C, id dabit punctum C, quod inquiritur; si enim producatur CC in H , rectangulum.BH, quod. fit sub BE , vel AB, ct Parte CB, Aquale erit qua

drato alterius Parti, AC. - . o . .

DEMONSTRATIO.

Quoniam linea AD divisa est bifariam im punct E. R ipsi addita est recta AF, rectangulum sub tota DF , ct addita AF , videlic DG , una eun quadrato dimidiae AE , aequale est sper 6.) quadrato EF, vel EB; nimirum per q7. I. duobus quadra.

tis ΑΕ, ΑΒ simul sumtis. Qitare si ab utraque surrima auferatur Commune quadratum AE , remanebit rectangulum DG aequale quadrato lineae AB, scilieet ΑΕ. Quod si ab utroque item ex his planis aufer tur commune rectangulum DC, reliquum quadratum AG aequale erit reliquo rectangulo CE sper ari. 3.

92쪽

IN amblygoniis triangulis quadratum lateris

obtuso angulo subtenti aequale est duobus quadratis aliorum laterum, & duobus rectangulis aequalibus , quorum utrumque comprehenditur sub altero latere obtusum angulum continente producti , donec Occurrat perpen

diculari ab angulo sibi opposito duret, di parte ejusdem lateris inter angulum obtusium , & pes

pendicularem intercepta . Dico, in triangulo ambligonio ABC A. 3 o. rab. 2δquadratum lateris AC angulo obtuso B lubtensi aequa- ω esse summae quadratorum duoruin latorum ΑΒ, BG stum duobus rectangulis, quae fiunt sub latere AB, Scoarte BD ejusdem lateris producti in D, ubi Occurrit perpendiculari CD ductae ab angulo C sibi opposito

Producto latere ΑΒ, ducatur a puncto C recla CD eidem perpendicularis, quae dabit partem BD .

luobus quadrati . AB, BD simul sumtis, una cumJ, duobus rectangulis sub ΑΒ , BD comprehensis, s duabus hisce magnitudinibus addatur quadratum CD , manifestam est, summam duorum quadratorum AD, CD, seu sper 4 . i. solum quadratum AC esse aequaleium quadrato AB, tum summae duorum quadratorum

BD, CD, videlicet sper47. i. quadrato CBI. a

, una cum Disitirso by Gorale

93쪽

cum duobus rerungulis sub AB', BD, quod eratose udendum.

TH EO REM A XII. i - ΦIN omni triangulo rectilineo quadratum lateris angulo acuto Oppositi, una cum duobus rectangulis sub alio latere , in quod incidit perpendicularis ab angulo ipsi opposito ducta , di ea lateris parte, quae perpendicularem inter, &angulum acutum interiacet , comprehensis , aequale est suminae quadratorum aliorum laterum . Dico, in trIangolo ABC t . 3r; OR aia quae dratum lateris ΑC , quod opponitur angulo acuto lina cum duobus rectangulis sub latere ΑΒ , quod alteri angulo ACB opponitur, E parte DB, quae inter perpendicularem CD, & acutum angulum B, intere jacet, comprehensis, aequale ψsse summae quadratorum aliorum laterum ΛΒ, BC.

DEMONSI RATIO.

Quoniam summa duorum quadratorum Λ B, BD aequalis est quadrato AD, R duobus rectangulis sub AB , BD comprehensis per 7. si utrique summae addatur quadratum perpendicularis CD , manifestum est, quadratum AB, una cum duobus quadratis CD, BD , sive per ψ . r. J una cum quadrato CB, aeqtia te esse duobus quadratis AD, CD, sive per '. r. quadrato AC, & duobus rectangulis sub ΛΒ, DB. Ex quo concluditur, quadratum I ateris AC, una cuindu buS

94쪽

hus rectangitiis stib tota AB, ct partu BD comprehensis, aequale esse duobus quadratis laterum ΛΒ , BCς quod demonstraNdum susceperamus.. SCHOLIUM . i, Uti mag s perspicua sit demonstratio ἡ deseribatur si per latus AB quadratum ΑΕ , uti fiaque diagonali BF , producatur perpendicularis CI in Κ purpunctum H ducatur reeta GI ipsi DK perpendicula

Mani se thum est igitur, quadratum lineae ΑΒ , nimi tuis ΑΕ, unal cum quadrato partis DB o sui licet B H , aequale esse cper T. 3 quadrato alternis patris AD, videlicet GK , R duobus rectangulis si iis ΑΒ , DB

comprehensis, nimirum ΑΙ, ΒΚ . Quod si utrique summae aequali addatur quadratum perpendicularis CD, iam quadratum AB, cum duobus quadratis CD, DB, seu cum solo quadrato CA , est aeq tale duobus quadratis AD, CD, seu sisti quadrato AC , una cum duobus rectangulis AI, ΒΚ , sub ΑΒ , DB comprensis; quod demousirare oportebat.

D Ato rectilineo aequale quadratum descri

bere a Ut describatur quadratum aequale rectilineo I datocinia. 33. tub. a. parallelogrammum rectangulum

ipsi aequale prius describi oportet sper s. i. J Sit igitur rectangulum sub AB, BE , aequale rectilineo I; ut ipsi aequale constituatur quadratum , dividatur tota ΑΕbitariam in C , tum a puncto C, intervallo vero CA

95쪽

t 86 describatur semicirculus ADSis deniqu8 a puncto: B eκcitetur Perpendicularis BD, quae erit latus quadrati aequalis rectangulo sub AB, BE.

inaequaliter in B , rectangulum sub partibus. inaequa libus ΑΒ, ΒΕ, una cum quadrato partis interceptae CB, aequale est sper s. quadrato dimidiae CΛ , vel CD, sive per 47. i.) duobus quadratis CB , BD; quare s ab utraque summ3 aequali auferas commune quadratum CB, remanebit quadratum BD aequale . rectangulo sub AB, BE comprehenso g quois sacere,oe ostendere oportebat Π I. ii . ' i

96쪽

LIBER TERTIUS

l Igum planatomulum persectissimae,circuli nempe, naturam,& proprietateS in hoc Liahro explicat Euclidea, tum ex lineis , quae vel intra circulum, vel exira ad ejus stiperinficiem a quovis puncta duci possunt; tam ex diqersis, qui in Urςulo constitui possiιnt , angulis , I M dς'ique ςx mytuo , sive rectae sinuar, sive uni ui circuli cμm alterius circumis serentia, contactu , Hinc erui posivit remiae pr9 in strumentis, quibus mechanica utitur, consciendis, iis praesertim, quae Astronomiae, & Opticae inservire solent , .pria quibuS circulorum notitia est imprimis. ω-

t , , i DEFINITIONES.'

I. INH. aequases sunt , quorum . diametri , vel semidiametri stini aequaleSisi . '- ῆ II. circulum cavero dicitur , quae in , cireulum M .incidit, ut producta lysum non secet. ut e CB sfig. I 8. tab. 3. . III. Circuli sese tangenter dieuntur, qui sibi occurrentes non sese intersecantia Dupliciter autem duaeirculi sese tangere possunt; Nimirum , vel quum alter

extra alterum posisus es ; ut duo a BC, DBE s fit.

97쪽

M. tab. 3. vel quum alter intra alterum queet et tite TNE , C fig. 6. lah. 3. θ -' . . IV. rectae liveae aequaliter a eretro dissare dicuntur , quum perpondiculares a circuli centro ad casd ustae sunt aequales . Hinc duae lineae AB, CD

V. Segmentum circuli est pars circuli a rectata eliculum 1 ante , S circumferentiae parte circii mscripta ; ut ADβ , ve N fg. i. rab. 3. Si seruus sit diameter circuli, aet CD sig. 3. tab. 3. 9 duo cire ii segmenta eruot'aequalia , eaque semicirculi voca ri Ble t . VI. Angulus figmenti est mixtus angulus , qui sub recta circulum iecante, & ipsa circuli circumterentia continetur ; ut eis E , vel ABN c fig. i. tab. 3.9VII. Angulus in figmento , seu in circuli se Bione , est angulus sub duabus rectis a quovis pun

cho arcus ad duo extrema lineae circulum secantis du

clis, comprehensus . GManisestum est, angulum N s.fig. a J. tab. 3. esse in Amento , quoniam duae DBeae D , DB , quibus coutinetur, a puncto D asaeuo extrema is , ct B serauris aχω duciae Ont. Hic angulus dicitur etiam arcui insistens, seu arcui innise

VIII. SFmilia circuli figmenta sunt, quae aequales angulos suscipiunt. IX. Sector circuli est portio circuli a duobus semidiametris, non in directum jacentibus , ct inter oepta ab H hircumferentia , ctrcumscripta . Sic por rio eireun a BF r, vel a L HS C c fig. 3. ab. 3. sector circuli nominiatu . . iX. 'Suadrilaterum eir usi in riptum dicitur , cujus anguT omnes circuli peripheriam tangunt, W Ag. ets. tab: 3. in .

98쪽

Ducatur recta quaequumque As Ila. . tab. 3. eaque secetur hilariam in C ; Um per punctum C ducatur resta DE perpendicularis eidem fili, deniqudi secetur item hi fariam recta DE in Puncta F , quod erit centrum . quod inquiritur. Id autem sit: osen datur, demonstrandum est, centrum irculi necussati Ponendum esse in perpendiculari Uti .

PRAEPARATI O--

In hypothesi , quod circuli AEBD centrum nons in perpendiculari DE, statuatur esse in quolibet puncto e tra ipsam , videlicet in G , a quo ducantur ad puncta, Λ, B, C tres rectae GA , GB, .

Quoniam duo triangula GAC , GBC habent et tus RG aequale lateri GBipera 3. AC Vero aequa te CB p eoor. CC denique est utrique commune , ea sunt aequalia c per 8. i. proindeque angulus SCA aequalis erit angulo GCB , atque dςo THi l per i 3. t. Ex quo sequitur , lineam GC debere Cum perpendiculari DE convenire per def. io. i. J aod Deor , O demo serare opm ero . . A ....

99쪽

Aa , per ea ducta. necessksju,

est intra circuluN . - Π- T. . ἀDico, si pqr puncta A, & B A. adiscatur recta AD , hanc esse totain latili circulum.

Manifestum est, in triangulo isoscelio CAB duos angulos Α , & B esse requales c per s. l. moniam, autem ane dux CDB externus eli comparate altriam,tulum kCD, est maior per i 6. r. interiore posito A, vel B Ipsi aequali . Ergo larus CB vx i maius est latere CD , proindeque punctum D proprius erit centro , quam Α , Vel 1 ex quo infertur, illud esse intra circulum; quod erat ostendendum.

100쪽

N non 'per cent tu nωuctam , diffariam ctat . divisio erit ad angulos re M. Si vero dividat ad angulos rectos eam bifariam divis

N, Dico, . I. si di a ter

FΕΑ, FEB erunt aequales, & proinde recti l pe= r

AE, EB aequales; quod ostendendum supererat. Conversa oujus propositionis aeque vera es. π mrum ,si divisio non sit ad angulos rectos, tinea nou e= ιt