장음표시 사용
121쪽
F ac propositione mi Possumus , ut con siciamus angulum duplum alterius dati . Sit enim datus angulus BEF sse. 2 a. rab. 3.) ut angulus ipsius duplus constituatur, sumatur sit per altero ex ejus lateribus sputa BE, punctum aliquod, ut Α, a quo ad intervallum ΑΕ ducatur semicircuius EFD, qui secet aliud latus FE in aliquo puncto, ut in F; duciaqua a centro A ad punctum F recta AC, fiet angulus B AF duplus anguli dati BEF. . .
Oui in eodem circuli segmento fiant angu
li,omnes sunt aequales, sive sint in segmento maiore, sive minore, quam semicirculus . Dico l. angulos ADB, ACB l M.. 23. rab. 3. qui sunt in eodem segmento ADCB maiore , quam semicirculus, esse aequales. DEMONSTRATI o. .
Ductis a centro E duobus radiis ΕΑ, ΕΒ, manifestum est sper sto. utrumque angulum C , & Desse dimidium anguli AFB; proindeque eos esse aequinles; quod primum erat ostendendum. Dico a. duos angulos ADB, ACB c. h. 24. ωλα. qui sunt i R eodum segmento ADCB minore , , quam semicirculus, esse item aequales.
122쪽
Quoniam angulus DEC est extemus comparate ad triangulum ΛED , est aequalis c per 3 a i. j duo hus interioribus oppositis E AD , EDA ; itemque quoniam angulus AE B est externus comparate ad tri angulum BCE, est aequalis per Ia. r. duobus internis oppositis ΕBC, ECB. Atqui duo anguli ΑΕΒ, CED ad verticem oppositi sunt aequales per I S. I. ergo etiam summa duorum angulorum E AD , EDA aequalis erit summae duorum EBC, ECB. Itaque subinlatis ab utraque summa duobus angulis CAD , CBD, qui sunt aequales per superiorem demonstrationem i sunt enim in eodem segmento DABC majore quam semicirculus ) reliquus angulus ADB aequalis erit rem liquo ACB ; quod demonstraπdum supererat.
ANguli oppositi quadrilateri circulo inscripti
sunt simul aequales duobus angulis rectis. Dico , duos angulos BAD , BCD A. et s. tab. 3. qaadrilateri ABCD circulo inscripti, esse simul aequales duobus rectis angulis. DEMONSTRATIO. Ductis diagonalibus AC , BD , manifestum est
pis Eo. ὲ angulum BDC aequalem esse angulo BAC, qui eidem arcui BC insistit ἔ rursus angulum DBC aequalem esse angulo DAC ob eandem rationem . Quare totus angulus BAD aequalis est summae duo- eum CDB , CBD . Addito igitur utrique parti corn-
123쪽
muni angulo BOI , evidens est, duos angulos oppositos BΛD, BCD esse aequales tribus angulis CDB, CBD, BCD, nimirum c per 33. I. θ duobus rectis a quod osendeudum fusi peramus .
ΤΗΕΟREMA XXI. Duo similia circuli segmenta super eamderni ectam lineam desicripta sunt inter se
aequalia. Dico, si duo segmenta ACB, ADB crig. 26. tab. 3. super eandem rectam AB deseripta similia sint, esse inter se aequalia . Segmenta similia sunt , quae aequales angulos suscipiunt sper des 8. PR PARATIO. Statuatur segmentum ADB super segmentum ACB,
eonvertendo illud per cogitationem circa cram munem hasim AB; quo facto evidens est, ista duo segmenta inter se convenire. In hypothesi tamen , quod non .eonveniant, & segmentum ADB cadat ultra punctum C in E , producatur recta AC in E , jungaturque recta BL.
Quoniam segmentum ΑΕΒ aequale est; segmento ADB , quod est similo segmento ΛCB ex Θp. angulus AEB aequalis est angulo ADB per def. s. & pro- Inde etiam angulo ACB. Atqui id absurdum est speri 6. I. anguluS enim ACB , quum sit externus comparate ad triangulum CBE, major est angulo sibi oppo
124쪽
eongruere debet , Droi inlaque est ipsi αquale ς νωσ
σpe Uretium erat 'demonsis are . . . . . . . v
Duo similia circuli segmenta super aequalibus lineis descripta sunt inter se aequa
DAta circuli sectione . centrum circuli
invenire. Ut inveniatur centrum circuli , cuius segmentum Est ABC A. et . 'rab. 3.) sumantur ad libitum tria Puncta in periseria ABC , ut A, B, C, jungantur que rectae ΑΒ, BC; quibus hilariam divitis in D, ocE, excitentur binae perpendiculares EF , DF , quae sibi occurrentes dabunt puninun F 3 quod erit centrum , de quo est quaestio. DEMONSTRATIO. '
MQuoniam ι per 3. centrum circuli est in utraque Perpendiculari DF, EF, nequit esse nisi in puncto, in quo sese intersecant; ex quo confim tur , centrum: circuli ABC esse punctum Fa et M quum sacere, tum aemon rore oportebat. P a
125쪽
lantis vitreae , qui in ceviro ejus couvexitatis , vel eoncavitatis positus f., si ιμι si uiroque parte eou-
IN aequalibus circulis aequales anguli, sivς ad
centrum, siUe ad circumferentiam, aequalibus arcubus innituntur ... . ε - .
Dico i. si duo anguli ad centrum C, & G lG. 28. tab. g. qui sunt in circulis aequalibus ADBI , FH FK, fiat aequales 3, duos arcus Ain , E F, quibus innituntur, esse item aequalest. DEMONSTRATIO.' Quoniam duo latera C A , CB trianguli ACB aequalia sunt duobus lateribus GE , GF trianguli Eo F, & angulus comprehensus C aequalis est angulo Gitem comprehenso i ex hypotb. haee duo triangula is sunt aequalia i per Α. I. ': basis AB aequalis has EF; proindeque etiam arcus AIB aequalis arcui EΚps per et . quod primum osendere oportebat. Dico a. si duo anguli ad circumferentiam D, &H sint aequales, etiam arcus ΑΙΒ , ΕΚ F aequales esse. Id autem evidens est; nam uterque angulus est di midius anguli ad centrum s per zo. i. quod demo fracdum supererat.
Hinc manifestum est, aequales angulos In eodem
126쪽
IIT eireuIo . sive ad centrum , sue ad cireumferentiam , aequalibus arcubus esse innixos.
THEO REM A XXIV. ANguli ad centrum vel ad circumserenistiam , fiant aequales, si aequalibus arcu
bus innitantur. Haec propositio , quae est conversa praecedentis, per se ipsa evidens e ih , ut colligitur ex iis, quae ad notavimus ad Propositionem XIII Libri Ι. nimirum, angulorum mensuram esse arcus, quibus innituntur, quare si duo arcus ΑΙΗ, ΕΚ F A. 28. tab. 3. sint aequales c ex byp. anguli etiam C, & Gerunt aequa les, non minus ac D, S H, qui sunt eoru in dimidii.
THEO REM A XXV. LIneae aequales in aequalibus circulis aequa
libus arcubus subtenduntur . Haec proposito evidens est. Si eiarm In duobi a circulis aequalibus ABD, E FH g. 28. tab. I.) duarrectae AB , EF snt aequales , dito anguli C , Gerunt aequales, ob duo triangula aequalia ABC, EFGt per 8. l. quare etiam duo arcus ΑΙΒ , ΕΚF erunt aequales c per 26. quod osendere oportebat.
127쪽
IN circulis aequalibus arcus aequales ab aequalibus lineis subtenduntur.
. Haec item propositio , quae est conversa praeerdentis, evidens eli ἔ Nam si duo arcus AIΗ , ΕΚΗtrig. 23. tab. 3..ὶ sunt aequales, duo anguli C , Ac Gerunt aequales per 27. ct proinde duo tralanguli . ABC, EFG , aequalia cper ς. i. J atque adeo hases quoque ΛΒ, EF δ quod ostendere oportebat.
D Ati circuli arcum bisariam secare.
Sit arcus 29. tab 3. quem bisariam . dividere oportet. Jungantur itaque ejus extrema Λ, R C per rectam AC, eaque bifariam secta in D, excitetur a puncto D perpendiculariS DB , quae arcussidatum hilariam secabit in B.
esse aequales ob duo triangula aequalia BDR , BDC;Qgare etiam duo arcus , quibus eae. subtenduntur, serunt aequales c per ab. θ quod tum sacere , tum de moIsrare oportebat. Haec propositio utilis est ad dimisionem circuli in . 32 partes aequaler, juxta ventorum narimerum, qui imacti nautica desigπari solent. Ea etiam aliqua Ium i a
128쪽
-sare potes ad secandum circulum in suas 36o partes , licet fila Nou sussciat, ut id geometricia methodo Gat ; quod ira caussu es, cur problema ejusmodi
inter problemata solida referatur, quae nimiram ope fectionum conicarum reflvuutur . Siquidem dividendus es aurulus tu tres ad mluas partes aequales, quod sane linearum rectarum, ta' circulorum ope duutaxat , quibus utimur in problematis planis , per i nequit. graechanicam circulum ita quot libuerit partes di- .idendi ratioueis praebet Aprumcutum illud , quod Circinas proportionis dicitur , de quo luserius .
THEO REM Λ XXVII. IN omni circulo anguli, qai fiunt in femicuiaculo, sunt recti; qui in lagmento majore, acuti; qui denique in segmento minore , ob
Dico I. angulum ABC trix. So. tab. 3. 4 qui fit in semicirculo ΛΕDC, est e rectum. DEMONSΤRATI G. Ducto radio BE, manifestum est ister s. r. In is triangulo isoscelio ABE angulum EB A aequalem esi eangulo EAB . Similiter in triangulo isoscelici BCE angulum EBC aequalem esse angulo ECB , Oh- eandem rationem . Ex quo sequitur , totum angulum ABC aequalem esse duobus angulis BAC , BCΛ simul sumtis videlicet s per 3 a. r.) angulo exteriori ABF; id quod ostendit, duos angulos ABC , ABF esse rectos s per I g. r. quod primum Mendere oportebat. . Dico a. angulum Α, qui fit in segmento maiore
129쪽
C AB, vel angulum BCA, qui sit In segmento ΑCDA,
Quoialam in triangulo ABC angulus B rectim est, per superiorem demoni rationem , reliqui duo A , ScC erunt acuti sper 3 a. r. quod a erat ostendendum .. Dico 3. angulum D, qui fit in segmento min te BDC esse obtusum. DEMONSTRATIO. Quoniam duo anguli oppositi Α , & D quadrilat ri ΑΒ DC sunt aequales duobus reetis per a a. Rangulus A est acutus, alter, nimirum D, erit Ohtu sus ; quod ostendedidum supererat. COROLLARIUM. omnes anguli, qui in eodem segmento fiunt, aequales sunt.
THEOREM A XXVIII. SΙ recta linea circulum tangat, alia vero a puncto conlaetus ducta circulum Rcet , angulus, qui ab utraque fit, aequalis erit angulo, qui fit in stgmento alterno.
Segmentum alternum dicitur, quod ex altera parteiaeet ab angulo, qui sis a secante, una eum taneeutre in puxeto contactus. EX. g. IVmeat-- ng.
130쪽
3 i. tah. 3. es a terream compa 'ate ad areiasis Bis Darumentum vero AEu es item alternum comparate ad angulum CisD. Hir praemusr . si Dico I. angulum CAD , qui fit a tangente BC, una cum secante AD ,. in puncto contactus. Α, aequa lem esse angula E, qui fit in sesmento alterno REP.
Ducta diametro AE , manssestum est ,. angulum , ADE trianguli AED re tum esse per 3 r. proindeque rem liquos duos DΕΑ,DAE esse simul aequales uni recto per 32. . in atque adeo tori angulo CAE, qui reetus est L perre. Sublato igitur communi angulo DAE , reliquus CAD aequalis erit reliquo DEΛ; quod primum seudereta,
oportebat . 'Dico a. angulum BAD aequalem osse angulo. qui fit in segmqnto alterno ΑFD.
Quon Iam In quadrilatera ApDE duo anguli o positi E, & F sunt simul aequales duobus reῖiis spera a. in non secus, ac duo D AB, DAC sper i 3. I. sublato angulo DAC aequali angulo Ε, per superiorem demonstrationem ς reliquus DAB stqualis erie reliquo angulo .F , quod oseΠde dum svexera . . ἡ.
Si recta circulum secans esset diameter ΑΕ , haesseste tangenti BC ad angulos re hos: insisteret fer r . qui proinde angulis, qui fierent in semicirculis , aequε