장음표시 사용
131쪽
Super datam rectam lineam circuli segmen
tum destribere capiens angulum aequalem angulo dato T 1 . Evidens est, quod si datus angulus rectus sit, sussicit super datam rectam semicirculum describere. auod si datus angulus ΛΒc M.t 82-tab. q. mini, me rectus sit, exciretur a pundio B reota BD perpendicularis reεt : BCs deinde iri puncto A fiat angulus E AB aequalis angulo LBA , per rectam AE , quae erit aequalis reciae EB per 6. denique a pundio Ε , intervallo vero EB , describatur arciis ADB , qui capax erit anguli ADB aequalis angulo ABC dato. DEM 6 NςTRAT io . . li I
Quoniam linea BC perpendicularis est diametro DB sper conser. tangit circulum in puncto B L pra i d.)quare angulus D , qui si in segment' 'lterno Am , ae ilialis qrit angulo MC, qui fit a sangente CB, una eum secante ΑΒ sper 32.ὶ quo rum facera , tum δε- monserare oporteba .
A Dato circulo segmentum abstindere cast
piens angulum aequalem angulo dato. Manifestum est sper 31. quod si datus angulus si rectus , sussicit, ut in dato circulo diameter quae
132쪽
quumque ducam', quae se cἰfculIitar dabit capacem anguli recti. Quod si datus angulus minime rectus sit , ducatur c per i . Per pundium Λ ad tibistin lunatum in peripheria ADE c A. ῖ3. tab. 3 9 tangens BC, S in eodem puncto fiat angulus aequalis angulo dato, eX. g. aHgulus DAC, Per rectam AD, quae dabit segmentum AED capax anguli aequalis anguinio i AC per 3 a. proindeque etiam angulo dato;quod facere, O demo irare oportebat.
SI binae rectae in circulo sese inter secent , rectangulum sitb duabus partibus unius comprehennam aequale erit rectangula sub alterius Partibus complehen Q.
Duae rectae diversimode pos ara in rimulo sese imtersereare Vel ea imIese is c Iro intersecaut, quo cara manifestam es, duo rectangula sub earum fermotis comprehensa esse totidem qu*draco ejusdem ruit ,
'xuod si eae liveae extra eeur m Iese interseceut. tune viet altera per ceutrum yransiens alteram Ieeat M.fariam , ct proinde ad ovulor rectos per s. eadem per centrum trans Πι Giseram miuime bifariam secac I deuique ambae extra ceAtram fessio vita sita ut . D . omnibus bis casibus rectangulum sub purnaibai suius aequasi aest re a gulo sub parsibus ii uis
. - Dico I. si recta AB ing. r. b. . per centrum F transiens rectam CD in eodem circulo exi stentem bifariam secet, reeianstulum subi AE , E B aequalet rectangulo sub partibus aequalibus ED, EC, nimirum quadaato dimidiae CE . Q. a DEA
133쪽
Quoniam linea ΑΒ divisa est hilariam In F , Sein duas partes inaequales in E , reeiangulum sub AE, EB, una cum quadrato partis interceptae FE , aequa te est quadrato dimidia: FA, vel FC l per s. a. sives per ψ7. 1 . duobus quadratis EF , EC. Quare si
utrinque auferas commune quadratum EF, reliquum rectatagulum AE, EB aequale erit reliquo quadrato EC ; quod primum ostendere oportebat. Dico a. si linea AB sM. a. tab. q. in per centrum F transiens secet alteram CD oblique in E , rectan
gulum sub partibus ΑΕ , EB aequale esse rectangulo sub partibus CE, ED.
Diieta a centro F perpendiculari FG , quae rectam CD hilariam dividet in G per 3. 3 luctoque radio CF, manifestum est, i per s. a. rectangulum sub partibus CE, DE, una cum quadrato partis in termediae EG, aequale esse quadrato dimidiae CG. Quocirca addito utrique parti quadrato perpendicula. τis FG , evidens est, rectangulum sub CE, ED, una cum duobus quadratis CE , GF , sive s per ψ . X. . cum solo quadrato EF, aequale esse duobus quadratis GC, GF, sive per ψ . r. 9 soli quadrato CF , Vel AF , sive sper s. a. rectangulo sub AE , EB , Una cum quadrato partis interceptae FE ; quare si utrinque auferatur commune quadratum EF , reliquum restangulum sub CE, ED aequale erit reliquo sub AE , EB; quod a. erat ostendendum. Dico 3. si duae lineae CD , HI extra centrum existentes sese intersecent, rectangulum sub CE, EDaequale esse rectangulo sub HE, EI.
134쪽
Ducta per punctum intersectionis E recta AB, quae per centrum transeat, manifestum est per superiorem demostrationem , rectangulum sub AE , EB aequale esse rectangulo sub CE , ED,perinde , ac rediangulo sub HE, EI seorsum sumtis; quod in caust aest , cur rediangulum CE, ED aequale sit reotangulo HE, EI ; quis demou audum Dyer erat.
THEO REM A XXX. SI a puncto aliquo extra circuIum sim fobinae rectae ad circuli peripheriam ducantur , quarum altera circulum tangat , alte cavero cum dem circulum secet, sive per centrum transiens, sive non, quadratum tangentis aequale erit rectangulo, quod fit sub tota secante, di ea parte, quae extra circulum jacet.
Dico I. si secans AB ing. 3. tab. q. . per Centrum D transeat, quadratum tangentis AE aequale e rectannulo sub tota ΛΒ , S parte exteriore AC .
Ducto radio DE, manifestum est spis r 8. trimingulum ADB esse rectangulum in E ς & per 6. a. brectangulum sub ΑΒ , AC, una cum quadrato CD, aequale esse quadrato AD, sive per q7. r. duobus quadratis AE, DE, vel CD. Quare demto Communi quadrato CD, vel DE, reliquum quadratum AE aequase erit rectangulo sub ΛΒ, AC; quod primu oris, ostendere oportebat. Dis
135쪽
I 26 Dico 2. quadratum tangentis AE A. 4. tab. q. atq; ale e se rectangulo sub tota secante ΑΒ, quae per centrum non transit, ct parte exteriore AC. P RAEΡ Α RATIO. Dueto radio DL, qui tangenti A E erit ad angulos reetos sper ιου. in ducatur radius itum DC ; S a centro D ad lineam AB ducatur perpendicularis DG , quod partem BC dividet bifariam in G per 3. ; denique jungatur redia AD . DEMONSTRATIO. Quoniam rectangulum sub tota AB, S parte AC, una cum quadrato CG , aequale est quadrato AG per 6. a. θ addito utrique parti quadrato Perpendicularis DC , manifestum est , rectangulum sub ΑΒ, AC , una cum duobus quadratis CG , DG , sive sperψ . t A cum solo quadrato DC , aut DE , aequale esse duobus quadratis AG , DG , sive t per i. sbir quadrato AD, sive etiam, per Α7. I. duobus quadratis AE , DE . Sublato igitur utrinque communi quadrato DE , Vel DC, reliquum rectangulum sub ΑΒ, AC aequale erit quadrato tangentis ΑΕ a quod reliquum erat ostiudere.
Si ab eodem puncto A duae rectae circulum secantes AB AH ducantur, rectangulum sub ΛΒ, AC aequale erit rectangulo sub AH, AI; utrumque enim seorsum aequale eit quadrato tangentis ΑΕ.
Si ab eodem pim 'o A binae latantes AE , AF
136쪽
Ia ducantur, eae erunt inter se aequales , quoniam utriusque quadratum seorsum aequale erit rectangulo sub tota secante ΑΒ , & parte AC.
THEO REM A XXXI. SI rectangulum sub recta circulum secante, δέ ejus exteriore parte , aequale sit qua 'orato alterius lineae, quae in circuli circumsesentiam incidat, haec circulum minime secabit.
Dico , si rectangulum sub tota secante AB , Sparte exteriore AC c IV. q. tab. ψ. aequale sit quadrato ructae ΑΕ in peripheriam circuli incidentis; hanc circulum tangere in puncto E.
pR AE pΛRΑ ΤΙΟ. Iuncta recta AD , & ab eodem puncto alia tangente AF , ducantur duo radii DE , DF . DEMONSTR ΛΤΙΟ. Manifestum est, quadratum tangentis AF per 36. aequale esse rectangulo sub ΑΒ , AC. Quoniam igitur quadratum AE aequale est eidem rectangulo ex Θp. sequitur, binas rectas AE , AF esse inter se aequales , ct proinde angulum AED aequalem esse angulo AFDs per s. i. o qui quum sit rectus sper Ib. angulus quoque AED erit rectus ;& t per i 6. recta AE erit tangens circulum; quod demonserandum eras.. Finis Ubi i Tertii.
137쪽
X plicatis praecipuis circuli proprietatibus , nonnulla problemata hoc quarto libro Euclides proponit, de figurix rectilineis regula ribus circulo inscrthendis , vel circumscribendis; quorum ullis maximus est, tum in arectum munitarum, & propugnaculorum coni ructione; tum in Trigonometria ad supputationem tabulae sinuum, & tangentium ; tum denique in Geometria ad quadraturam circuli, ut suo loco videbimus.
C dicitur, quum vertex cujuslibet anguli uniuS latera alterius contingit. Sic quadratum EFGH fig. s. ta b. q. 'incitur esse inscriptum quadrato ABCD. ΙΙ. Figura reeti linea alteri figurae item rectilineae circumscripta dicitur, quum singula unius latera tran seunt per omnes Vertices angulorum alterius. Ruocirca quaadratum ABCD fig. s. tab. .ὶ circumscriptum erit quadrato EFGH. III. Figura rectilinea circulo inscripta ea est, cujus anguli omnes circuli circumserentiam contin
138쪽
I 26Ιv. . sigura rectilinoa circii tot c1rcumscηpta est, euius singula latera circuli circumferentiam tangunt. Sic triangata, IKL t sig. 8. tab. . ὶ 'circulo 'DEFcircumscriptum dicitur. V. Circulus figurae rectilineae inscriptus est, esse jus circumserentia singula figurae rectilineae latera con
tus triangulo IKL, cujus latera tangit in punctis D, E, HVΙ. Circulus figurae rectilineae uircumscrIptus est,' cujus circumferentia per singulos angulorum figura vertices transit. Hinc circulus' DGH fg. 7. tab. 4. triangulo HDG circumscriptus dicitar. r VII. Linea circulo applicata est, cuius extrema ad circuli peripheriam desinunt; ut AE t fig. 6. tab. . JVIII. Figura regularis dicitur, quae S aequi latera est , Sc aequiangula.
DAto circulo rectam lineam applicare . quati
diametrum non excedat. Ut applicetur circulo ΑECB A. 6. tab. 4. recta non major diametro AB is euim maior e et, circu Io neutiquam unicari posset, qμμm di imeder seu maxima linearum, qua tu circ is duci pos ut, ut ostensames prop. ε s. 3.ὼ si ea diametro mualis sit, satis erit rectam ΑΒ per centrum circuli ducere. Si vero sit minor diametro , sumta in ipsa diametro portione inlini li rectae circulo applicandae, V. . g. BO,. dqcalii r an extremo B, intervallo vero BD, circulus CDF itum ab intersectionis puncto C, vel F ducatur recta CR, quae erit aequalis parti BD δ' Proinde etiam rectae , uvam circulo aptare oporrebat,
139쪽
Ato circulo triangulum inscribere aequb angulum alteri dato .
Sit datum triangulum ABC s A. 7. tab. 4. ut dato circulo DGH interibatur aliud triangulum habens. singulos angulos singulis alterius dati aequales, diaca tur Adb libitum tangens EF, fiatque in puncto coma dius o ex altera parte quidem angulus FDH aequali angulo Λ, per rectam DR; ex altera .vero anguluSEDG aequalis angulo B pur rectam GD . Denique. jungatur recta GH. l. . ,
DAto circulo triangulum circumstitere
aea uiangulum alteri dato. Ut dato circulo EFD Ag. 8. rab. 3 4 circum scribatur triangulum aequiangulum dato triangulo ABC, ducatur r diua quiquumque OD-, & Pr. 'πε--
140쪽
Q sum radio OD ex unas parte angulusἰ D aequalis angulo exteriori CBH , per radium OE; ex altera vero per radium OF angulus D OF aequalis alteri angulo exteriori CAG; denique per tria puncta DAE,F dii cantur tres tangentes IK, KL, I.I , quae triangulum IKL conitituent diquiangulii na/trianguloe ABC. DEMONSTRATIO. .
i Quoniam tria latera trianguli IKL circulum D tangunt per confirἰj jam manuestum ei psum esse circulo circumscriptum sper ' θQHa8 3. gulos , qui fiunt in punctis D E , Fesse nectos . Et quoniam cper Sa. I. quatuor anguli trapegit KDO Ei sunt simul aequales quatuor rectis, sublatis duobus E, & D , qui simi recti , reliqui DoE , D erunt' simul aequales duobus rectis, proindeqoc duobiis H, CBA per i D r sublatis igitur duobus angulis aequalibus sper est Zr.3 cBAd DOLI thisi de angulus Κaequalis erit reliquo CBA. Eadem ratiune demonstrari potest , angulum Iaequalem esse angulo CAB ; ex quo concluditur per ga. I. a triangulum JKL. uiangylum esse trian uri