장음표시 사용
151쪽
intersectionis D dueantur ad trIa trianguli latera tres irectae perpendiculares DE , DF, DC, quae erunt inter se aequales; proindeque a puncto D, intervallo vero DE, ducta circuli peripheria per puncta F,& G tra sibit . ἱi
Quoniam duo anguli DEA , DFA sunt aequales c per eoosr. S recta AD secat hilariam angulum A, duo triangula ADE , ADF erunt aequalia cyre 26. I. proindequa latus DB aequalis erit .lateri DF . Eodem modo ostendi potest, latus DG aequale esse lateri DF. . Quare si a puncto D, intervallo Vero DE, ducatur circulus , hic per puncta F, & G transibiis atque ob angulos rectos, qui fiunt in Punctis E, F, G, erit triangulo ABC inscriptus sper 16. 3. qαοι facere, ct demon
DA o triangulo circulum circv msicribere
Secentur bifariam duo latera quaequumque triano ωuli ABC trig. m. tob. . , Videlicet ΑΒ , AC in xunctis m&E, ex quibus excitentur binae retiae perpendiculares DF, Eue; punctum autem F erit centrum circuli, qui inq'iritur si enim ducamur tres lineae FΑ , FB , FC , hae erunι Rquales . ..
Quoniam duo triangula rectangula ADF , BD sum aequalia i per 4. a. b ob latus AD aequale lateri DB
152쪽
per eoostr. & latus DF commune, reliqua duo la tera FB, FΛ erunt aequalia . Eadem ratione demonstrari potest, duas lineas FA , FC esse aequales. Quamobrem a puncto F descriptus circulus, ad intervallum Α, transibit per reliqua duo pia nota B,& C, eritque idcirco triangulo Λ BC circumicriptus; quod operdepretium erat facere, O demonstrare.
Huius problematis solutio in triangulo oxygonio facta est; ea tamen triangulo ambivganio perinde a P plicari potest a in quo tamen perpendiculares duo latera trianguli bifariam dividentes extra triangulum sibi mutuo occurrent ἔ proindeque centrum circuli triangulo amblygonio BCD cAg. 3o. tab. 7. circum scripti extra ipsum triangulum positum crit sevide prop'31. I. in ob eandem rationem centrum circuli triangu lo rectangulo ABC circumscripti erit in hypotenula A bifariam divisa .
D Mo cireulo quadratum uascribere
Dueta per centrum E dati circuli ABCD .rci. rab. 4.3 quavis diametro AC , ducatur alia diameter BD eidem AC perpendicularis , junganturque rectar AB, BC , CD, DA, quae quadratum ABCD consti '
' DEMONSTRATIO Quatuor anguli quadrilateri ABCD sunt recti
153쪽
Insuper quatuor latera AB, BC, CD, DA, sunt aequalia, sint enim bases totidem triangulorum rem gulorum aequalium t per 4. 1. Igitur figura ABC e: quadratum circulo inscriptum , quod facere , O de- moi rare oportebat.
D Ato circulo quadratum circumscribere
Ducantur per centrum I dati circuli EFGH l. P. ra. - ., binae diametri EG , FH sibi mutuo ad rectos angulos insistentes. Tum per quatuor puncta E, F, G, H ducantur quatuor reciae AB, BC, CD, DR circulum tangentes, quae quadratum ABCD constituent dato circulo circumscriptum.
Evidens est, figuram ABCD esse circulo EFGMeircumscriptam, quoniam singula eius latera circuminferentiam tangunt per co08r. Itidem manifestum est, eamdem esse quadratum, ob angulos rectos , qui fiunt in punctis E, F, G, H, sper I 8. 3. tum ob angulos item rectos, qui fiunt in I l per confr.) atque adeo ob quatuor quadrata aequalia ΛI, BI, CI, DI, qyae Figuram ABCD constituunt; quod faciendam, oe de mons raudum susceperamus. . i ta . . t . UPRoa
154쪽
Divisis bifariam quatuor lateribus dati quadrati ABCD crim i a. tab. 4. in punctis E , F, H ,
jungantur duae rectae EG, FH sese mutuo interse an tes in I, quae erunt Oppositis quadrati lateribus parat tela: ister a d. l. oh angulos rectos, qui fiunt in pu γ, H , proindeque binos, & binos aequales duobus. rediis . Punctum igitur Ι erit centrum circulι, qui inquiritur.
n . . . DEMONSTRAH o. Mani testum est sper i. duo latera HI , EI quadrilateri AI elia aequalia duobus lateribus ΑΕ , AH; quae quum sint aequalia, sper confr. J jam figura A Ierit quadratum . Idipsum dic de reliquis etribus BI, CI, DI . Quare quadratum ABCD divisum erit it . quatuor quadrata, quae omnia erunt inter se aequalia ob latera ΑΕ, EB, BF, FC , CG , GD , DΗ , ΗΑ aequalia sper confri Ergo quatuor rectae IE,IF,IG, IH erunt pariter aequales, proindeque si per punctum I ducatur circulus ad intervallum IE , hic per puncta E, G, H transibit; quod facere, er demo Dare
155쪽
Ato quadrato circulum circumscribere Ducantur in dato quadrato ABCD c AN io. tιib. 4. duae diagonales AC , BD ; S planetum in tersectionis E erit centrum circuli, qui inquiritur. DE MONSTRATIO. Quoniam omnes anguli acuti quatuor trianguiniorum rectangulorum ΑΕΒ, BEC, CED, DEA suntiem ireeti e per ψ. proinde aequales inter se, non minus ac quatuor latera ΑΒ , BC , CD, DA ex hypoth. θ haec quatuor triangula erunt aequalia c per 26. I. θ proindeque eoruna latera ΕΑ, ΕΒ, EC, EDerunt pariter aequalia . Si igitur ducatur a puncto Ead intervallum EΑ circulus , hic per puncta B, C, D transibit; quod faciendum , O dem frandum suo
TR iangulum iso scelium describere , in quo
uterque angulus ad basim seorsum sumtus sit duplus anguli ad Uerticem .
Ducatur redia quaequumque ΑΒ sM. I 3. tab. 4. rtia ita dividatur in puncto D per II. 2. J ut qua ratum partis BD aequale si rectangulo sub tota AB, e . altera parte DA; descriptoque a puncto B, intera vallo
156쪽
vallo vero Α, arcu AC., applice ut ipsi per i. recta AC aequalis rect BD, denique iungatur recta BC; sicque triangulum ABC erit illud , quod inqui
Quoniam pii tum B est. centrum arcus AC , duo latera BA, BC erhnt aequalia cperax. 3. adeoque triangulum ASC erit isoscelium; ex quo sequitur, angulos A , S C esse aequales c per s. i. Reliquum est igitur, ut demonstremus, utrumque angulum A , &C seorsim, sumtum duplum esse anguli H ; id vero praestabimus , ducendo rediam CD , Si insuper petpuncta B, D, C circumferentiam CDS . t per s. Quoniam rectangulum sub tota AB , S parte RDaequale eth quadrato DB, vel AC per comir. linea ΑC tanget circulum CDB in pun to C per 37. I. Sc angulus ΑCD, qui fit a tangente AC , Si secante DC, aequalis erit angulo B, qui fit in segmento alterno per 32. 3. 3 Et quoniam angulus exterior ADC aequalis et per 3 a. r. duobus interioribus oppo iis DCB, DBC, sive duobus DCE , DCA, vulc licet toti angulo ACB , sive angulo A ipsi aestati s per eonser. sequitur per 6. r. lineam AC , aut BD aequalem esse lineae CD, & per s. i. angulum B, sue Λ CD aequalem esse angulo BCD , proindeque angulum ACB, sive angulum A , duplum esse anguli
B; quod erat faciendum, di demusrandum.
157쪽
PROBLEMA XI. i Ato circulo pentagonum regulare inscribere a Inscribatur per a. dato circulo ABCDE 4.)triangulum it Oscelium ABD, cujus D terque angulus ad has m seorsit ira su intus sit duplus tertii anguli, qui eli adverticem sper lo. J Quocirca angulus DAB , vel DBΑ , erit duplus anguli ADB. Divicantur item hilariania duo anguli DAB, DBA per rectas AC, BE . Deni, que iungantur puncta A, B, C, D, E pe r redias AB, BC, CD, UE, EA; quo facto figura ABCDE erit pentagonum regulare, videlicet aequi laterum , & aequiangu
Quoniam quinque anguli ADB, C AD, C AB, ΕΒΑ, EBD sunt singuli dimidia pars anguli D-B cper
eonfr. 9 erunt aequales , & arcus insuper ΑΒ, BC, CD, DE, EA, qui ipsis subtenduntur , erunt pariter a quales , cper 26.3. proindeque figura pentagona erit aequi latera , & iniis per aequiangula , Ram quum singulis arcubus aequalibus aequales lineae subtendantur, in aequalibus ejusdem circuli segmentis omnes sunt consti
158쪽
PROBLEMA XII. DiAto circulo i pentagonum regulare circum
scr ibere . . : Inscribatur per ra. J dato circulo ABCDE c A. Eso t- 4. pentagonum regulare AEDCB , & per quinque puncta A, B, C, D, E ducantur ipυ 17. S. quinque tangentes GH , Hl, lL , I K , EG , quae pentagonum, quod inquiritur, ulliciei .L. i .
DEMONSTRATI P. Ductis a centro F rectis FA , FG , FS , FH , FC.
mani se thum est, duo triangula FGA , FG B esse aequalia ζ' 8. i. ob radium FΑ aequalem radio FB, oh tangentem AG aequalem tangenti BG per 36. 3. atque Oh latuv commune FG ; quapropter duo anguli ad centrum GFΑ , GFB erunt item aequales , non secus , ac duo FGA, FGB . Eadem ratione ostendi tur,clutis angulos ad centrum H FB , HIZCesse intelse aequales, non minus, quam duo FHB, FH C; &quoniam totus angulus AFB aequalis eth toti angulo BFC per a7. 3. 9 nimirum Ob duos arcus aequales
erunt item aequales . Ex quo concluditur , qii altior
triangula A FG, BFG , BFH , CFH esse singula sbi
mutuo aequalia δ proindeque totum angulum BGA aequalem esse toti augulo ..HC , & latus AG ateri ΒΗ,& latus G B lateri H C. Id ipsum ostendes de reliquis lateribus, & angulis , duistis a centro F reelis lineis ad puncta I, D, L, E, Κ. Quare pentagonum GHII K circulo circumscriptu in crit aequi laterum, Scaequiangulum , id quod facere , demousirare oste; .e
159쪽
PROBLEMA XIII. ID Ato pentagono regulari circulums insci
Dividantur bisariam duo anguli qui quumque pentagoni GΗILΚ M. is rio. 4. Per. FG εFH - ounctum autem intersectioiais F erit centrum
directi, qui inquiritur; tu si ab co ducantur re nFΑ FB , FC 8rci perpendiculares later uS GE. , tari s HI hae omnes erunt inter se aequales. DEMONSTRATIO.
Quoniam angulus FGB aequalis cst angulo FGA, Se latus FG commune est duobus Tangulis BFG ,ΑFG , quae sunt rectangula in A , S B perc-sν. ahaec duo triangula erunt inter se aequalia stim ab. I. : proindeque perpendicularis P A IS erit perpensi culari FB. Eadem ratione demo nitrabas , halac ipsam vernendicularem FB aequalem esse perpendiculari FC,
uales . Quare a puncto F ad intervallum A ducta circuli peripheria, haec circulum pentagono inscrimum dabit a quod operorarium erat fucere, Ur demon-firare .s ira
160쪽
Secentur bifariami duo latera)quetequumque pen lagoni ABCDE s M. I s. tab. 4.j v. g. AB, BC i' punctis Μ, . R N ε 3 auibυιν-citentiir Perpendiam lares SM:m , quae sibi Occurrentes dabim L purim F , quod erit centrum circuli, qui inquiritur ; s enmia puncto, F ducta turi lingivosa , Ict ῆ C trest 'rectae, F B , FC , har singulae erunt sibi mutuo aequales.
iam . rectat Aruli aeqii aliu estis lineae BM porco D. J S latus FMesh commune mirique bir ngulo FMA, FMB, quae ambo sunt rectes nila: in M. . baeucrunt inter sie aequalia sper 4. I.)adeoque duae hy- Potenuis FAh erunt aequales citassem ratione d monstrahis FC rectam aequalem esse rectae FB; ex quis eonficitur, tret ethas: FA: FBo Ciesse singiuas aequa-ses linter se non secus , ac reliquas dura , quae tibi: Hdcm puncto F ad duos reliquos pentagoni angulos ditisci pos*nt . Quare a puncto Fi ad intervallum Friductus . ςirculup pentagona ABCDE circumscriptus
erit, quod Deioν is , dii demon audam suscepero
de applicari possisnt Id quod ini caussa dit . quamobrem Eu*lide; O circulis Polygono cuivis 4 useris