장음표시 사용
191쪽
δεψήμ. elevari intem iis ν ψ quantam alia udo e , si tineam signi eat, ut π. a distum es , extendirur. Haea autem dicitur potentia tertii gradus , sise tectia po
s. Ubi tres literae similes fiunt, ut aaa, hoe ge nas parallelepipedi cubus locatur, cujus omnes dimen Fones sunt aequales ; si enim multiplices a per a , pro ductum erit quadratam 4, quod exprimitur per aa I quod si Hem quadratum aa per suam radicem a, se per a denuo multiplices, productum dabit cubiam aaa, seu 3 , cujus radix cubica es a. . . i. 6. Si plures, quam tres literae simul multiplicentur , hae magnitudiuem exhibebunt nuribus , quam tribus dimensionibus contentum, quae fave magnitudosmagivaria es, sin quantitate continua vatur , quum nullum corpus fit, quod pluribus, quam tribus dimeυ- fvibur constet. Itaque se quatuor i literae, ut abcd,. hae dabunt quartam potentiam , atque ea magnitudo Plano planum vocabituri, quoniam , ex plavo ab perplauum cd multiplicato eo urgit. Si titerae omnes μmiles sint, ut aaaa , quadrato-quadratum appellabi ιur , cujus radix quadrat quadrata es a; etenim Arex quadrato aa per quadrasum aa multiplicato. Eu
uiam producitur per euodratum 4 per seipsum multi.
. Eandem ob rem aabb diei potest quadrato
quadratum, ob quadratum aa multiplicatum per qua dratum bb. x re 36 est numerus quadrat quadra , eus , t e im ex quadraro 9 multiplicato per ροψ
8. Ruae quisque dimensionibus constat maguitu do , ur aaaaa , supra- lidum dieitur, fi quinta P. . tentia appellatur , euius radix supra-solida erit a. Ita
ρ e si multiplices quadrar quadratum aaaa per suom diceta a, Me dabit supra-lalidum Maaa. Eoon
192쪽
de caussa 3 a numerar supra-solidus dies potest , quoniam sit ex quadrato-quadrato 16 multiplicaιν per
9. inagnitudo , quae sex di mensionibus Imili re stat, ut aaaaaae dicitur quadrato-cubita, estque sexta potentia; Acitur quadratin has, quouiam exsur
git ex cubo aaa per seipsum inriti iretro is Hino 6 , qui numerus est quadratus , dici potest quadrato-cu bus , quoaiam sit ex cubo 3 per seipsum pro Eo.
I o. Hic autem uotandum es, euudem Numerum,
quatenar ex vetriis multi ficationibus prodire intelliti Eotest, variassubire posse denomiserioves . Sic numeraro planus dici ρπωδ a 3 a mali heuro per 2,exsurgerσeoncipiatur. Dica etiam potes Numeretra arratur , se prodire intelligatur ex 3 per seipsum mitiplicato. Cublinoas etiam dici potest, si ex quarrato I 6 multiplicato pre , qui es ejus radix quadrata,exsurgere cogitetur.
gnitudiuem quadratam , ves euhD- , esse numerum quadratum , vel cubicum; siquidem is numerus dunt xat quadratur dicitur, qui ex alio numero per seipsum multiplicato exsurgit; hive 4,ν, Ixs Oc. funt nu meri quadrati, non item zo , aut 3o ς -GF pouatogo esse aeq-Zem his, Θας utique - nitudo erit qua drata miuime vero zo. Idem G cabir , deque reliquis poleariir majoribus es Hicend-i x. Ex magnitudinitar , seu potentiis aliae stinxeo vitae, Miae vero iscogritae , quaro Nemm .sisFiguoratur: Magnitudiner incognitae tribus posteriori-hur Apbabeti literis notari solent, nimirum X, F, E. ag. Flura de potentiaram compositiine , ct ref istisne tradunt Mathematici , quae nos, ne ab insumto nostro discedamus, Imiter, ct omnis, ut aiunt, la-bIsa duntaxat attingemus. Et quidem ad potemiaram mpositionem quod attinet, baue per variam απιών soaν pluriam magon tuum multiplicoriouem Aeri eae Lacte
193쪽
hudienas dictis satis eolligitur . Si enim statriplices la per b , prodibit quadratum bb, quae es fecunda poten- ita , si Zνoductum bb per ejus radicem quadratam bmultiplices , habebis euhum bbb, ct sie de ceteris.
bbbbb, cte. Hac autem uota Gumerica post bteram a dextris legentis piratio altius es collocanda , siquidem numeri, qui lireras stoue sequuutur , ad Metam nimirum legentis , No. multiplicia Ilouem , sed additiovem significant. Nisi paullo altius, nam si pos numeram alia titera proxime sequeretur, ut in hoc exemplo h d,
haec nota nou b quater multiplicatum ,sed ii sibi si quater additum esse, significaret. v. xuod spectui ad refcutionem potentiaris,
Deo fit, quum loquiritMr rud. x alicuius potentia; aude extractio radicum etiam vocari filet. Hinc res Oere quadratam bb es tuquirere magnitudiuem , ex cujus multiplicatioue exsurgit quadratum bb, nimirum ti , quα magiaitudo comparate ad potentiam h b iliciturrias ου Guadrata , comparate very ad cusam bbh dicetur radix cubica , ct sc de ceteris . Similiter a comparate ad 4 es radix quadrata , comparate auxem ad 8. radix cubica . liqui uumeri plani , qui misim' favr quadrati, varie nouuanqaam in suas radices re
solvi possuπt ; uam radix numeri plani o g. a b es xuma a multiplicatus per a , tum 8 multiρlic ras per 3 stum denique 6 multiplicatus per ψ. Verum fac de re, ad praesens ivstitutum quod attinet , nihil necesse es tiribus di, rere; quare ad Definitiones Bbri
194쪽
I: D Ars dieitur parva magnitudo comparate ad A majorem, quam ex aequo metitur, itaut nihil supersit, aut desit . Hiue lineo a pedum es pars lineae 8 pedum , quouiam Doea a pedum alteram ex aqus metitur, uout nihiI supersit , aut desit. Di. In hae de uitione Euclides noπ partem BL geuere, sed eam tautum, que a li quota dicitur , explicavit . Siquidem pars duplicis es generis , olia di i- tar aliquota qua fuam totum ex aequo meti kr, ita iii nibit supersit, aut desis; alis dieitur aliquanta 3 qmae pluries repetita Dum retum Roo omn=uo eomplectitur; A livea a pedum est pary abruauta liveae s pedum . Hine colligi potes , quid intereuntur nomine totius ,
nimirum quantitas major comparate ad minorem, sive illatri aetti continear. sive non ι 1r vieisis n/inive partis in revere Intellieitur parva magnitudo comparate ad majorem, in qu continetur, vel contineri potest . 2. Fars aliquota porro a partium aequatistis Nu mero , quo magnitudinem majorem metitur, deuomi natiovem desumit ; unde pars aliquota , quae suum istum bis ducia meritur quocutur dimidium , atque ito
Hibitur-; ea vero , quae ter , dieitur tr iens , fel
tertia pars quae sie exponitu , idie.
mrs aliquanta partes aliquot quandoque eo,three d quae eamdem magnituinem ex aequo metimuistu . Me quae es pars aliq&anta eomparate ad 8cootiuet et, qua es pars aliquota numeri ου, nimirum quarta pars. . Fartes stre aliquotae , sive aliquantae locan.
195쪽
rior vocatur numerator fractionis, merior vero de
nominator fractionis a quare in hae fractione ' qua
sigvi car duo quinta , numerator es a , denomi toriacro DII. Mamitudo multi a alterius magnitud uis est, quae certo numero ex aequo continet aliam ma gnitudinem, ita ut neque illam excedat, neque ab est excedatur. Sic linea 6. pedum es multipla lineae a pedum, quum eam ter ex aequo contineat.
. inquitudo illa , quae comparate ad aliam dici. eur Hur p-s Hiquota , dicitur submultipla illius, ean demque denominationem fumis, addita particula sub . Sis linea 6 pedum dicitur tripla lineae a pedum , quod eam ter ex aequo contineat; Imea vero a pedum dici tur subtripla lineae 6 pedum, quod in ea ter ex aequo contineatur. Similiter liuea 3 pedum es quadrupla lineae a pedum; linea vero a pedum es 1iibquadrupla lineae 8 pedum a s r sic de ceteris. III. AEquimulti ae Huriam magnitudinum sunt,
quae ex aequo certum numerum magnitudinum conti nent , comparare ad quas aequimultiplae vocantur; sive quae continent aequalom numerum partium aliquota rum , comparate ad quas dicuntur aequimultiplae . Sic
ΓΠea ta pedum, O linea 3o pedum sunt aequimultipis
comparate ad liueam a pedum . o ad Duram I pe dum; nam Luea ia pedum tofus eontinet lineam a pedum , quoties ιμω go pedum , eontistit liueam S pe dum , nimirum I ier . . ' . . VI. Ita defuit magnitudines aequimultiplar E clides , at nos aequimulti as vocabimus etiam illas minguitudiπes , qua aequalem Numerum aliarum ma ιι
196쪽
opum insignirudinum la, o, uam duae priores in duabus posterioribus aequaliter couliueutur , nimi duarum posteriorum. . Murtes s iles: plurium met nudiuam e Pocau-rar etiam aequisii timuitiyiae. aeuum igitur duae ma- innitudives per asiam quampiam mvis licantur , daapro eis suur earum aequimulti a , istis vero partes similes , ct aequisubmulti ae voeabuutur. Hinc si mulint Leer a O h per c , duo producIs ac, hc eruiat aequi- inultipla duorumia , o di, i ρε- , d centur requisu multipia duarum ac, ct hc. Eadem ratione si multiplices s ct s p duo producta ι Moego eruut aequi- multipla duorum numerorum S, S' S; qui comparate ad ia, ct ao partes similes , γ' aequisubmultiplae di-
IV. atio est habitudo Mariam , seu compseratio duarum magestudinum rius deur fenoris inter se, per quam innotescit, utrum , altera in alia contineatur,& quoties'. dictum est Gosdem generis , nam magnitudines divexsimueris , ut linea , ἐν Planum , aut plinnum , ω fidum , minime ε ter se comparsiri poss-t.
197쪽
concipi potes ,si hoe modo exprimatur - να qua fra
tibetur in i ter cum Amidio . ; a. Ouoniam igitur ratio est quaedam ,quant;t tIe finεetest non stafi m absoluta, sed relativa. kquια- quid qua miraeti ris genere tandente, usi pariter eonvenire debet. Hinc quemadmodum 'unestar Idie tur, Sebmaior ver minor, vel aequatis commmte .ad aham, νxaetiem rampotes esse, vel maior , vel minor , veru aias eomyarate ad aliam rationem . aeuo irea roso davrditur primo in rationem aequali tatis , ct an rarionem in .
198쪽
si Rctio Inue calitatis 'Moiditur ' ratione ma oris inaeqnali raris, errarionem minoris inaequalitatis. Matist maioris inaequalitatis est, quum antecedens mussores non sequeute u ratioq ad xv Ulario minoris imaequuώ-
rudo in altera contineatur; hinc quoviam 3 coutturex semeI cum sem se , ratio g ad a dicitur ratio sel qui-
eso dupl. r. ur exponenn es az curio 6 ad 2 ratio remia, cujus exponens est 3. In rarastne autem minorις inaequalitatis, ratio et ad I dcitur subsesquialtera ς rario x ad 4 subdupla ;raim et ad 6 subtripla- ra, exponentem rationixi vireari etiam denominatorem ejusdeis ratisnir . 6. Tatis inaequalitatis dimiditur Insuper in rasionem , quae appellatur numeri ad numerum , em in rationem, quae surda nuncupatur. Vatis numeri adnume um , quae etiam rationalis iacisar , est cujus exponenr notio numerisu expasmi maes ς seu in qu numeris evrrani potest, quortex kNut rationiς terra nus su alio contineatur o Hatio inro surda, qua etiam irrationalis diei soler, est j cujux exponeur nequit Vs nota Numerica , Foe in qua numeriν exponi arquit , quoties unust ereminar is alio Gntineatur. Ratis, quae iraterest inter diagonalem quaaroti ψ, drinus eiusdem ςq asoty eis diuiusmodi LI Rπan νου ρ μωρae suam di-
199쪽
.adeo minima ,-possit esse Wriusque communis men; unde δει,-ν-ιο harum duarum magnitudinum nullo modo tinueris exprimi possis . Siquidem quan 'δitatuis , siarae Baineris exprimuntar, uuitates Ialtem commauis meusura esse polunt. 7. Suotiesqsamque duae ' magnitudines eam ha- ,-t turre se ratisvem , quae nurueris exprimi potest , τοIantur Commensurabibes ; quae .ero furiam hiabor ister se ratiouem Incommensurabiles dicAutur Igitur Maguitudiuer commeusarabiles eae sant , quae babera-partem Glι quosam, sit ut nusque mensura; in comine Mara hises vero, nullam habent partem aliquotain, communis earem mensura . stu
circa regula, ' cognosci potes, Avum mugNi ludives sui commensurabiles nec ue , in eo sita es, ut ωσα, rario numeris exprimi sto sis , At commeυμ rabiles , secus fiui incommensurabiles. 8. Ii sae magnitudiues , quae tu sevin futui commensuraiater , posuus es commen*rabiles in Potentia . G. R. quum quadratum iaGOualis sit -- plum adrasi , cujus est diagainatis per 47. t. MD mutur q adratum 9, cujus latus es iῖ, quadratum diagovalis hujus q.'adrati valebit i8i, quae maguis ius utique .es commensvirabilis eum quariato 9. e nquum ιδ non sis numerus quadratui, qui nempe ἰ ex Multiplicatioue a cujus sumeri per se fum mulivo.
cati , . Hul radiπ numeris exprimi nou pia reis , proi de
Oae eris lucommensurabilis in Ie ipsi eam radice qua Mara 9, esto sit ipsi eommensurabitis in potenti '. Ea potentia , a numerit quadraris , vetcubicis exprimi nox possunt, ut quadratum duplum quadraxi vel cubus duplus euia a , impersectae No
cantur , quod earum radices aeumeris exprimi nequeontis
Aed de his paullo inferius . λα Roti es, de quibus hactem laeuatissimo ,
200쪽
Geometricae evocavtur ἔ sed praeterea aliae sunt ratioπer, quae duuntur Arithmeticae. Niserimen autem , quod Geometricam inter, O a rithmeticam ratiouem intem cedit, es, quod is Geometriea ratioue consideratur quoties magnitudo aliqua in alia contineatur ἔ is ratione vero a rithmetica consideratur , quantum una imaguitudo a teram operet ; proindeque ratio Arith metica dicitur etiam ratio excessus , uniux metritu diuis comparate ad aliam. Ruum rationem dicimus, nihiI ulterius addendo, rationem Geometricam tuteli
geudam esse volumus , de qua sic praecipue es fermo . V. Ratiouer aequales , seu similes sunt, in quibus antecedentia aequaliter , sive eodem modo, In consequentibus continentur, aut vicisti m ; sive potius: Rationes aequales sunt, in quibus antecedens uni uvtoties continet certam partem aliquotam sui cons
Juunxi , puta vel semissem , vel trientem, vel qua-rantem, Scc- quoties antecedens alterius continet similem partem aliquoram sui consequentis. ζr. Hinc moisi Ium est, rationeis 2 a a lem esse ratioNi g ad 6; nam quemadmodum a his con tinetur is 4. ita 3 bis continetur in 6 ; sise , quem admodum antecedeus a conrinet femel dimidium Α, ituantecedeus 3 semel continet dimidium 6; ac proinde seadem es utrius e rationis quantitas, denomina tor , seu exponens. Haec rat7onum aequatitar fie exprimi fuer: ut et ad 4, ita 3 ad 6 . Brevitatis autem gratia in tabula rationes aequales exprimunxur hoc
modo: a, ψ :: 3, 6, quae quatuor puncta signi aurrationem 1 ad 4 aequalim esse rationi 3 ad 6. 2. Hic advertetidam est, stud esse aequalitatem rationum, aliud vero rationem aequalitatis I siquidem ratis aequalitatis, ut supra Oidimus , ea es, quae t ter duas m nitudines aequales intercedit, ut itvter 3 ct 3 vel inter h, ct h. a vi aequalitas ratiovum es, quum duae, veI plures rationes funt quater eo, quo