장음표시 사용
201쪽
VI. Magnἰtussiaer μvortionales sunt, quae eam uri . vel aequalem j ves similem habent Inter se.ta
Aionem. Istuc quatuor numeri 2, 3 : et 4, 6 vocautor proportionales ν quod ratio 2 ad eademst , vel aeqaa-
ω, mel similis rationi 4 ad 6 Sq.idem ratio eadem,
. xatio si iiii lis, ratio aequalis idem omuino Agasi eant. Muatuor miam sequeuter maguitudiues a, ad , b, hilδAut proportionales , quouiam ratio a ad ad eadem es,ue ratio h ad bd; etenim toties a continetur in ad , 'quoties h A bd. Nam quum ad tum cet a multipliaeatam esse per d, bd Oero h muiuiplicatam item pero, manifessum est, a esse coulentam tu ad certa quadam ratioue , seu numero , qui per d Agui catur , nouminus ae h in bil ; sive Iitcr ad numerum integrum ,
se e fractione- significet. Vide quae diximus ad desin.
VII. Utauo major alia ea est, cuius antecedens pluries continet certam partem aliquo tam sui consequentis , puta dimidium , vel trientem , Vel quadra0tem Sc. quam antecedens altersus simstem partem aliquorem sui consequentis contineat. xuamobrem ratio a Iad io major es , quam ratio loo aT SO I nam a I con sinet semel, vicies decimam partem numeri io; et n. sero Ioci continet vicier tantum decimam partem numeriso, quae est S. Ex quo manifesum est,exponentem rationisai ad I O majorem esse exponente rationis 1 oo. a So. VIII. 'Proportio, si ve a Galogia , est duarum rationum aequalitas. Ex quo paret, quatuor maguita
dines proportiovales a , ad , b, bd; Arae 3, 6 , , 4, de quibus de Itone sexta distum est , proportionem constituere . Hinc in qualibet proportione quatuor termisi Dur, ex quibus primur ct postremus , nimis rum a hil diccntur extrems , reliqui vero duo, nempe ad , ct h medis . Insuper duγ antecedentes ab, duo consequenter a s, ct hd vocantur homologi , yuoae utrique eodem uomine appellautur ω I . Hi
202쪽
I8I L. Hi quatuor fermIII ad tres quandoque redu eumar, quam scilicet consequens prioris rationis idemes eum antecedente Oftfrius rationis; haecque proportio vocatur continua , ut a, 4 :: 4, 8; quod se quar uοι
te mini ad duos' reduci nequeant vocatur discreta , seu discontinua , ut Io,us M, 3O. Iu Moportione con tinua terminus utrique ratioui .communis vocatur me dius , eaque proportio sie exporaisur - 2, Φ, d. a. stuemadmodum proportio Geometrica est aequalitas duarum rauonum geometri arum , ita proportio e rithmetica es aequalitas duarum ratiouum arithme-xicarum . Ruocirca hi quatuor numeri S, 6 ::: 9, 1ODux in proportione arithmetica , 'nam idem.es excessus 6 comyarate ad s, ae excessus to comparate ad P. xuorier tamen proportionem nominamus nibit ulterius adriendo, proportioπem geomefricam tutelligimus. In arithmetica, non secus ae in geometrica proportioue , quatuor termisi ad tres reduci possisut , quibus M' xur proportio arithmetica contimia , ut 4, S zzz S, 6. Ubi vero ad tres reduci nequeunt , discreta es di
IX. Magnitudiues contivuo proportiovales eae dicuntur, quae sunt in proportione continua , ita ut eonsequens prioris rationis sit antecedens alterius Sc.
ni V 2, Α, 8,' 16, o c. ves τα' ι, 9, a , si, dic. Haec autem series maqvitum um continue proportionalium vocatur progressio , quae vel geometrica est, se nimirum eae magnitudiues sint is proportione geomenrica, vel arithmetica, si sui in proportione artism tica ut , a, Φ, A, S, ct . vel 1, 3, y, 7, 9, C. 'in s . Progressio serithmetica , quae naturalem Numerorum seriem sequitur , ut i, 2, 3, 4, S, c. v aeum progressione geomeιrica conjuncta Logarithmus vo eatur . Unde ii numeri, qui progressionem quidem arithmeticam sequuntur , re vera tamen concipiuntur sequi progressionem geometricam, togarithmi seu exponentes voeamur . Sit igitur hae progresso: a,
203쪽
butienas die7is satis relligitur . Si enim aeuit plices liper h , prodibit quadrorum bb, quae es seeunda potentia , si troductum bb per ejus radicem quadratam bmultiplices , habebis euhum bbh, ct sie de ceteris.
i . liuoniam tameu literarum numerus confusionem parere posset, 'bi occurrunt θIera Anules , ea om-ues , praeter Irimm , deleri soleοι, apposita uota numerica , qua Uus multiplicatiouem Agnificet ut 3. q. docuimus . Hinc h' idem valet, ac. hbbb , hi idem , ac
bbbbh, cte. Haec autem uota Gumerica post literam a dextris legentis paκsio altius est collocanda , siquidem numeri , qui literas stoue sequuntur , ad laevam 'ni-rum legentis , nota multιpllacilouem , sed additiove
seni aut . Nixi paullo altius, nam si pose numerum alia Blera proxime sequeretur, ut in hoc exempis bAd, haec cota 6, nou b quater multiplieatum ,sed d sibi si quater additum esse , significaret. is. xuod se 9ut ad resilationem potenticrem,
haec sit, quum loquiritar rad. x alicuius potentia, uu- de extractio radicum etiam vocari solet. Hine res Oere quadraιum bti es tuquirere magnitudinem , ex cujus multiplicatioue exsurgit quadraIum bh, nimirum h , quae maguit do compara ιe ad potentiam tib dicitur radi κ quadrata, comparate vero ad casam bbh di intur radix cubica , - r sic de ceteris . Similiter a com parate ad 4 es radix quadrata, comparate autem as8 radix cubica . V eliqui utimeri plani , qui misim faut quadrati, varie nouuuuqaam in suas radices re
solvi possisnt ; uam radix numeri plani o g. a 4 es uma a multiplicatus per a , tum 8 multiplicarus per 3, tam denique 6 multiplicatus per ψ. Verum hac de re, ad praesens mstitutum quod attinet , nihil necesse es tiribus disserere ; quare ad Definitiones Ibbri quiqιi
204쪽
νγ L. dicitur parva magnitudo comparate ad x majorem, quam ex aequo metitur, ita ut nihil supersit, aut desiit. Ne lineo a peduis es pars ti lueae 8 pedum, quouiam Loea a pedum alteram ex Mus metitur , itout nihil superfit , aut desit. Di ' i. In hae de uitione Euclides uou partem ivis Leuere , sed eam tautum, que ali quota Loitur , explicavit . Siquidem pars duplici' es geueris , otia di i-tπr aliquota , t quae fuam totum ex aequo metIr,r, ita sit nihil superfit, aut desit; alis dieitur aliquanta 3 quae pluries repetita tuum totum που omnivo complestiitnr; s livea et pedum est par3 aliquauta liveae s pedum . Hine colligi potest, quid intere atrer nomine totius , Nimirum quantitas major comparate ad minorem, sive illam aetii continear. sve non , D viei is no/ive partir in levere tutelIurtur parva magnitudo eo imparate ad majorem, in qua continetur vel contineri' potest . 2. 'Pars aliquota porro a partium aequalium Nu mero , quo metuiturivem m orem meritur, deuUmi natiovem desumit ; unde pars aliquota , quae furem istum bis ducia meritur vociatur dimidium , atque ito
Mibitur-; ea vero , quae ter , dieitur triens , seu
tertia pars , quae sic evovitur', cte.
Pars aliquanta partes aliquotat' quandoque eot thre quae eamdem magusitudinem ex aequo metimasttur. Me ό, quae es pars aliquanta eomparate ad Scootiuet et, qua es pars aliquota numeri ου, nimirum quarta purs. q. Fartes st: e aliquota , sive aliquantae Coca .
tar framonet comparate ad totum, cujus su portuequod
205쪽
riar vocatur numerator fractionis, iserior vero de-2 i: nominator fractionis a qua re in hac fractione ' qua
signi at duo quinta , numeratoν es a , denomi tor
ro DII. Magnitudo multi a alterius magnitud uis est, quae certo numero ex aequo continet aliam ma gnitudinem, ita ut neque illam excedat, neque ab ea Excedatur. Sis linea 6. pedum es multipla lineae a pedum , quum eam ter ex aequo contineat.
. emeritudo illa , quae comparate ad aliam dici. eur ejus paxs Hiquota , dicitur submultipla illius, eandemque denominationem famis, addita particula sub . me linea 6 pedum dicitur tripla liseae et pedum, quod eam ter ex aequo contineat; titiea vero a pedum dici tur Subtripla lineae 6 pedum, quod in ea ter ex aquocontiueatur. Similiter Iiuea 3 pedum es quadrupla lineae a pedum; linea vero a pedum es silhquadrupla lineae 8 pedum; er sic de ceteris. III. AEquimalti ae Hurium magnitudinum sunt,
quae EX aequo certum numerum magnitudinum conti Ment , comparare ad quas aequimultis lae vocantur; sive quae continent aequalom numerum partium aliquota rum , comparate ad quas dicuntur aequimultiplae . Sicti es ta pedum, O linea 3o pedum Iant aequimulti αcomparate ad lineam a pedum M o' ad liueam s p dum; nam Luea ia pedum toties eontinet lineam a pe m , quoties liuga go pedum , eontinet liueam s p dum, Nimirum I exies . . Ita defuit magnitudines aequimuhipias clides at nos aequimultiplas vocabimus etiam illas mu gvit Grees , qua aequalem uumerum aliarum ma ιι
206쪽
xuocirca duo numeri sct Iosunt aequimultipli comparate ad duos numeros a, O esto a non si para aliquot a numeri s , nec numeri Io. Verum , quoniam s continet a bis cum dimidio, non secus ac Ioeontineat his cum dimidio , Hlic hae dua mami tudines S, O ao aequimulti in Utime disi ptisue , comparate ad 2 , 2 4 ἔ qaii Numeri a , partes similes duarum maguitudiuum s , O io dici poeuut, esto nou flux partes aliquot aea. Eamdem ob rem oe is funt partes similes
semel cum quadrante ,sive utraque seorsum es L
duarum pseriorum. . Murtes similes: murium mi itudinam vocav-rar etiam igitur duae magnitudiues per aliam quampiam multiplicantur, duo pro eis Dor earum aequimulti ai , isa vero partes
IV. i 'm' est habitudo Maidam seu compseratici duarum magnitudinum ejusdem genoris inter se, per quam innotescit , utrum altera in alia contineatur,& quoties'. di m est ridiaran generis , πam magnitudines diversileueris, ut linea , O planum , Mut planum, O solidum , minime ν ter se compamri pos t. agritia ner fimiles vocΗιur: dua
207쪽
gfgitudines is rem miles heterogeneae appetianori i λ inomitudines, quae is at qua ratiot r. ivxer IP eo Grantur, vocamur termini ejusdem Fationis . est quifar ille, qui comparatur auera sedicitari antecedens , ille vero, cui alter comparatur , dicisur conse- .qHens. m. rsu hac .ratioue E ad 3, aπtecedens essa, consequeNs vero 3; quorum Numerar in Mario De le
concipi potest , s boe modo exprimatur in
a. Maufestum est, terminos cuius libet Fationis debere esse homogeneos , di matritudinis iustae ; inlias erim intelligi nequit, quoties , aut quo pacto suus ias
g. cogδε cara r rario , quae ister duas magπι- ludiffer intercessit , consequem te in te minum pre sutec donem dividere oportet, fissor autem Hvi mr qustiaeus erit martio, di exponemrqui inquiritur , qui idolos quan- .etitas rationis dis folet. Hinc ut coquo casum ratio, gas
libetur is f4 ter cum dimidio. μ' i - 4. xu iam igitur ratio es quaedam iquant ta-tre specieir non quideis absoluta, sed relativa. δ quid qσίd quis inirMP-εν genere domvenit , Usipariter eouve nire debet.' Hine quemadmodum Muntitar dieνtur, veι maior, ver minor , va aequatis 'commmate .adabam, fixa etiam rariopotes esse, vel mai- , vel minor , vel aequalis comparate ad aliam rationem . aeuo irea νσtio dividituν nrimo in rationem aequali ta tia , ct in rationem imae. r L quin
208쪽
semeI cum semesse , ratio g ad x dicitur ratio sesqui-
:- 6. atis inaequalitatis dividitur Insuper in rationem , quae appellatur numeri ad numerum , re puratiovem, quae surda nuncupatur. Utatio numeri adnumerum , quae etiam rasionalis dicisar , est , eujus exponenr uotis. numerisii exprimi potest ἔρπ iπ quin numeris exprimi potes, quotiex is tinationiς terru, mus su alio contineaturo Votio .erosis qua etiam irrationalis dici solet, est, cujux ex neur nequit esse nota numerica , Ave in qua nume ix exponi naequit, quotier'unus ereminar is ali, ustinemuro Razio', ρκα ἐπterest inter diagonalem qua oti ψ o seras ejusdemeexa rati era bisjusmodi I riantiamquia in ae suam di-: L a vitam
209쪽
.adeo minima , quae possis e utriusque commanis men Iura ; unde δει, ut ratio Biarum duarum magnitudinum nulla modo tiaueris exprimi possis . Siquidem quan 'altatu- , si usineris exprimuntur , uuitates Ialtem communis meusura esse post ut . 7. Suoriesisamque daae' magnitudines eam ha- ,eint ister se ratusvem, quae nurueris exprimi potest, .s autur Commensurabibes a quae .ero surdam Bubeurister se ratiouem Ineommensurabiles di utur. Igitur maguitudiNer commeusarabiles eae fant , quae habent partem aliquosam, quae sit ut rausique mensura ; lucomine arabiles vero, quae nullam habeut partem aliquom lain , μα ine possit commuuis eartim me ara . liuo- σἔrca regala, per quam cognosci potes, vum dua magπμtuiues Aut commensurabiles nee ue, in eo sita es, ut se earum rario numeris exprimi possis , At commeυμ rabiles , ferus sint incommensurabiter. 8. ' e fili sae maguitudiues , quae in seipsi fausi commensuraiales, postius esse commen*rabiles in Utentia. . R. quum quadratum iaUOualis sit -- Ium adrasi , cujus es diaganatis per 47. a. sis mutur quadratum 9, cujus latus es 4, qaadratum diagovalis hujus q adrati valebit i8 quae magois ius utique es commens, bilis eum quadrato 9. e nouum 18 non sis numerus quadratui, qui nempe iaὼ ex multiplicinioue a cujus sumeri per se sum must 6-ιcati, .ejus radim numeris exprimi nou ρωexis, prolude qae erit lucommensurabilis in Ie ipsi eam radice qua
Mara 9, esto sit ipsi eommensurabitis in potenti
v . EG potentis , 'Mae numerit quadrasis , veseubicis exprimi nou possunt, si quadratum duplum quadraxi 9. vel cubus duplus euia a , imperfectae No
cantur , quod earum radices aeumeris exprimi Nequeunt.
Aed de Bis paullo inferiat.1 Q. Rotioues, de quibus hactenus loquati δε- ,
210쪽
Geometricae vocavtur Ised praeterea aliae sunt ratioπer, quae duuntur Arithmeticae. Niserimen autem , quod
Geometricam inter, O a rithmeticam rationem inter cedit, es, in Geometriea ratione consederatur quoties magnitudo aliqua in alia contineatur ἔ in ratione vero a rithmetica consideratur , quantum una magnitudo afteram Iuperet ; proindeque ratio Arithmetica dicitur etiam ratio excessus , uuius maRNita diuis comparate ad aliam. xuum rationem dicimus,nihli ulterius addendo, rationem Geometricam Atelligendam esse Φolumus, de qua sic praecipue es ferino . V. Ratioues aequales , seu similes sunt, in quibus antecedentia aequaliter , sive eodem modo, in consequentibus continentur, aut vicissim ; sive potius: Rationes aequales sunt, in quibus antecedens uniti Stoties continet certam partem aliquotam sui cons
ruentis, puta vel semissem , vel trientem, vel qua-rantem, Sc- qi oties antecedens alterius continet similem partem aliquoram sui consequentis. ζι. Hinc mavisi tum est, rationem 2 ad ψ αρυ lem esse rationi t ad 6; nam quemadmodum a his con tiuetur is 4. Da 3 bis eontinetur in 6 ; s e , quem admodum antecedens a continet femel dimidium Α, ito antecedeus 3 femel continet dimidinis 6 ; ae proludet eadem es utriusque rationis quantitas, seu denomina tor , seu exponens. Haec rationum aequalitas sic exprimi folet: ut et ad g, ita 3 ad 6 . Erevitatis auten gratia in tabula rationes aequales exprimuntur hoc modo: Z, ψ :: 3, 6, quae quatuor puncta significans rationem 1 ad 4 aequalem esse rationi δ ad 6. 2. Hrc advertendam est, Miud esse aequalitatem rationum, aliud vero rationem aequalitatis ἴ fliquidem ratio aequalitatis, ut supra vidimus, ea es, ρπα iv ter duas magnitudines aequales intercedit, aer luter 3
ct 3 vel inter h, ct h. GD aequalitas ratiouum es, quum duae, vel plures rationes sunt quater eos Auro diximus, modo. VI.