장음표시 사용
211쪽
VI. Magoituδiser proportionales sunt, quae ea si si . vel aequalem, vul limitem habunt Inter se.t
ionem. Hinc quatuor numeri 2, 3 : et 4, 6 voeautor proportionales , quod ratio 2 ad Φ, eadem Iu , vel aestia-sii , mel similis rationi 4 ad 6 siquidem ratio eadem,
ratio similis, ratio aequalis 1dem omuino Ago cant. θMuatuor eriam sequeuter maguitudiues a, ad , b, bd μῖt proportimates , quoviam ratio a ad ad eadem es, ae ratio h ad hil; etenim toties a continetur tu ad , 'quoties h iu bd. Nam quum ad lignoscet a multipli-eatam esse per d, bd Cero h muisipticatam item per c, manissum es, a esse coulentam tu ad certa quadam ratioue , seu numero , qui per d Aguificatur , non minus ae h in hil ; sive Iitcrad numerum iπtegrum , , e fractione- significet. qu.e diximus ad desin.
III. n. 3. VII. Ratio major alia ea est, cujus antecedens pluries continet certam partem aliquotam sui consequentis, puta dimidium, vel trientem , Vel quadra0tem Scet. quam antecedens altersus sim lem partem aliquo-rpm sui consequentis contineat. Duamobrem ratio aetad io major es, quam ratio Ioo cita SO ; nam a I comi net semel, di vicies decimam partem numeri io; a Diero loci continet vicies lautum ricimam partem numeraso, qua est 3 Ex quo manifesum est,exponentem rationis si ad lo maiorem estne exponenre ratioNis 1 o. aae s . . VIII. 'Proportio, sive a GaIogia , est duarum rationum aequalitas. Ex quo paret , quatuor maguita
dines proportiovales a, ad , b, bd; sive 3, 6 , , 4, δε quibus de uirone sexta disium est , proportionem
constituere . Hinc in qualibet proportione quatuor Iermini Junt, ex quibus primus O postremus , nimi rum a, oe' hil dicantur extrems , reliqui vero duo, nempe ad , h medis . Insuper duω antecedentes ab, veI duo consequenter ais, ct hil locantur homoliegi, guod utrique eodem Dominς appellentur ω u.
212쪽
L. Hi quatuor fermIns ad tres quandoque reduineumars quo stilicet coUequens prioris .rationis idem es cum antecedote Oruriusinationis ; haecque proportio Nocatur continua, ut a, ψ :: 4, 8; quod si quar uorte misi ad daρsse ei nequeant vocatur discreta ,seu discontinua , ut Io, is : : m , 3O. In Moportione c--
riuua terminus utrique ratiori communis vocatur medius, eaque proportio sie exporaisur E. 2, 4, d. a. memadmodum proportio Geometrica est aequalitas duarum Fauonum geometricarum , ita proporris e Crithmetica es aequalitas duarum raIiouum arithme-xicarum . Ruocirca hi quatuor numeri S, 6 ::: 9, 1 Ofunt in proprertiove arithmetica , 'nam idem es excessiss6 comparate. s, ae excessus Io comparule ud P. xuorier tamen proportionem nominamus nihil ulterius a dZendo, proportionem geometricam tutelligimus. In arithmetica, Non secus ac si geometrica proρortioue squatuor termiui ad tres reduci posui , quibus e scrixur proportio arithmetica contin a , ut 4, S τοῦ : s, 6. vero ad tres reduci nequeunt , discreta est aγ-
I x. Magnitudiues contiuuo proportiovales eae dicuntur 'quae sunt in proportione continua , ita ut consequens prioris rationis sit antecedens alterius S c.
Haec autem feries magoitum um continue proportionalium vocatur progressio, quae vel geometrica est, finimirum eae munitudises sint is proportione geometvica, vel arithmetica, s snt in proportione arittimeti .nt , a, Φ, A, S, vel ι, 3, y, 7, 9, cte. . 'ina. Progressio ε rithmetica, qua naturalem Na merorum seriem sequitur, ut 1, 2, 3, 4, S, ctc. v aeum progressone geometrica coniuncta Logarithmus voeatur. Unde ii numeri, qui progressiouem quidem arithmeticam sequuntur , re vera tamen eoncipiuntur sequi
progressisnem geometricam, togarithmi seu exponentes voωmur . Sit igitur hae progressio: a,
213쪽
gebrae suo si i o. N. i . seriem numerorum exponeu um 1, 2, 3, ε, S erc. multiplicationem significare; qua- res a valeat a, a V eu aa,valebit 4,a 8, insuper a ' i 6 edic.ex o sequitur,oos Numeros,eso progressouem arit meticam exhibere lideautur, revera Iequi progressi
3. Ufus horum Logarithinorum maximus es, ubico itis tribas terminis quihu uumque , quartus ter miuus , qui proportionem cum iis habeat, inquiritur .mquidem ut iuveniatur quartus terminus proportio nasis tribus terminis datis , adhiberi solet ea si nith mericae regula , quae aurea per excelientiam dicitur,er Regula trium vulgo appellari solet, qua ope mul tiplicationis simul, divisionis perficitur. Rus maeuim tu qualibet proportione geometrica , ut videbi inus , productum extremorum aequais sit producto me
diorum , si dati flor tres termini 4, i 6, 6 , quibus inveuieudus sit quartus terminus prostortionalis, ita μνquemadmodum ψ ad I 6, ita 64 ad hunc quartum termivum; multiplicari prius deberet i6 per 6 , bu D que multipliciatiouis in o tram cscilicet ior di vidi ster mimum terminum 4; quo facto quotiens hu jas divisioris cutistrum as6,ὰ erit quartus xermiuuis qui inquiritur, proludeque erit 4, i 6 : : 64, a S6. ms multiplices 4 ter a 56 prodactam sos aequale eris pro cyo duorum mediorum 36, ω 64. - 4. Ruod ititur siue Logarithmis per multiplicatio Nem , ct divisionem , quae operarioves non parum ope rosae iuui , rieri oportet , adhibitis logaritomi sper so tum additiovem subtractioneis perricior , qμέ
214쪽
tis . aeuum euim in proportione arithmetica , non pro ΔΠam,sed summa extremorum aequalis sitfummae mediorum , si dari sint tres termini , quibus quartus artib- metice proportionalis sit invenieudus , satis erit da orposteriores , sicilicet fecundum , ct tertium, per additi nem colligere, atque ab eorum fumina primum terminum obtrahere , quo peracto , id, quo vererit, erit
quartus termivus arithmetice proportiouulis.
s. aeuoniam igitur Logarithmi utraviquo pr Rr οπem , ut dictum es , orithmericam simul, ermetricam eotioret , tribu termiuis 4, I 6, 6 quartus proportio alis iuveuiatur, et ideIdum νυ tabula LogaritBmorum quinam sint Logaritθωi, qui tribus hisce numeris respondeant , tabula, s de exemplo superius posto, eonstat esse a, 4, 6; collecta igitur fumma duorum posteriorum 4, 6, qua es io subtra/atur a I prior terminus 2, quo facio supererit 3Iuariumus numeri as6, qui idcirco erit quartus terminus proportionaos , qui inquirebatur , proludeque
6. moniam igitur utriusque progre vir , geometricae nimirum, O arithmeticae, eonjunctio efficie , additionem , O subtractionem inveniatur id , quod fine Agarithmis per multiplicationem , γ divisionem esset inveniendum , quae duae operarιoues multo
operosiores fura ς ιν id maxime incubueraut Math matici , ut tabulas confruerent , in quibus numery abi usque ad Iooooo, ct amplius, secundum natur Iem numerorum seriem disyositi contiuerentur, quibus solidem numeri in progressoue geometrica diseributi r sponderent. Id autem usto siue maximo' labore , atque animi contentione a pluribus praesitum fuit , praefer- νει vero a Nepero , oro, qas tameπ quum opus qiadem .nchoaverit, at' misime per core potueris, id praemit' oa Brix-
215쪽
Briggius e nrtat. Hae tabulae prater ea reperiant apud Clavium , O Lanamum, O alios. X. In progressione geometrica , idest in serie plurium quantitatum continue proportionalium , ratio prioris ad tertiam est duplo major, seu duplicata rationis prioris ad secundam , aut 'secundae ad tertiam . Ratio autem prioris ad quartam est triplo major , leutriplicata rationis pri inae ad secundam , vel secundae ad tertiam, vel tertiae ad quartam. r. In hae lisur ferie quantitatum coπriπue proportionalium ἔ, a, 4, 8, i 6, 3a cte. vel vice ver
33, 6, 8, 4, δ, , ratio primae 3a ad tertiam 8 es duplicata, seu duplo maior ratione ejusdem primae Saud secuodam i6, stive es aequalis duabus ratιοπibus 3 3 ad i6 , di r 6 ad 8 simul sumtis . V alio vero prim 3 a ad quartam 4 es triplicata rationis ejusdem 3I as 'fecuudam 36, seu es aequalis tribas ratiovibus 32 ad 36, i 6 ad 8, ct 8 ad 4 simiaI sumtis . Eodem modo.
ratio a ad aaa, es duplicata ratioris a a I aa, Qel Mad aaa; ratio vero a ad aaaa es, triplicara ratiouἰs a ad aa, vel aa ad aaa edic. a. Cavendum diligenter est, Ne eonfundatur ratio. duplicata ,stve duplata eum ratione dupla a vel triplata, At e triplicata cum tripla. Nam ratio *1 ad 3 , qax
est quadrupla, es duplata rationis 32 ad 36 , ut vidimur ; item ratio ra ad 4, quae est ociustia, est triplicata ejusdem 3a ad r6. Eodem pacto rotio 9 ad ι, qux
. Huiusmodi autem rationes ideirco dicuntur duplicatae , vel triplieatae comparatae ad alias, quod ex iis compouantur ; siquidem ratio duplicata alicuius rationis dicitur , quae ex duabus rationibus similibus es composita; triplicata vero, quae ex tribus. Musre Rati composita ex pluribus rationibus ea ess, quae es aequo
lii producto , quos exsurgit ex multiplicatione earum
216쪽
quae erit quautitas , flu exponens ratiouis ex illis tri bus compsμα .4. xuia tamen non omnes rationes numeris exprimi possunt; νmmo in iis , quae numeris exprimi ρυδunx, aliquando fractiones numerorum occurrum, cujusmodi
sunt rationes , quarum rationum quantitas N
integris expoNi nequit, laveniatur ratio eriluis composita alia uti possumus methodo, multiplicando nimirum ex una parte omues aute edentes, ex alia vero omnes co equentes, quorum producta, simus eo lata dabunt quavtitatem ratiouis compositae. aeuo. i
titer hae ratio -' composita ex tribus ratio-
a ad d,h ad f, c ad g. - s. Ruum dictum sit, rationem duplatam GP .'eompositam ex duabus ratiouibus similibus , triplatiam .ero ex tribus , atque adeo quadruplieatam ex qua-ruor ero. Iam manssum est omuem rationem duplicatam , vel triplicatam esse extam compositam, novi. vero e converso omnem rationem compositam es , . duplicatam , aut triplicatam. Nam ratio composta periam ex pluribus rationibur dissimilibus , ct minime proportionalibus, us in exemplis supra adductis patet a
217쪽
at ratio duplicata, mel triplicata cte. e milibus tantuna componi postulat, quarum termini sui in propomtiove continua, ut per se mavis um est.
6. Hinc etiam patet, quaut1ratem, seu expoπentem rationis duplatae ratisvis numeri ad Numerum esse numerum quadratum , nimirum productum evouentis duarum ratiouum aequalium per seipsum multiplicati , qui exponens numeris exprimituν, quando ea ratioues , ex gnibus componitur rario duplata , Dut ratioBes numera ad numerum. Conseat etiam , quaNtitatem ,seu expo- ventem ratiouis triplatae rationis numeri ad numerum es numerum cubicum , nimirum cubum exponentis
trium rationum similium cubice multiplicati . Mago quum ratio duesuta rationis 3 ad 6, nimirum 3 ad i a, sit jubquadrupla, ejus expoNeus erit numerur quadra tus , mmirum 4 , cujus radix a est exponens rationis 3 ad 6; ratio vero triplata ejusdem ratiosis r ad 6, nempe 3 o a , quia est suboriupta , ejus evoueus erit u merus cubicus , fellicer 8. Ex quo sequitur , rationem duplatam , vel triplatam ratiouis Numeri ad numeram esse pariter rationem numeri au numerum. . E coutrario, si exponenter ratiouis duplatae, vetu latae alicujus rationis suencisi non flux numeri quadrati , vel cubici , ratio semplex erit furia. Ex. g. x xexpsures huius ratiouis ' , qua es duplata ra-
218쪽
quantitatibus eontinue ρroporxionalibus rationem primae ad tertiam aequalem esse raιioπi quadrati primae, ad quadratum secunia , vel quadrati fescundae ad quadratum tertiae ἔ itemque rationem primae ad quartam aequalem esse rationi cubi prima ad euhum Pea dae , viet cubi fecundae ad cubum tertiae oec. G. g. ex his magnitudiuibus centinue proportionalibct - 2,
4, 8, I 6 cte. ratio 2 ad 8 aequalis es rationi quo es quadratam 3, ad i6, quod est quadratum 4. Item ratio a ad 16 in alis es rationi 8, qui est cubus et, ad 6 , qui es cubus Α, ct fio de ceteris . Hac
egussa intelligimur,hane rationem esse duplatam rase
rotiis a ad b, quoniam Qqualis est rat soni quadrati animirum aa ad quadratum h, scilicet hb. Ea de eau H
sa pariter hae ratio - es triplata rationis a h, . h h hquoniam aequalis es rationi enbi a ad cubuis h, ut patet .
quaenam magnitudiues sent commensurabiter , quaeIum vero uou item; quarum prima est Si ex tribus ma gnitudinibus continue proportionalibus ratio primae ad tertiam sit ratio numeri ad numerum , ct ejus eκponens si numerus quadratus, tres illae magnitudines continue proportionales erunt commensurabiles. Nam quum ratio primae ad tertiam aequalis sit rationi quadrati primae ad quadrarum secunda , si illius
exponeos fit numerus quadratus , etiam quadrata tri iam maguitudinum numeris quadratis exprimi poteruπt, quorum proinde radices habebunt rationem numeri adnumerum. Vide quae diximus ad de uitionem IV.
219쪽
d Inibus contInue proportionalibuS ratio prImae ad ter tiam sit ratio numeri ad numerum, at ejus exponens non sit numerus quadratuS, prima , ct secunda magnitudo, tum secunda, ct tertia erunt in seipsis in commensurabiles , & tantum commensurabiles in potentia . aeuum euim ratio primae ad tertiam sit oequalis rationi quadrati prima ud quadratum secvudae, si, illa sit rasio numeri ad Numerum , etiam ratio quad=iari prima ad quadratum secundae , erit numeri ad numerum ; at qumium litius exponeus non est numerus quadratus, quadrato prima , di Iecundae, . oel fecundae ct tertiα Numeris qxudratis exprimi non poIerunt , proludeque earum radices erunt incommensurabilis. Hac ratione diagonalis quadrati es iu-
commensurabilis latera ἔ vrde quae diximrus ad des IV. n. b Ex quo sequitur , radicem quadrati dupli alterius, pura dupli quadrati 9 , non posse numeris
exprimi. 1a I. Tertia regula es: Si ex tribus magnitudini-hus continue proportionalibus ratio primae ad tertiam non sit ratio numeri ad numerum , magnitudo prima , Si secunda, tum secunda , & tertia erunt , tum in seipsis, tum in secunda potentia incommensurabiles . In se quidem, quouiam ea ratio es surda , eujus dum plata non es numerus quadratus, ut ostendimus N. 7. In potentia etium, Nam quum ratio primae ad tertiam
earim sit , ac ratio quadrati primae ad quadratum secundae , vel quadrati secutidae ad quadratum tertiae , se haec sit surdu , etiam ratio primae ad tertiam erit surda . Tres ha regatae ad radices quadratagpertinevi; tres vero sequentes, quae tribas prioribus μmiles funi, atque eodem privcipio nitantur, ad rari
a. aeuarta regula est: Si ex quartior magni tudinibus continue proportionalibus ratio primae ad quartam sit ratio numeri ad numerum , ct numeris cubi
220쪽
cubicis exponatur, quatuor eae magnitudines erunt commensurahi s. Nam quum ratio primae ad nuarintam sit eadem, ac ratio cubi primae ad cubum fecundae , ex dictis n. 8 , si ea numeris cubicis evomatur , harum etiam cubi Numeris cubicis e rimi poteraut , quorum radices idcirco habeburet ratiouem Numeri adnumerum. Vide exemptum prost tum numera 6.i3. xuiuia regula est. Si ex quatuor magnitu dinibus continue proportionalibus ratio primae ad quartum sit ratio numeri ad numerum , ali ea numeriS cu bicis exprimi nequeat, prima , I secunda magnitu rido, tum siecunda & tertia, tum denique tertii , quarta erunt in seipsis incommensurabiles, S tantum comine iturabiles in tertia potentia , scilicet in cubo. Hae de caussa radix cubi dupli alterius, puta cubi,
qui Iu duplus cubi θ, numeris exprimi non potest ι quodo ιbui duplus cubi ου, nempe ah, Numero cubico uo si
. vi t. Sextu reguse es: Si ex quatuor magnitudinibus continue proportionalibus ratio primae ad quartam non sit ratio numeri ad numerum 3 prima, S. secunda mabnitudo, tum secvdda , &.tertia &C. erunt tum In seipsis, tum in tertia potentIa incommen Iurabiles Siquidem marauudiuer fugu iraecom meusura&Dr.. tam tu fς , tum in potentia i , quaru ctibi eam habeut ratiouem, qua Numeris exprimi nequi t, ut a udi s N. 7.
buutur , ubi Nimirum theoremata , quae iis innituntur, erunt demonstranda. Et quouiam is eorundem theorematum explicatione aliam ab ea , quam Euel des, ejusque uterpretes renuerunt, viam, ac ratioNemo imus, novoulla axiomata, quibus passim utendum nobis erit, hie poπemuo.