장음표시 사용
221쪽
I. At Iones aequales eundem habent exponentem. 6 Siquidem exponens rationis exprimir easdem eatiouis quantitatem , quae in rationibus a dialibus radens est. II. Eadem magnitudo nequit esse exponens nisi
III. Si aequales magnitudines per eandem multiplicentur, earum Producta erunt aequalia . Hoc axi
ana 63 idem fere, ae fecundum libri primi; multi secatio enim nihil es aliud, quam quaedam additionis species. IV. Si aequales magnitudines per eandem dividantur, eae dabunt quotientes aequales. Hoc item axioma idem es ae tertium libri primi ; quam misissi quaedam subtractionis species. 'V. Si inaequales magnitudInes per eandem stomsum multiplicentur, earum produm erunt inaequalia. Hinc si a , ct 3 feorsum multiplicentur per 4 , productum Φ ρον , vempe Ia, major erit moducto aper ε, scilicet S. VI. Si ina quales magnitudines per eandem seorsum dividantur, harum divisionum quotientes erunt inaequales. Hinc notum numeri r 6 divisi per et, ni mirum 8, major es quam quotios cameri Ia divisper
222쪽
IN qualibet roturae terminas major aequa Iis es termino minori multiplicato per quo uentem eiusdemi m-1, i ni H ii divis per m
Dido, si in hac radioe h οβ δ-xl, -- stomnimus esse majorem , vividatur per. b , ωrmivum is es aequalem termino inlaox. ustissiculo per quotientem divisionis ejusdem d. Id autem evideui es ex iis, quae, diximus tu a clebra compeuio, j. S. Si enim ditii.
q, mastiplicato divisoreth per quo Ontem q, productumo aequuti erit Magnitud si ividenda , scilicest d, quod
ostendendum susceperamus' i φ . is i
Hine eolligi potes, exponentem iratiovis esse quo rientem termini majoris divisi per mirare ine expo-πens rarios is S ad d, seu od qb, est qι nam i baec ma-Dnitudo νxprimit, quotira bcc-ολωίar in d, tit dixi, mur ad de . m. Hunc autem quotieutem termini ma joris Lilli per minorem .eiarito6R eratia , vocabimus q. Eandem ob rem in exemplis , quα asseremus, consequentes rationum ponemus majores et antecedenti hus a nam Me coπsequens poπatur major , sive minor
antecedente , id periνδε se haber ; si enim h esset maseoν d, esset h ' qd per eosdem demouserationem. Sex priores Euclidis 'Propositiones in nostra me thodo misime sunt Mecessanae .
223쪽
IT ' Quales magnitudines eandem rationem Iri habent ad tertiana quampiam ἱ M'. cissim haec eandem ad Quales.
V Dico t, si fit 6 Ρd, eandem esse ratio m bad tertiam quampiam , puta m, ac d ad eandem ma quare
Quoniam b est aequalis d, si tertia magnitudo πdividatur per b, & quotiens divisionis sit q, eadem magnitudo ρ erit quotiens eiusdem, - divisae per a per ax. 43 Quocirca ρ eris expone Quiriusque' irationis h ad m, Sc d ad m t per Lemma praecedens)S proinde eae eruiid aequales c pre a quos pri
Dleo et, si sit β π H esse m brem, . Id autem evidens est ex superiori demonstratione siquidem lintraque magnitudo.b Set d per m divitatur , ide A. erit iitriusque divisionis quotiens sper Ox- quos
224쪽
THEDREMA IS MAgnitudines, quae eandem. rationem hau
dent ad tertiam, sunt aequales; item que illae, ad quas tertia quaepiam eandem hahet rationem, simi Squales. : i o. 'Dico eadem sit raaIo , ad m, ac d ad m ,
- ι . Quoniam duae rationes A ad insunt aequules , idem erit utriusque quotiens , .seu e XPODengsper nae. r. videlicet D 4rquei adeo po Lemma I. erit se ' m, non minus ac qd BD, proindzque per axi. I. libr. . erit qb ' ρd, quae ambo si dividantur per ρῖ remanebit c per ax. 4. b ' d, quo
225쪽
THEOREM AI XI. R Attones, quae aliculi rationi sunt' aequaP
les, sunt inter se aequales. iDieo, si ratio h ad d aequalis fr ratIoni x ad e, Itemque ratio f ad x aequalis sit eidem rationi x ad x orationem , ad d aequalem esse rationi f Mdg. seu esse
tioni x ad M, exponens rationis i ad d, seu quotietens consequentis ae divisi per θ, orit idem spe .am 4.2ac exponens rationis x ad E, seu quotiens consequentis et divisi per x, en g. q. Et quoniam ratio X ad meadem est , ac ratio fad g ex Θp. b exponens au tem rationis x ad Z est ρ, etiam exponens rationisfiar erit' per axi. 3. Quum igitur q sit exponensetationis h ad minus ac rationis fati g, haprationes erunt aequales c per axi. a. quod Osteν π dum susceperamur. . - . i
226쪽
SI plures magnitudines sint proportionales.
eadem erit ratio unius antecedentis ad suum consequentem , ac summae Omnium ante. cedentium ad summam omnium consequentium. Dico, si sint quatuor magnitudines Proportiona
Quoniam b est ad ri ut f ad x , idem erit perax. I. exponens , seu quotiens consequentis d divisi per b, ac consequentis g divisi per f, V. g, Τ quare c per Lemma i. Idem eriτ b , d ac b, ρb et et L . Si itaque addatur primo antecedenti balter antecedens L Sd consequenti d, sive qb, alter consequens g, sive os, eadem erit ratio b - - fad dac θ - - f ad que es. V. Ostondendum inodo est rationem b -F. I ad. q, - - σ aequalem esse rationi h ad d. Dividatur primus consequens que V per primum antecedentem bH A quotiens hujus divisionis erit; q , nam si multiplices F f per q, produruim erit que '' U. Atqui quotiens alterius consequentis s
227쪽
SI ex duabus rationibus aequalibus alterast major tertia , altera etiam erit major.
tertia . Haec propositio per se evidens est , quum si co sectarium axiomatis II. Si enim ex duabus rationi-hus aequalibus , idest per axi. r. eundem expo- uentem habentibus , altera si maior tertia , ejus exponens sper des. 7.ὶ erit major hujuslexponente ; &proinde etiam exponens alterius sibi aequalis exponente ejusdem tertiae rationis maior erit, alias eadem magnitudo esset exponens duarum rationum inaequalium, , quod est absurdum sper ax. a. . ι . c
S I qu ruor magnitudinum proportionalium,
prima est, vel major, vel minor, vel aequalis tertiae, secunda etiam erit major , vel minor, vel aequalis quart*,..
Dico ι, si ex quatuor magnitudinibus Proporti natibus b, d, A g, primus antecedens h sit major secundo antecedente L primum consequentem desse quosque majorem secundo consequente g.
228쪽
. Quoniam b, AE: et K, g, cev Θ tb. idem et Iequotiens consequentis a divisi per b, ac consequentis e divisi per sc per axi. r. 9 sit igitur utriusque rationis aequalis ex Ponens q2, quocirca erit ρ, 'ae, non minus ac re 'm atqui b major est, quam fieκ p. ergo sper ax/ s.; qb, seu d major erit re, seu quod primum erat Ostendendum. Dico et, si in hac proportione b, d :: L R, primus antecedens b minor sit secundo A primum consequentem d minorem esse secundo g. 4' ' DEMONsTRATIO.
. Manifestum est, ut In superiore demonstratione, esse ρὼ -d, non minus , quam V R I atqui , minor est, quam ic ex Dp. 9 ergo ρb seu minor erit qH seu g cper ax. s. quod serandu- erat osten
Dico 3, si in hac proportione b, d r: Ag, pri
. Manifestum est, ut in prima demonstratIone, esse que ' d, non minus , ac U g; atqui , est aequalis
229쪽
, productum extremoriam aequale erim producto medior m . . , si viso , si qaaruor muri sines b, d, f, g, sicli
proportionales , productum duor m extremarum is, mi
aequales c ex hyp. 9 eu em habebunt exponentem, per ax. r. aeuare se q po tur esse exponens rationis h ad d; idem erit etiam expone 1 rationis sad g; iae proinde sper Lemma I. erit qh ' cl, non mimus, ac clf - g; itaque Baec proportio b, det: .f, g sic exprimi poterit b, qb :: G qf, atqui tu hac proporrione , b , qb :: L qf, productum extremorum h, ct qf idem es , ac productum mediarum qb , O G videlicet qbstergo in priore esiam erit bg 'dsi quod erat ostendendum.
SI in quatuor rara itudinibus pro Sam
arum extremorum aequale M producto mediarum , eae erunt proportionain. -
eo , si is quatuor munituAni di 0 Dproductum duarum extremarum , scilicet hg, aequale μproducto mediarum nempe ds, eas esse proportionalM.