Elementa geometriae ad usum collegii imperialis nobilium RR. PP. Teatinorum ab imp. Caesare Carolo 6. Hispaniarum ... opera, & studio Jo. Baptisatae Naeuii Vicentini ..

241쪽

altitudinis sunt inter st, u uemadmoaum

Dividamur hi fariam ambae hases CB , min punν His F, G, binganturquae rectae M. DG ἔ mlo facto , manifestum est, duo. triangula; FAC, FAB esse aeq La. f. per i . . a non minus ac duo G .. C Unda totum triangulum ABC erit duplum trianguli ΛBFε. vel ACF, quemadmodum, basis BC indilyla basis BF, vel FC per eousex. J S insuper tum triangillum C DE 'erit duplum erianguli CDG oves, GDE ut hasis CEdupla basis CG.' FH quo. concludi pex s. S. 1 rationem, bass&BC, Mini Sinaeium BF aequa Iem esse rationi trianguli, Amad arimnsum ABF4ω similiter rationem bassi CEi ad sui dimidium qualem esse .rationi trianguli CDE: ad sui dimidium

rationi CE ad CG; ct similiter ratio trianguli ABC ad triangulum ABF aequalis est rationi trianguli CDE Qtrlangulum C , proportio , quae est inter quattio

triangula ABC , MF , CDE, CD. similis est pro-

242쪽

portioni.quae est inter quatuor lineas BC, M, CE, CGς quare permutan per 36. S. proportio, quae est inser quatuor triangula ABC, CDE, ABF, CDG , erit aequalis proportioni,quae est inter quatuor lineas BriCE, BG CG; prohoeques primum triangulum RBC erie ad secividum CDE, si eut prima halis BC est ad alteram. CE , quod primmis eradi ostendendum. Dico a. Parallologra n ma eiusdem attreudinis esse in eadem latione j irequa sunt eorum bases; id quod me evidens es h per Insci Nam qirim parat talogramma sint dupla triangivorsio eandem has m habentium, ac intra ea em parallelas contentorum' c per 37. r. aerunt in eodem. rarione , in qui furit eadἡπr Iriangula; od iamonstra Dein Spererat. '

vis para IIeia, haec linea duo latera trianguli, in quae incidit, Proportionaliter secabit. Si vero duo latera trianguli proportionaliter fieri su vint , recta linea ea proportionaliter mans erid

243쪽

I ri

244쪽

Inea trianguli angulum bifariam divideos, si in basipi. intinar , id sis segni ep ta eLu Di illateribus trianguli Pro sortionalia. lii vero linea hasim trian guli promi tionaliter comparate ad latera dividat, angulum hasi obro si tum bifaria hi

. Dic' I, rectat AD- ta6. 4. angulum si BAC trianguli ABC bitariam dividat, eandem produmetam ita basim BC lecare debere, ut pars BD sit ad

si ni . ci 23 i' Q l . R. LI. o moniam triangulum AB Sust i sceles oster ston . . sim S E.*avalis e rit angulo ABE LIM . Mori quom orsum simit, proindeque anguli ABE ; quare duo anguli alterni ΑBE , BAD erunt aequales, ct sper 37. I. recta AD erit rectae ΒΕ parallela; atque adeo sper 2. In triangulo BCE ratio duarum partium CD, DB s-milis erit rationi duarum CA, AE , seu CA, AB; quos primum erat ostendendam.

245쪽

DIeo 1et,l s ratio BD ad DC aequalis sit rationi AB ad AC, anguium BAC ese hilariam divisum. DEMONSTRATIO.

Eadem manente Praeparatione ; quoniam ratio BD ad CD aequa is est sex bp. rationi AB ad AC, vel AE ad AC, liriea AD est para Hesa hasi BE trianguli BCE sper a. S sper. 9. a. angulus BAD aequalis ethangulo alterno RE, ac proinde etiam angulo Eipsi. aequali sper consim) Quumque angulus BAC sit due plus anguli F l per 3 . t. erit quoque duplus anguli BAD , qui idciroo erit aequalis angula CAD ; quodosiodendum susceperamuι.

THEO REMA Iv. Riangula sibi mutuo aequiangula latera

Dico, si vina triangula ABC, BED A. t 8. ra. 4.ὶ sint aequiangula, i aut anguius Λ- trianguli ABC sit aequalis angulo DBE trianguli BDE , angulus ACB angulo BED, angulus denique CBA , angulo EDB . rationem duorum laterum AB, BD, quae angulis aeqv 'sibus sunt opposita, aequalem efferationi duorum B DE, &insuper rationi duorum ΑC , BE, quae aequali'

246쪽

Collocentur duo triangula , Ita ut duo latera Α BD sitir in directum opposita ; deinde producamur duo latera ΛC , DE donec sibi occurrant in F.

DEMONSTRATIO.

Quoniam ABD est recta linea i ster eon . I ' an gulus ADF aequalis est angula. ABC s ex hyρ. , line is B erit sper 28.3-ὶ parallela lineae DF. Similiter qiioniam angulus A aequalis est angulo DBE , linea BEerit parallela lineae AFι Quare figura BCFE in para telogrammum , cuius duo latera BC, EF sunt inter se aequalia sper 34. r. non secus, ac duo opposita BE, CF . Ergo in triangulo ADF, ob lineam BC parallelam lineae DF, ratio AB ad BD aequalis est: per a. in ra. tioni AC ad CF, vel BE Ipsi aequali; itemque ob lineam BE parallelam lineae AF, ratio DB ad ΒΛ aequalis est rationi DE ad EF vel BC; quod operis retium erat demons rare.

Εκ hae demonstratione sequitur , rationem AC ad BE aequalem esse rationi BC ad DE , t per i l . s. quum ambae rationes sint similes , seu aequales ratio ni AB ad BD. i

COROLLARIUM II.

247쪽

atre BD, AC, BE sint pra monalia, permutando etram proportionalia erunt , hoc modo ΛΒ, ΛCr: BD, BE. Ex quo concluditur, triangula omnia , quae sibi ma- tuo sunt aequiangula , esse similia c per def. i.

THEOREM A V. TR iangula , quae latera habent proporri '

nalia, angulos etiam, quibus eiusdem rationis latera subtenduntur, aequales habent. Dieo, si in duobus triangulis ABC, BDE trig. i 8.ιab. 4. ratio duorum laterum AB , BC aequia is strationi duorum DB , DE, At ratio duorum AB, AC

aequalis sit rationi duorum BD. BE ,jhaee duo rimiangula esse sibi mutuo aequi guu ἔ qu circa Ugulua A aequalis erit angulo DBE, anpulus ABC angulo miangulus denique ACB ingulo BED, quibus eiusdem rationis latera subtenduntur . . . I S a is s

, Fiat ister 2 . I. in extremo B lateris BD angit. Ius DBG aequalis angulo A ; ct ab extremo Dangu ius BDG aequalis angulo ABC quocirς eti m MLu'. ius G aequalis erit angulo ΛCB per 3z. r. λ

DEMONSTRATIO. Quoniam duo triangula a BC, BDG sunt aeqv angula c ster eo/ν r. ) eadem erit ratio laterum AB. BC trianguli ΛBC, M laterum s , DG trianguli BUO tat per 4 a Se quoniam eadem est ratio duorum lateri rum ΛΒ, BC trianguli ABC, M duorum BD, PE

248쪽

tionem duorum laterum BD, DE , aequalem esse rationi duorum BD, DG; 8t c per i . s. aequale esse lateri DG. Eandem Oh rem ratio duorum laterum BD, BE aequalis erit rationi duorum BD. BG , quoniam ambae rationes sum aequales rationi duo rum laterum ΑΒ , AC; quare la ita BE aequale erit lateri BG per i . atque adeo triangulum BDG, . quod eit aequiangulum sper couffr. triangulo ABC, erit aequiangulum cistet is, i. triangulo BDE, quod proinde erit pariter triangulo ABC aequiangulum , I quod demonsrare oportebat .

PROPOSITIO VI.

SI triangulum angulum quemlibet angulo alterius trianguli aequalem habuerit, & latera circum aequales angulos proportisnalia suerint; ambo erunt sibi mutuo aequiangula.

Dico, si angulus A trianguli ABC lsu. 8. to . 4. aequalis sit angulo DBE trianguli BDE , S satio duorum laterum ΑΒ , AC trianguli ABC aequalis sit rationi duorum laterum BD, BE trianguli BUE , haec duo triangula esse sibi mutuo aequiangula.

DEMONSTRATIO.

' Manente eadem praeparatione , ut supra; quoniam duo triangula ABC, BDG sunt aequiangula sper eo In ' ratio duorum laterum AB, AC trianguli ABC aequalia erit rationi duorum BD, BG trianguli BDG s mr 4. & q uo niam etatio eorundam laterum ΛΒ , AC aequalis e stc ex MAJ rationi duorum BD, M trianguli BDE . -TAa E e a tui

249쪽

allo

evidens est , rationem Bo ad BG aequalem esse .c per i t. s. rationi BD ad BE , & per i . r. latus BG aequale esse lateri BE 3 quare ob angulum DBG aequalem angulo A s per eoaOD. Sc proinde angulo DBE, triangulum BDE per 4. r. erit aequi angulum triangulo BDG, ct proinde etiam triangulo ABC 3 quod ostendendum susceperamus. Propositio VII inmitis videtur .

T HE REMA VIII. IN triangulo rectangulo recta linea ab anguis Io recto ad hypotenusam perpendiculari te; ducta illud dividit in duo triangula tum

Quoniam angulus BAD trianguli ABD rectus est eν summa reliquorum duorum angulorum B, S ADB, erit aequasis uni recto cper 3 a. r. proin deque angulo BL C s ex hyp. Igitur, sublato commu m angulo ADB, remanebit angulus ABD aequalis an gulo AD C. Eadem ratione demonstrabitur , angulum C aequalem esse angulo ADB. Ex quo patet duo tri angula ABD, ADC esse aequi angula tum inter se, tum

triangulo BCo; de proinde esse similia sper 4. quod

250쪽

A Data recta linea finita ordinatam partem

ordinata pars hic dicitur Pars aliquota , quae bis vel pluries repetita suum totum ex aequo metitur. UIgitur a data recta AD s A. 34. xab. 4. abscindatur ex. g. tertia Para, ducatur a puncto A recta AE indefinita , atque in ea sumatur ad libitum pars AC , secenturque in reliqua linea CE diua partes aequales ipsi AC, nimirum CF , FE 3 deinde a puncto E ad punctum D extremum' datae lineae AD ducatur recta ED; denique a puncto C ducatur recta CB parallela rectae FD; quael linea; Λ D secans Ir puncto B, da bit partem ΛΒ , quam inquirimus. ν : V l : I, 111. IJ

DEMONSTRATIO.

umniam duae rectaebBC, DE, sunt parallelae spereonser. , angulus ABC erit aequalis angulo ADB Oera'. l. & ob angulum .icommunem 3Α ς triangillum - ΛBC erit aequiangulum eriangulo ADE sper 3 a. s. νIgitur ratio duarum linearum AE , AC aequalis erit xationi duarum AD, AB sper 4 quumque AE sit tri