장음표시 사용
251쪽
Ut di Uidatur linea AC s m et . b. ea ratione , qua linea AD secta est in E, jungantur duae datae liheae: AC, AD in puncto Λ, jundiaque recta Ca, ducatura puneio datae sectionis E recta EB parallela lineaeCD,quo . Deio paries ΑΒ , BC erunt proportionales partibus AE,ED Per a. quos erat saciendum , γ demonserandum. ι
uabus datis rectis lineis tertiam proportio
natem invenire. Ut duabus datis AD , AC triret s. tab. 4. InVenia tur tertia proportionalis , ex his fiat singulus quiquum' que Α , simplaqueisuper majore AD parte AE aequalic minori lineae AC , jungantur duo extrema D, dc Cper rectam CD,atque a puncto E dueatur tecta EB parablata rectae CD, quae dabit rectam ΑΒ , quae erit tertia proportionalis , quam inquirimua .
252쪽
Quoniam duo triangula ABE, A CD sunt aequi angui, per 3 a. r. ob angulum A commune', & Ob anguintum A BE aequalem anguis ΑCD cm s . i. ratio duorum laterum AD, RE, seu AD, AC iper consis. aequalis erit sper 4. , rationi duorum AC , AB , quare urit B AO, AC, AB a quoi sacere , ostendere opor
Haec problematis constructio ostendit, quomodo invenienda sit duabus datis lineis tertia proporti9na iis minor. Quod sit datae sint ditae rectae AB, AE ij j. 23. tab. 4. quibus tertiam proporis alam' majorem invunire oporteat . prostucenda est linea. ARin Cota ut AC sit aeqtralis AE; junctaque rectab Βε pene Ciducenda est ructa CD ipsi BE parallela , 'quae. Oecur rem rectae AE productae in D dahito rectam AD, quae eriv teretia Proportlanalis, quam inquirimus ,.ur adhi-hita eadem depronlisatione liqueria o ta HO ἰυγοῦ
Ribus datis resus lineias quartam proin, a
253쪽
D dabit rectan quae era auaria pyoportIonalis, quam inquirimus ; siquidem Ob duo triangula aequiangula ABC, ADE , eadem erit ratio duorum laterum AC, AB, ae duorum AE, AD cper quos erat faciendum, oe Minonstrandum. l . Eodem modo inveniri potest tribus datis rediis AD, AB. ΑE quarta proportionalis minor , ducendo nempe a puncto B rectam BC parallelam rectae DE.
Duabus datis rectis lineis mediam propor
tionalem invenire a Dur . .. - Utyinveniatur media proportionalis inter duas rectas AB, AC, i A. statuantur hae in directum, fiatque unica recta BC, circum quam desimi. hatur semicirculus BDC; denique a puncto A excitetur recta AD perpendicularis rectae BC , quae erit meudia proportionalis inter duas rectas AB, AC. . ia
Si jungantur dux rectae BD, CD, apparebit, an tutum BDC esse rectum sper 31. 3 & t per 3 lineam AD esse ni Jham proportionalem inter B , AC et linam Oh duo triangusa similia ABD, AC Da rati'.AB ad AD aequalis est rationi AD ad ΛC a quo sacere, O
254쪽
P Ara telogramma sequiangula , di aequalia latera habent rec Proex; qm e sum item aequiangula, di latera habent reciproca, ea sunt
- Dico Si duo parallelugramma AH AG Am-19. tub. 4 3 sint aequiangula , & aqualia, ea lam etaeationem lateris Al parallelogrammi AH ad latus AB parallelogrammU AG , ac rationem laturis AE ejusdem parallelogrammi AG ad latus AC prioris parallelo
ti Statuantur duo parallelogramma ΑΗ AG , haut duo latera AD, AB unicam rectam constituant, uo casu etiam duo AC, AE erunt In directum coninituta pκ smir. ohi appulu C6 a ualem angulo BAE ex D Deinde producantur duo latera HC , GB , donec sibi occurranL.in F , itaut eff-ciant parallelogrammum ΑF.
Quoniam duo parallelogramma AH , AG sum aequalia tex Θp. eandem habebunt rationem ad pserallelogrammum AF t per 7. s. Et quoniam. per t. parat logrammum ΑΗ est ad parallelogrammum ΑFl ejusdem altitudinis , ut ham ΑD est ad basim AB; militer parallelogram mm AG est ad idem parallelogrammiam AF ut hasis ΑΓ ad hasim ΛC manifestum est, rationem duarum linearum AD, AS aeau
255쪽
sta lem esse rationi duarum AE AC per tr. s. quod
primum aerat dexioustratindam' Dico a , si duo parallelogramma AH , AG sint aequiangula, &Iatera. habeant reciproca , ea esse inter se aequalia.
Manente eadem praeparatione, ut supra ς quoni- ni AG ad eundem AF . Quare sper 9. s. duo pinrallelogramma ΑΗ , AG erunt aequalia ; quod demo
prandum supereraδ. :. .. Hac ferme ratione osendunt Mechanies duo ma-dera mole inaequalia quae sunt n ratio e reciproca molis , est' velocitatis , esse ;n om librio , seu tantundem motus esse tu uno , ae in alio ἔ nam quantum corpus majus vineti mole corpus clivus', tantum ab eo Neiscitare superatur. ζ ' - e i
TR ian mu-aequalia aequalem angulum ha
bentia , quae circum aequales angulos hahent latera sunt oeciproca; α quorunx utera Tircum aequales angulos sunt reciproca ea sunt aequalia. Dico 3, si duo trianaula ABC , DSE t si ast.
rab. 4. ) sunt aequalia , ' an uias ABC aequalis eliangulo DBE , rationem laterum AB. BD aequalens et Ie rationi laterum EB , BC.
256쪽
Statuantur haec duo triangula. . ita ut duo latera
Quoniam duo id angula ABC , D32 sunt aequa Ita sex ιπ.ὶ eandem habebunt rasonem ρd idem triangulum ABE sper 7. s. Et quoniam's fere i, 3 triangulam ASE . est ad griangulum ABC aeis em a titudinis in A, ut basis EB ad basim BC , & sunt ter idem triangulum ABE eth ad triangulum DBE item ejusdem altitudinis in E , ut btas AB ad hasim BD, sequitur c per M. Da rationem AB, ad BD ualamis 4sse rationi EB s. ad BC , qaod primum etasipylauden
dum . i a Dico et, si duo anguli ABC, DBΕ sint aequin Ies, ct quae circum ipsos sunt latera sint In ratione reciProca , duo triangula ABC, DBE esse aequalia.
Manente eadem p neparatione, ut supra ς quoniam
ratio AB ad BD aequalis est rationi EB , ad BC , c eo. Hρ- ratiui trianguli ΑBE ad triangulum ABC aequalis erit rationi ejusdem ABE ad triangulum ΛBD per I quum emum verticex in idem punctum dest nanti proindeque 'per 9. s. dum triangula ABC, DBE erunt aequalia fi quod oseudodam supererat.
257쪽
THEOREM A XI. iSI quatuor rectη lineae proportionales fuerint ,
quod Iub extremis comprehenditurctangulum aequale est ei, quod sub meatis comtinetur e vicissim si rectangulum, quod fit sub duabus extremis, aequale sit et , quod fit sub duabus mediis, hae quatuor linφη erunt Pro
portionales. - I . E A 'im. Dicoe .r, si quatuor dinem Allin, AC, AD , RE M. 19. tab. 4. snt proportionales , quod sub extremis AB, ΑΕ continetur rectangulum, videlicet ΑG, aequale esse rectangulo AH . quod sub medus AC , AD Mtinetur . Haec propositio est e trirrum Lemmat, a II ,& UI Libri V, alia tamen ratione hici dumonstra
Quoniam ratio AB ad AC aequalis est rationI AD ad AE exhU.)haec. duo rectangula ΑΗ, AG erunt reciproca per des a. θ quumque sint aequiangula cnν opustr. ) erunt aequalia per promum osseu Dico a , si rectangulum'AG, quod fit sub extremis ΑΒ , AE, aequa e M rcyangulo AH , quod fit sibraediis AC , AD , quatuor lineas AB , AC, AD DAE. esse proportionalas . Id autem ostii se patet, namqtium sint aequi angula, S aequalia i x 'm. latera in ratione reciproca per i . o quod oseudendum super
258쪽
Duae lineae intra circulum sese mutuo divi lentes sese dividunt in partes Ieci Proce proportionales, nam rectangulum sub pa tibus unius aequa est rectangu-
gulo sub partibus alterius cper ) Hinc patet, quatuor lineas ΑΕ , CE , ED, Es Me f. rab. quae
sunt partes duarum linearum AB, CD in circulo sese mutuo dividentium, esse proportionales.
Si duae lineae a puncto aliquo extra circulum sumto ad circuli eircumserentiam concavam producantur, ut AB, AH A. 4. tab. q. ambae tota, &earum partes exteriores' erunt reciproce proportiona
ies ; Sc proinde eadem ei it ratio lineae AB ad lineam AH, ac partis ΑΙ sad partem AC; nam reeiangit tum sith tora ΔΗ, & parte exteriore Λ I aequale est ster 36. 3. irectangulo sub tota ΑΒ, & ejus parte exteriore AC.
THEOREM A XII. SI tres lineae sint continue proportionales, rectangulum, quod fit sub extremis, aequale est quadrato, quoa fit sub media . Vicissim si quadratum, quod sub media sit , sit aequale rectangulo , quod fit sub duabus extremis, hae
tres lineae erunt continue Proportionales.. i Propositio haec est corollarium praecedentis; quandoquidem tres ilineae continue. Proportionales aequi 'am L l l lent Distrigod by Coral
259쪽
tent quatuor proportionglibus , quarum duae mediae sint aequales, quo casu rectangulum quod fit, sub meis diis erit quadratum aequale rectangulo, quod fit subcxiremis sper ι 6. .
' Hine inferri potest, lineam AE M. 4 ,
circulum C EB tangentem esse mediam proportionalem inter totam secantem AB ab eodem puncto A ductam, S partem exteriorem AC ; quoniam rectangulum sub rota AB, S parte AC Nquale. est per 36. 3 qua drato tangentis ΑΕ.
Uper data recta linea rectilineum describere simile alteri rectilineo dato. i 'In dato rectilineo ABCD lAg. a . tab. 4. ducaturo lagonalis BD; fiat autem in puncto E rediae EF annulus E aequalis angulo A per lineam EH ,& in puta Elo F angulus EFH aequalis angulo ABD . Deinde fiat angulus H FG aequalis angulo DBC, S angulus FH G aequalis angulo BDC; quo facto duae lineae, quae sibi Occurrent in G, essicient angulum GCequalem anguis C sper 3 a. r. & tota figura EFGH similis erit dato rectilineo ABCD. , . P
E videns est per conser. J duo rectilinea ABCD, EFGH esse aequiangula. ς siquidem duo triangula uni us sunt aequiangula dyobus triangulis alterius. Mani
260쪽
festum est e tum cster 4. rationem duorum laterum ΑΒ, AD aequalem esse rationi duorum EF , EH ; eandem ob rem rationem duorum CB, CD aequalem esse rationi duorum GF , GH . Ostendendum modo est, rationem duorum BA, BC aeqnalem esse rationi duorum FE, FGI S similiter ratione rei duorum D A. DC aequalem rationi duorum HE, HG. Quoniam in duobus triangulis aequiangulis ABD, E FH ratio duorum laterum AB, BD aequalis est rationi duorum EF, FH per 4.b & similiter in triangulis aeqii angulis BCL , FGH tatio duorum uate. rum BD , BC aequalis est rationi duorum FH , m , manifestum ei , tres lineas BA, BD, BC esse in proportione ordinara cum tribus FE , FH, FG ;&prolia. de sper a a. s. rationem Primae ΒΑ ad tertiam BCeκ una parte aequalem esse rationi primae FE ad tertiam FG ex altera. Eodem modo flemonili ari potesst, ratio nem duarum linearum DA, DC aequalem esse ratio. ni duarstm HE HI a quod facere, o 'ostendere opus
SImilia triangula sunt in ratione cluplicata
rationis suorum laterum homologor m.
- Lari rathomologa Vocantur in i figuris uim di istin, mitti ae ili alibiis angulis subtensurirur . Hinc si euot langula ABC, DEF-28. tob. 4. smii Ia. sint , sint aequiangula cρ dito latera in C ,, DF , quae Entulis aequalibus B , R E subtenduntur , erit ut . hcimologa ; Idipsum dic de duobus i AB., DE iquaesulis tenduntur duobus angulis aequalibus C , & F Sc. His praemissis .