장음표시 사용
261쪽
Dico, rationem duorum riangultiruni ABC, DEF esse duplicatam, seu duplo majorem ratione duoriinu, laterum homologorum V. g. AB, DE. Adeciut si inveniatur c ris. hisce duobus lateribus inrtia pro portionalis AG , triangulum ABC erit ad triangulum DEF, ut prima proportionalis ΑΒ ad tertiam AG,ue observatum est ad Defin. X Libri V. . . .
Quoniam duo triangula ABC, DEF sunt aequiangula s ex Θρ. ὶ ratio duorum laterum Λ C, DF aequalis erit rationi duorum ΑΒ, DE, quae pariter aequalis est rationi duorum DE , AG per coiυν. quum ibnea AG sit tertia proportionalis respectu duorum ΛΒ, DE. Quare ratio duorum laterum AC, DF erit aeqv et iis c per ra. s. rationi duorum DE, AG , atque adeo duo triangula.ΑGC , DEF duo latera habebunt circa aequales angulos Α, S D reciproca ἔ& proiade erunt aequalia i per i s. J Quum igitur triangulum ABC sit ad triangulum A GC ejusdem altitudinis , ut hasis AB esst ad hasim ΑG, per t. sequitur, nanguiam ABC esse ad triangulum DgF ; ut prima proportionalis AB est ad tertiam AG ; quod erax opendendum.
Ex hac propostione sequitur, triangula sibi momo aequiangula esse inter is , ut quadrata suorum i terum homologorum ἶ quum enim quadrata sint inter se , sicut so I dimidia i per i s. s. si eorum dimidia , ni imirum triangula similia , sunt in ratione duplata ra tionis su rum laterum homologorum, idipsum de quae
262쪽
SImilia polygona in similia triangula.dividunia
tur, & numero aequalia , ct totis proporti malia; & insuper similia Polygona sunt in ratione duplicata rationis suorum laterum homologo
. . Dico I, Si duo polygona ABCDE , FGHIK crima9. tab. 4. snt similia, ea in totidem triangula teque dividi posse , quae erunt tum inter se similia, tum quodlibet erit pars similis sui polygoni.
Duciis rectis DA, DB, IG, I F, manifestum est per 6. J duo triangula Am , FRI esse similia ob aequales angulos Ε, Κ, obque duo latera EA .ED proportionalia duobus lateribus KF , XI ex ep. Eadem ratione osteindes , triangulum BCD smile esse triangulo GHI;eκ quo inseras licet'; reliqua duo triangula ABD, FGI esse item smilia , quum sint shi mutuo requiangula, ob angulos, qui fiunt in punctis A, B. D, aequales iis qui fiunt in punctis F, G, I; quod primam erat Oseeudendum. Uta se Z, Duo polygona similia ABCDE , FGHI K. esse in ratione duplata rationis tuorum laterum homolci-gorum. Quod sane evidens est 3 nam triangula , ex quibus constant, quum sint similia, ut modo ostensum est, sunt. per i 9. in ratioue duplicata rationia suorun laterum homologorum ς quumque singula sint part smiles duorum polygonorum , earum tota, scilicet duo Polygona , erunt in eadem ratione per I s. s. quoudemonstrandam supererat. Cg CU-
263쪽
Polygona similia sint inter se , ut quadrata suo-rtim laterum ; id autem ex praecedents P Position ν
Si quis velit poluosum angere secandam catam ratiovem , v. R. st quis quarat polmosum quadruplum aueros, daplicanda erant omnia latera, si uonvivis triplicanda , cte. Nam ratio daptata ratiouis duplae est quadruplis, ratiosis triplae nonupla , ut notavimus ad definitionem x libri V. Si quis autem ρ αυδ ροθgnum duplum aDerius , si is fit regulare , duplicato uno luere , iuventruda es media proportionalis inter idem Iatur , ct ejus dupiam , quae enix tatus γ' si si vinro sit irregulare , tot mediae proportiouases sunt iuUe-πieuda , quot sunt Hur latera , eua Ha disponi debent, ut angulos singuor motis pol oni dori avgutis aqua os cyriaut,ut dioeulistis in propositione xisis. Id aut mrotam ex hac proposisione consequitur , ut potet.
Ouae eidem rectilineo fiant similia polygo
na, ea inter se sunt similia . Dico, si duo rectΠrnea ABCD, IKLM c M. M .
tab. 4. sint similIa renio rectilineo EFGH, ea etiam sibi mutuo esse si mitra. Id autem evidens est ἰ nam omnia in totidem tri Engula aeque dividi possunt , per go. quae erunt singula singulis aequiangula , Sc roinde similia sper 4. Quare per ib. etiam ro Stilinea erunt fimilia.
264쪽
THEOREM A XVI. SI quatuor rectae P Portionales suerint, fiamilia rectilinea bina , ct bina su per illis descripta proportionalia erunt; & s similia 1ectilinea snt proportionalia , ipis etiam quatuor
rectae lineae erunt pmportionales. Diuo i, si quatuor linea: AB, AC, AD, AE M.f. aab ) sint proportionales, quatuor rectilinea sinitia, nimirum duo triangula aequi latera, ct duo quadrato, super iis destripta esse proportionalia,
DEMONSTRATIO. Quoniam duae rationes ΑΒ ad AC , & AD ad AE sunt aequales c ex hyp. etiam earum duplatae
erunt aeuuales 3 atqui ratio dii plata rationis ΑΒ
ad AC eu aequalis rationi rectilinei AB ad fines le sectilineum AC; & ratio duplata rationis AD ad A Eaequalis item est rationi rectilinei AD ad rectiuncum sibi simile AM per 19. O ao. Ergo quatuor rectilinea AB , Λ C , AD , AE sunt proportionalia ἔ quod primam
Dico a , Si quatuor rectilinea similia AB, AC, AD, AE bina, & bina simul ter descripta proportio malia fuerint, quatuor lineas AB, AC, AD, AE esse
moniam ratio duorum retalineorum AB, AC aequalis est rati mi duorum AD, AE c ex sep S utraque est du- Plata rationis suorum laterum homologorum i per i 9. Gg a o
265쪽
sequi rar,duas et n ratione, implices ΛΒ nempe ad AC, AD ad AE esse aequales;quod eo eudumsuper
ΡArallelogramma aequiangula sunt in ratio ne composita rationum suorum laterum Dico, si duci parallelogramma CA, CF M. q.
tab. S. sint aequiangula , rationem parallelogrammi CR ad parallelogrammum CF esse compositam ex raritione , quatri habet BC ad CG, & ex ratione, qua...
Statuatur latus: BC parallelogrammi AC in directum cum latere CG parallelogrammi CF I quo cataoh angulum BCD aequalem angulo ECG,' etiam duo latera CD, CE erunt in directum constitutac per ipi. Produdus autem duobus lateribus AD, FG qu tenus sibi occurrant In Η, complacitnr tertium papa :lelogrammum CH. Denique ducatur recta quaequum que terminata ΚI, Sc duobus lateribus CB, CG addita ΚI, inveniatur iisdem quarta proportionalis KL per i a. Rursus duobus lateribus CD, CE addita redia ΚL , inveniatur ipsis quarta proportionalis ΚM. - . .
DEM AES TR ATIO. I Quoniam duae rationes ΚΓ ad KL , & KL ad ΚM sunt aequales duabus rationibus lateris CB ad CG, re lateris CD ad CB s per eon D. ratio ΚI ad KM, quae est compositε ex rationibus xI ad KL,& KL ad
266쪽
23 ΚM sex adnotatis ad des ro. f., erit gomposita etiam ex rationibus lateris CB ad CG , & CD ad C E . Quum autem parallelogrammum AC sit ad parallelograminum CH, ut hasis CB est ad basim CG. per x. , adeo luaseat ΚI ad KL; parallelogrami ruim vero CH sit auparallelogrammum CF , ut basis CD est ad basim CE, sive ut KL est ad KM sequitur , Parallelogrammum C A esse ad parallelogrammum CF , uti vi at ΚMadeoque rationem CR ad CF esse compositam ex dua-hus rationibus. CB ad CG, & CD ad CE; quod eratosendendum.
IN omni parallelogrammo, quae clacum diaeti gonalem sunt,parallelogramma, tum sibi m
tuo, tum toti s mitia sunt. Diςo , in parallelogrammo ABCD issae. 3o. tab. . . duo parallelogramma FI, HG, per quae transit diagonalis Azi, uiso tum fibi mutuo , tum i toti ABCD
Quoniam Enea HI parallela est lateri CBt ex BU. angulus ΑΙΕ aequalis erit cper 29. r. angulo B . Ex quo patet, duo uriangula AIE DABC ob angulum communem in Α este sim lia quocirca ratia ΑΙ ad IE a qualis ecti rationi AR ad BC, S c ρον des i. duo parallelogramma FI, DB erunt similia. Eadem ratione ostendi po test , parallelograminum ΗG simile esse eidem parallelogra imo DB; ex quo insertur, duo parallelogramma FI , AG esse etiam inter se similia
267쪽
In Versa hujus propositionis , nimirum , si duo P ralli lo 'ra.nma FI,' HG sint tum toti BD, tum in ter se stitvlia, diag inalem AC per ongulos FE i , HEGtransre debere ,'facile ex superiori domonstratione ii tes igitur. Hanc autem ottendit Euclides propositionc λXVI, quam idcirco omittemuI.
uobus datis rectilineis, tertium uni aequale,& alteri simile constituere. Ur ψescribatur rectit neum smile remiIneo AB M 3. 3ab. 3. 9 Sc aequale redii lineo F , constituat
tur duo quadrata, nimirum quadratum AD aequale redii lineo AB , quadratum vero AE aequale rectiline FGH cper 14.2. Duorum antem quadratorum AD, AElater bus addito Iatere redii linei AB , hisce tribus lineis inveniatur quarta proportionalis AC cper lx ) , ita iit quemadmodum AD ad AE, ita sit AB ad AC , denique per ι 3. P describatur super recta AC rectilineum smile dato rectilineo AB, quod erit aequale alteri dato ICH. '
QuonIam qitatuor lineae AB , AC, AD, AE sunt proportionales sper eongyr. J rectilinea smilia super iis descripta erunt proportionalia per a a. J atqui recti line una ΑΒ est aequale quadratu AD per constr. J ergo. per 34. s. etiam rectilineum AC erit aequale qua drato ΑΕ, sve rectilineo FGH ipsi aequali cper eoost.
268쪽
PROBLEMA X. DAtam rectam lineam finitam per mediam
di extremam rationem secare: Sit data recta linea ADin. 3. tab. s quae ita , dividenda est. , ut tota sit ad segmentum maius , quemadmodum segmentum majus est ad segmentum minu . Ea itaque iecetur in puncto B smr tr. a.) ita ut rectangulum sub rota AD & parte Bo ex. g. BC aequale sit quadrato alterius Partis AB , nimirum Λ G.
Quoniam rectangulum BC r tiale est quadraeci AG lineae ΑΒ t per c r. tres lineae AD , AB. BD erunt continue proportionaleg έ per I . & sper de . i.
'linea AD eeit per mediam , Si extremam rationem di visa; quυd facere, O demonserare oportebar.
IN quolibet trianguIo rectangulo , si super
tria latera describantur tria recti linea si milia , rectilineum hypotenuis erit aequale duobus rectilineis aliorum laterum simul sumtis . Dico , recit ineum hypotenulae BC ssu. 4. tab. f.
269쪽
24 seu triangulum aequilaterum BCF , aequale esse duobus triangulis riem aequilateris ABD, ACE, quae facta sunt super reliquis duobus lateribus trianguli rectan
. , i :: O sQuoniam sperao.ὶ rectilineum ABD est ad rectili eum simile ACE , quemadmodum quadrarum AB ad quadratum AC, componendo stlar I b. s. a sit mari BD ias. ACE crit ad ACE , ut summa quadratorum ΑΒ q. Λ , iis e Cy' 7. I. 9 iit solum quadratum BC ad quadratum A C. Et quon7am ratio qua urati BC ad qnadratum AC aequalis est sper a o. rationi reFii ne i BCF ad rectilinutim ΑCE , manisectum est, sper I. s.) rationem recti linei BCF ad rectilineum ACEaequalem esse rationi summae duorum rectilineoruIT , Λ BD Q. ACE ad ipsum ACE, per 9. s. 4 duoreeti linea ABD , Sc ACE esse sint ut aequalia recini-neo BCF ; quod operaepotimn erat demo Irare. Proposito XXXII. Aumis es. .
ΙΝ aqualibus circulis anguli, sive ad centrumἰ
sive ad circumferentiam, quemadmodum etiam sectores, sunt inter se, ut arcus, qui iis
subtenduntur. ' i Lico I, angulos ad centrum BAC, EDF trab. S. t in circulis aequalibus BGCI , EHFK esse inter e , ut duos arcus BC, EF , qui ipsis subtenduntur . PRAE
270쪽
Dividatur bifariam uterque angulus per radios AG, DH, qui arcus BC , EF pariter hilariam divident, non minus, quam duoS iectores ABCA, DEFD.
Quoniam c per 3 s. s. ) arcus BC est ad sui dimidium BG, ut arcus EF eth ad sui dimidium ΕΗ ; &s militer angulus BAC eli ad sui dimidium BAC, udangulus E DF est ad sui dimidium EDH; proportio, quae est inter quatuor arcus BC, BG , EF, EH , similis est i Ili, quae eli inter quatuor angulos BAE , BAG , EDF, EDH. Igitur alternando per i 6. f., si duo
crculi sint aequales , proportio , quae est inter quatuor
alcus BC, EF, BG , EH similis erit proportioni, quae est inter quatuor angulos BAC, EDF, BAG, EDH;
S proinde eadem epit ratio anguli BAC ad anguluin EDF, ac arcus BC ad arcum EF ; quod primum erat
Dico a , angulos ad circumferentiam Ι, & Κ esse inter se , ut arcus AC , EF , qui iis subtenduntur , quod quidem evidens est; quum enim sint dimidia angulorum ad centrum per zo. 3. erunt in eadem ratione cum duobus angulia sui duplis c per i s. s. Idem de duobus sectoribus ABCA, DEFD demo strari potest. Nam quum duo circuli sint aequales , pose sunt considerari, ut duo triangula ejusdem altitudinis, quorum hases sunt arcus BC , FE proindeque erunt inter se, ut eorum bases c per ι. quod ostendendam supererat . I. De ratione, quae inter angulos, qui ad centrum circulorum Dur , ct arcus, qui iis subtenduntur , quique, ut alibi diximus , sunt eorundem men